Ecuación de la tangente a un círculo – Pasos y Ejemplos

La ecuación de la recta tangente a un círculo es encontrada usando la forma y=mx+b. A su vez, podemos encontrar la pendiente m al determinar la pendiente del radio con el centro del círculo y el punto tangente. Luego, usamos el punto tangente para encontrar el valor de b.

A continuación, aprenderemos cómo encontrar la ecuación de la tangente a un círculo paso a paso. Luego, aplicaremos este proceso para resolver algunos ejercicios de práctica.

GEOMETRÍA
diagrama para la ecuación de la tangente a un círculo

Relevante para

Aprender a encontrar la ecuación de la tangente a un círculo.

Ver pasos

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Pasos para encontrar la ecuación de la recta tangente a un círculo

Para encontrar la ecuación de la tangente a un círculo, recordamos que podemos encontrar la ecuación de cualquier recta usando la forma $latex y=mx+b$, en donde m es la pendiente y b es el intercepto en y.

En este caso, la pendiente m es encontrada usando la pendiente del radio y el intercepto en y es encontrado usando las coordenadas del punto tangencial.

diagrama para la ecuación de la tangente a un círculo

Entonces, seguimos los siguientes pasos:

Paso 1: Encontrar las coordenadas del centro del círculo.

Si es que la ecuación está dada en su forma estándar, $latex r^2=(x-a)^2+(x-b)^2$, el centro es $latex (a,~b)$. Si es que tenemos una ecuación general del círculo, tenemos que completar el cuadrado para encontrar el centro.

Paso 2: Encontrar la pendiente del radio del círculo. Para esto, usamos la fórmula de la pendiente $latex m=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}$ con las coordenadas del punto tangencial y el centro del círculo.

Paso 3: Encontrar la pendiente de la recta tangente. Dado que el radio y la tangente son perpendiculares, la pendiente de la tangente es igual al recíproco negativo de la pendiente del radio.

Paso 4: Encontrar el valor de b, el intercepto en y. Para esto, usamos la pendiente del paso 3 y las coordenadas del punto tangencial en la forma $latex y=mx+b$ y resolvemos para b.


Ejemplos resueltos de la ecuación de la tangente a un círculo

Los siguientes ejemplos son resueltos aplicando los pasos vistos arriba para encontrar la ecuación de la recta tangente a un círculo.

EJEMPLO 1

Encuentra la ecuación de la recta tangente al círculo $latex (x+2)^2+(y-3)^2=4$ en el punto $latex P=(0,~4)$.

Paso 1: Dado que la ecuación del círculo está en forma estándar, podemos fácilmente ver que el centro es igual a $latex (-2, 3)$.

Paso 2: Usamos $latex (x_{1},~y_{1})=(-2, 3)$ y $latex (x_{2},~y_{2})=(0, ~4)$ para encontrar la pendiente del radio del círculo:

$$m_{r}=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}$$

$$=\frac{4-3}{0+2}$$

$$=\frac{1}{2}$$

Paso 3: La pendiente de la recta tangente es:

$$m=-\frac{1}{m_{r}}$$

$$m=-2$$

Paso 4: Para encontrar el valor de b, usamos $latex (x,~y)=(0,~4)$:

$latex y=mx+b$

$latex 4=-2(0)+b$

$latex b=4$

La ecuación de la recta tangente al círculo en $latex (0, ~4)$ es $latex y=-2x+4$.

EJEMPLO 2

¿Cuál es la ecuación de la recta tangente al círculo $latex (x-1)^2+(y-2)^2=10$ en el punto $latex P=(4,~3)$?

Paso 1: Tenemos a la ecuación del círculo en su forma estándar, por lo que vemos que el centro es $latex (1, 2)$.

Paso 2: Encontramos la pendiente del radio del círculo usando las coordenadas $latex (x_{1},~y_{1})=(1, 2)$ y $latex (x_{2},~y_{2})=(4, ~3)$ para encontrar la pendiente del radio del círculo:

$$m_{r}=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}$$

$$=\frac{3-2}{4-1}$$

$$=\frac{1}{3}$$

Paso 3: La pendiente de la recta tangente es:

$$m=-\frac{1}{m_{r}}$$

$$m=-3$$

Paso 4: Usando el punto tangencial $latex (x,~y)=(4,~3)$, encontramos el valor de b:

$latex y=mx+b$

$latex 3=-3(4)+b$

$latex b=15$

La ecuación de la recta tangente al círculo en $latex (4, ~3)$ es $latex y=-3x+15$.

EJEMPLO 3

Encuentra la ecuación de la recta tangente al círculo $latex x^2+y^2+2x-4y-20=0$ en el punto $latex P=(2, 6)$.

Paso 1: En este caso, la ecuación del círculo está en su forma general. Entonces, la escribimos en su forma estándar al completar el cuadrado de ambas variables:

$latex x^2+y^2+2x-4y-20=0$

$latex x^2+2x+y^2-4y-20=0$

$$(x+1)^2-1+(y-2)^2-4-20=0$$

$latex (x+1)^2+(y-2)^2=25$

Ahora, vemos que el centro es $latex (-1, ~2)$.

Paso 2: La pendiente del radio del círculo es:

$$m_{r}=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}$$

$$=\frac{6-2}{2+1}$$

$$=\frac{4}{3}$$

Paso 3: La pendiente de la recta tangente es:

$$m=-\frac{1}{m_{r}}$$

$$m=-\frac{3}{4}$$

Paso 4: Para encontrar el valor de b, usamos las coordenadas del punto tangencial $latex (x,~y)=(2,~6)$:

$latex y=mx+b$

$latex 6=-\frac{3}{4}(2)+b$

$latex b=\frac{15}{2}$

La ecuación de la recta tangente al círculo en $latex (2, ~6)$ es $latex y=-\frac{3}{4}x+\frac{15}{2}$.

EJEMPLO 4

¿Cuál es la ecuación de la recta tangente al círculo $latex x^2+y^2-2x-6y+8=0$ en el punto $latex P=(2, 2)$?

Paso 1: Escribiendo a la ecuación del círculo en su forma estándar, tenemos:

$latex x^2+y^2-2x-6y+8=0$

$latex x^2-2x+y^2-6y+8=0$

$$(x-1)^2-1+(y-3)^2-9+8=0$$

$latex (x-1)^2+(y-3)^2=2$

El centro del círculo es $latex (1, ~3)$.

Paso 2: Encontrando la pendiente del radio del círculo, tenemos:

$$m_{r}=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}$$

$$=\frac{2-3}{2-1}$$

$latex =-1$

Paso 3: La pendiente de la recta tangente es:

$$m=-\frac{1}{m_{r}}$$

$$m=1$$

Paso 4: Usamos al punto tangencial para encontrar el valor de b:

$latex y=mx+b$

$latex 2=1(2)+b$

$latex b=0$

La ecuación de la recta tangente al círculo en $latex (2, ~2)$ es $latex y=x$.

EJEMPLO 5

Encuentra la ecuación de la recta tangente al círculo $latex x^2+y^2+4x+6y-21=0$ en el punto $latex P=(1, ~2)$.

Paso 1: Encontrando la forma estándar de la ecuación del círculo dado, tenemos:

$latex x^2+y^2+4x+6y-21=0$

$latex x^2+4x+y^2+6y-21=0$

$$(x+2)^2-4+(y+3)^2-9-21=0$$

$latex (x+2)^2+(y+3)^2=34$

El centro del círculo es $latex (-2,~-3)$.

Paso 2: Encontrando la pendiente del radio del círculo, tenemos:

$$m_{r}=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}$$

$$=\frac{2+3}{1+2}$$

$$=\frac{5}{3}$$

Paso 3: La pendiente de la recta tangente es:

$$m=-\frac{1}{m_{r}}$$

$$m=-\frac{3}{5}$$

Paso 4: Usamos $latex (x,~y)=(1,~2)$ para encontrar el valor de b:

$latex y=mx+b$

$latex 2=-\frac{3}{5}(1)+b$

$latex b=\frac{13}{5}$

La ecuación de la recta tangente al círculo en $latex (1, ~2)$ es $latex y=-\frac{3}{5}x+\frac{13}{5}$.

EJEMPLO 6

¿Cuál es la ecuación de la recta tangente al círculo $latex x^2+y^2+6x-4y+8=0$ en el punto $latex P=(-1, 1)$?

Paso 1: Escribiendo a la ecuación del círculo en su forma estándar, tenemos:

$latex x^2+y^2+6x-4y+8=0$

$latex x^2+6x+y^2-4y+8=0$

$$(x+3)^2-9+(y-2)^2-4+8=0$$

$latex (x+3)^2+(y-2)^2=5$

Ahora, vemos que el centro del círculo es $latex (-3, ~2)$.

Paso 2: La pendiente del radio del círculo es:

$$m_{r}=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}$$

$$=\frac{1-2}{-1+3}$$

$$=-\frac{1}{2}$$

Paso 3: La pendiente de la recta tangente es:

$$m=-\frac{1}{m_{r}}$$

$latex m=2$

Paso 4: Para encontrar el valor de b, usamos $latex (x,~y)=(-1,~1)$:

$latex y=mx+b$

$latex 1=2(-1)+b$

$latex b=3$

La ecuación de la recta tangente al círculo en $latex (-1, ~1)$ es $latex y=2x+3$.


Ecuación de la tangente a un círculo – Ejercicios para resolver

Resuelve los siguientes ejercicios encontrando la ecuación de la recta tangente a los círculos dados.

Encuentra la ecuación de la tangente al círculo $latex x^2+y^2+10x+8y+39=0$ en $latex (-4,~-3)$.

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¿Cuál es la ecuación de la tangente al círculo $latex x^2+y^2+8x-8y-17=0$ en $latex (3,~4)$.

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Encuentra la ecuación de la tangente al círculo $latex x^2+y^2+10y+20=0$ en $latex (2,~-4)$.

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¿Cuál es la ecuación de la tangente al círculo $latex x^2+y^2+4x-14=0$ en $latex (-5,~3)$?

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