Integrales por fracciones parciales – Ejercicios resueltos

La integración por fracciones parciales es una técnica de integración que consiste en reescribir a una función racional como la suma de fracciones simples. Luego, la integral de cada fracción puede ser encontrada fácilmente.

A continuación, exploraremos varios ejercicios resueltos de integración por fracciones parciales o fracciones simples. Luego, veremos algunos ejercicios para resolver.

CÁLCULO
Ejemplo de integración por fracciones parciales

Relevante para

Resolver ejercicios de integración por fracciones parciales.

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Cómo integrar funciones por fracciones parciales

El método de fracciones parciales es usado para integrar funciones racionales de la siguiente forma:

$$\int \frac{x+2}{(x-1)(x-3)}dx$$

Para integrar a una función racional usando fracciones parciales seguimos los siguientes pasos:

1. Descomponer a la función racional en sus fracciones parciales

Puedes hacer una revisión de los métodos de descomposición en fracciones parciales en este artículo.

2. Forma una integral con cada fracción parcial

La integral de la suma de fracciones es igual a la suma de las integrales de cada fracción.

3. Resuelve cada integral usando el logaritmo natural

Usamos la integral estándar $latex \int \frac{1}{x}=\ln (x)+c$ y la regla de la cadena.


Ejercicios resueltos de integración por fracciones parciales

EJERCICIO 1

Hallar la integral:

$$\int \frac{x^2+x+3}{x-2}dx$$

Este caso corresponde a un integrando de la forma $latex \frac{P(x)}{Q(x)}$ donde el grado de $latex P(x)$ es mayor o igual que el grado de $latex Q(x)$.

En tal caso, lo primero que se debe hacer es efectuar la división de polinomios. De esta manera, el cociente $latex \frac{P(x)}{Q(x)}$ queda expresado como:

$$ \dfrac{P(x)}{Q(x)}=q(x)+\dfrac{r(x)}{Q(x)}$$

Donde $latex q(x)$ es el cociente y $latex r(x)$ el residuo. Para el integrando del ejemplo, se obtiene:

$$ (x^2+x+3)\,\div\, (x-2)= (x+3) + \dfrac{9}{x-2}$$

Con esto en mente, la integral a resolver se reescribe así:

$$\int \left(\frac{x^2+x+3}{x-2}\right)dx=\int \left[(x+3) + \frac{9}{x-2}\right]dx$$

Obteniéndose tres integrales inmediatas:

$$\int \left(\frac{x^2+x+3}{x-2}\right)dx=\int x\,dx+3\int dx +9\int \frac{dx}{x-2}$$

$$\int \left(\frac{x^2+x+3}{x-2}\right)dx=\frac{x^2}{2}+3x +9\ln|x-2|+C$$

EJERCICIO 2

Calcular la siguiente integral por el método de fracciones simples:

$$\int \frac{dx}{x^2-9}$$

Puesto que el grado del denominador es mayor que el grado del numerador, no es necesario dividir, y se pasa directamente a factorizar el denominador, lo cual es muy sencillo, ya que es una diferencia de cuadrados perfectos:

$$x^2-9=(x+3)(x-3)$$

De esta manera, la integral propuesta quedaría así:

$$\int \frac{dx}{x^2-9}=\int \frac{dx}{(x+3)(x-3)}$$

Puesto que el denominador es el producto de dos factores lineales, el integrando se puede expresar de este modo:

$$ \frac{dx}{x^2-9}=\frac{1}{(x+3)(x-3)}=\frac{A}{x+3}+\frac{B}{x-3}$$

Resolviendo la suma de fracciones algebraicas, resulta:

$$ \frac{1}{(x+3)(x-3)}=\frac{A}{x+3}+\frac{B}{x-3}$$

$$=\frac{A(x-3)+B(x+3)}{(x+3)(x-3)}$$

$$=\frac{Ax-3A+Bx+3B}{(x+3)(x-3)}$$

$$=\frac{x(A+B)-3A+3B}{(x+3)(x-3)}$$

Dado que el denominador siempre es el mismo, deben igualarse los numeradores:

$$x(A+B)-3A+3B = 1$$

Igualar los respectivos coeficientes de cada potencia de $latex x$, conduce a las siguientes ecuaciones:

$latex \phantom{-3}A+\phantom{3}B=0$

$latex -3A+3B=1$

Se deduce fácilmente, sumando ambas ecuaciones término a término, que:

$latex 2B=1\Rightarrow B=\dfrac{1}{2}$

Puesto que $latex A=-B$, entonces:

$latex A=-\dfrac{1}{2}$

Por lo tanto:

$$ \frac{1}{(x+3)(x-3)}=\frac{A}{x+3}+\frac{B}{x-3}$$

$$=-\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x+3}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x-3}\right)$$

Y la integral buscada se transforma en:

$$\int \frac{dx}{x^2-9}=-\frac{1}{2}\int\frac{dx}{x+3}+\frac{1}{2}\int\frac{dx}{x-3}$$

$$=-\frac{1}{2}\ln\left|\frac{1}{x+3}\right|+\frac{1}{2}\ln\left|\frac{1}{x-3}\right| +C$$

Por lo tanto:

$$\int \frac{dx}{x^2-9}=-\frac{1}{2}\ln\left|\frac{1}{x+3}\right|+\frac{1}{2}\ln\left|\frac{1}{x-3}\right| +C$$

EJERCICIO 3

Resolver la siguiente integral:

$$\int\frac{3x+2}{x^3+3x^2+3x+1}dx$$

El grado del numerador es menor que el grado del denominador, por lo tanto, se factoriza este, el cual resulta ser el cubo de una suma:

$$x^3+3x^2+3x+1=(x+1)^3$$

Enseguida se escribe la integral con el denominador ya factorizado:

$$\int\frac{3x+2}{x^3+3x^2+3x+1}dx=\int\frac{3x+2}{(x+1)^3}dx$$

Nótese que el denominador consiste en un único factor lineal que está elevado al cubo, cuya forma es $latex (px+q)^m$, con $latex m=3$.

En tal caso, la descomposición en fracciones simples del integrando toma la siguiente forma:

$$\frac{3x+2}{x^3+3x^2+3x+1}=\frac{3x+2}{(x+1)^3}=\frac{A}{x+1}+\frac{B}{(x+1)^2}+\frac{C}{(x+1)^3}$$

Y ahora se sigue un procedimiento similar al del ejercicio anterior, con el fin de hallar los coeficientes $latex A$, $latex B$ y $latex C$:

$$\frac{A}{x+1}+\frac{B}{(x+1)^2}+\frac{C}{(x+1)^3}=\frac{A(x+1)^2+B(x+1)+C}{(x+1)^3}$$

Seguidamente, se desarrolla el numerador cuidadosamente:

$$A(x+1)^2+B(x+1)+C =A(x^2+2x+1)+Bx+B+C$$

$$Ax^2+2Ax+A+Bx+B+C=Ax^2+(2A+B)x+B+C=3x+2$$

Al igualar los coeficientes de las potencias iguales a ambos lados de la igualdad, se obtienen las siguientes ecuaciones:

$latex A=0$

$latex 2A+B=3\Rightarrow B=3$

$latex B+C=2\Rightarrow C=-1$

Con estos valores, el integrando queda así:

$$\frac{3x+2}{x^3+3x^2+3x+1}=\frac{0}{x+1}+\frac{3}{(x+1)^2}-\frac{1}{(x+1)^3}$$

$$\frac{3x+2}{x^3+3x^2+3x+1}=\frac{3}{(x+1)^2}-\frac{1}{(x+1)^3}$$

Ahora la integral original se transforma en la suma de dos integrales de fácil resolución a través de un cambio de variable sencillo:

$$\int\frac{3x+2}{x^3+3x^2+3x+1}dx=3\int\frac{dx}{(x+1)^2}-\int\frac{dx}{(x+1)^3}$$

El cambio de variable es $latex u =x+1$, $latex du=dx$:

$$\int\frac{3x+2}{x^3+3x^2+3x+1}dx=3\int\frac{du}{u^2}-\frac{du}{u^3}$$

Aplicando la regla de las potencias para la integración, se obtiene:

$$\int\frac{3x+2}{x^3+3x^2+3x+1}dx=3\int\frac{du}{u^2}-\frac{du}{u^3}$$

$$=3\int u^{-2}du-\int u^{-3}du$$

$$=\frac{3u^{-1}}{(-1)}-\frac{u^{-2}}{(-2)}+C=-\frac{3}{x+1}+\frac{1}{2(x+1)^{2}}+C$$

Finalmente:

$$\int\frac{3x+2}{x^3+3x^2+3x+1}dx=-\frac{3}{x+1}+\frac{1}{2(x+1)^{2}}+C$$

EJERCICIO 4

Calcular la siguiente integral:

$$\int\frac{x^2+2x-1}{x^3+x^2-2x}dx$$

Se observa que el grado del denominador es mayor que el del numerador, por lo que se pasa a factorizar el denominador:

$$\int\frac{x^2+2x-1}{x^3+x^2-2x}dx=\int\frac{x^2+2x-1}{x(x^2+x-2)}dx$$

El trinomio $latex x^2+x-2$ se puede factorizar fácilmente:

$$x^2+x-2=(x+2)(x-1)$$

Lo cual se sustituye en el denominador del integrando:

$$\int\frac{x^2+2x-1}{x^3+x^2-2x}dx=\int\frac{x^2+2x-1}{x(x^2+x-2)}dx$$

$$=\int\frac{x^2+2x-1}{x(x+2)(x-1)}dx$$

Dado que en el denominador quedaron factores lineales, la fracción algebraica se puede expresar del siguiente modo:

$$\frac{x^2+2x-1}{x(x+2)(x-1)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x+2}+\frac{C}{x-1}$$

Donde los coeficientes $latex A$, $latex B$ y $latex C$ son números reales a determinar, mediante álgebra sencilla:

$$\frac{x^2+2x-1}{x(x+2)(x-1)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x+2}+\frac{C}{x-1}$$

$$=\frac{A(x+2)(x-1)+Bx(x-1)+Cx(x+2)}{x(x+2)(x-1)}$$

$$=\frac{A( x^2+x-2)+B(x^2-x)+C(x^2+2x)}{x(x+2)(x-1)}$$

$$=\frac{ x^2(A+B+C)+x(A-B+2C)-2A}{x(x+2)(x-1)}$$

Que da lugar a la siguiente igualdad:

$$x^2(A+B+C)+x(A-B+2C)-2A =x^2+2x-1$$

Igualando los coeficientes de las potencias semejantes, se obtienen las siguientes ecuaciones:

$latex A+B+C=1$

$latex A-B+2C=2$

$latex-2A=-1$

De esta última, se deduce fácilmente que:

$latex A = \dfrac{1}{2}$

Y sumando las dos primeras ecuaciones, $latex B$ se cancela y queda:

$latex 2A+3C=3$

Sustituyendo aquí $latex A = \dfrac{1}{2}$, resulta:

$latex 2\left(\frac{1}{2}\right)+3C=3$

$latex 1+3C=3$

$latex 3C=2$

$latex C = \dfrac{2}{3}$

Conocidos los valores de $latex A$ y $latex C$, se despeja el valor de $latex B$ de cualquiera de las ecuaciones en las que aparece:

$$A+B+C=1\Longrightarrow B=1-A-C=1-\dfrac{1}{2}-\dfrac{2}{3}=\dfrac{1}{6}$$

$latex B= -\dfrac{1}{6}$

Obtenidos los coeficientes, se sustituyen en la integral como sigue:

$$\int\frac{x^2+2x-1}{x(x+2)(x-1)}dx=\int\left[\frac{A}{x}+\frac{B}{x+2}+\frac{C}{x-1}\right]dx$$

$$=\int\left[\frac{1}{2x}-\frac{1}{6(x+2)}+\frac{2}{3(x-1)}\right]dx$$

$$=\int\frac{dx}{2x}-\int\frac{dx}{6(x+2)}+\int\frac{2dx}{3(x-1)}$$

$$=\frac{1}{2}\ln|x|-\frac{1}{6}\ln|x+2|+\frac{2}{3}\ln|x-1|+C$$

Entonces:

$$\int\frac{x^2+2x-1}{x^3+x^2-2x}dx=\frac{1}{2}\ln|x|-\frac{1}{6}\ln|x+2|+\frac{2}{3}\ln|x-1|+C$$

EJERCICIO 5

Hallar la integral:

$$\int\frac{2}{(x-1)(x^2+1)}dx$$

En este caso, el denominador ya está factorizado, y consiste en un factor lineal y otro cuadrático e irreducible. Cuando esto sucede, la descomposición en fracciones simples queda de esta manera:

$$\frac{2}{(x-1)(x^2+1)}=\frac{A}{x-1}+\frac{Bx+C}{x^2+1}$$

Siguiendo un procedimiento análogo al de los ejercicios anteriores, se efectúa la suma de fracciones:

$$\frac{A(x^2+1)+(x-1)(Bx+C)}{(x-1)(x^2+1)}=\frac{Ax^2+A+Bx^2-Bx+Cx-C}{(x-1)(x^2+1)}$$

$$=\frac{(A+B)x^2+(-B+C)x+A-C}{(x-1)(x^2+1)}=\frac{2}{(x-1)(x^2+1)}$$

Igualando los numeradores:

$$(A+B)x^2+(-B+C)x+A-C=2$$

Se obtiene el sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas:

$latex \phantom{-}A+B=0\\-B+C=0\\\phantom{-}A-C=2\\$

Cuya solución es: $latex A=1$, $latex B=-1$, $latex C=-1$.

Así, la fracción algebraica se transforma en:

$$\frac{2}{(x-1)(x^2+1)}=\frac{A}{x-1}+\frac{Bx+C}{x^2+1}$$

$$\frac{1}{x-1}+\frac{(-x-1)}{x^2+1}=\frac{1}{x-1}-\frac{(x+1)}{x^2+1}$$

Y la integral queda:

$$\int\frac{2}{(x-1)(x^2+1)}dx=\int\frac{dx}{x-1}-\int\frac{xdx}{x^2+1}-\int\frac{dx}{x^2+1}\Rightarrow$$

$$\int\frac{2}{(x-1)(x^2+1)}dx=\ln\left|x-1\right|-\frac{1}{2}\ln(x^2+1)-\arctan x+C$$

EJERCICIO 6

Encontrar la integral:

$$\int\frac{3x+4}{x^3-2x-4}dx$$

En el denominador de esta integral aparece un polinomio de grado $latex 3$, que se puede factorizar mediante el método de Ruffini.

$$\begin{array}{r|rrrr}  & 1 & 0 & -2 & -4\\ 2 &  & 2 & 4 & 4\\ \hline  & 1 & 2 & 2 & 0\end{array}$$

El polinomio resultante no se puede factorizar, así que el denominador queda así:

$$x^3-2x-4 = (x-2)(x^2+2x+2)$$

De manera que el integrando se reescribe como:

$$\int\frac{3x+4}{x^3-2x-4}dx=\int\frac{3x+4}{(x-2)(x^2+2x+2)}dx$$

Puesto que el denominador consta de un factor lineal y otro factor cuadrático e irreducible, la fracción algebraica se puede descomponer de esta forma:

$$\frac{3x+4}{x^3-2x-4}=\frac{A}{(x-2)}+\frac{Bx+C}{(x^2+2x+2)}$$

$$=\frac{A(x^2+2x+2)+(Bx+C)(x-2)}{(x-2)(x^2+2x+2)}$$

$$=\frac{Ax^2+2Ax+2A+Bx^2-2Bx+Cx-2C}{(x-2)(x^2+2x+2)}$$

$$=\frac{(A+B)x^2+(2A-2B+C)x+2A-2C}{(x-2)(x^2+2x+2)}$$

Igualando los numeradores:

$$(A+B)x^2+(2A-2B+C)x+2A-2C=3x+4$$

Se obtiene el sistema de ecuaciones:

$$\phantom{2}A+\phantom{2}B\phantom{+C} = 0\\ 2A-2B+C = 3\\ 2A\phantom{-2B}-C = 4\\$$

Cuya solución es: $latex A=1$, $latex B=-1$, $latex C=-1$.

La integral propuesta se reescribe de esta forma:

$$\int\frac{3x+4}{x^3-2x-4}dx=\int\left[\frac{1}{x-2}+\frac{-x-1}{x^2+2x+2}\right]dx$$

$$=\int\frac{dx}{x-2}-\int\frac{(x+1)dx}{x^2+2x+2}$$

La primera integral es directa:

$$\int\frac{dx}{x-2}=\ln|x-2|+C$$

La segunda se resuelve fácilmente a través de un cambio de variable:

$latex u = x^2+2x+2$

$latex du = (2x+2)dx=2(x+1)dx$

$$\int\frac{(x+1)dx}{x^2+2x+2}=\int\frac{du}{2u}+C=\frac{1}{2}\ln|x^2+2x+2|+C$$

Reuniendo ambos resultados:

$$\int\frac{3x+4}{x^3-2x-4}dx=\ln|x-2|-\frac{1}{2}\ln|x^2+2x+2|+C$$

EJERCICIO 7

Resolver:

$$\int\frac{e^t dt}{e^{2t}+3e^t+2}$$

A primera vista, no parece que el método de las fracciones simples sea aplicable, sin embargo, el siguiente cambio de variable lo hace posible:

$latex u =e^t$

$latex du=e^t dt$

De esta manera, la integral se reescribe como:

$$\int\frac{e^t dt}{e^{2t}+3e^t+2}=\int \frac {du}{u^2+3u+2}$$

El denominador se factoriza como:

$$u^2+3u+2=(u+2)(u+1)$$

Y la integral queda expresada así:

$$\int\frac{e^t dt}{e^{2t}+3e^t+2}=\int \frac {du}{u^2+3u+2}=\int\frac {du}{(u+2)(u+1)}$$

De inmediato, el integrando se escribe como:

$$\frac {1}{(u+2)(u+1)}=\frac {A}{u+2}+\frac{B}{u+1}$$

$$=\frac {A(u+1)+B(u+2)}{(u+2)(u+1)}=\frac {Au+A+Bu+2B}{(u+2)(u+1)}$$

$$=\frac {u(A+B)+A+2B}{(u+2)(u+1)}$$

El sistema de ecuaciones que se obtiene al igualar los numeradores es:

$latex A+\phantom{2}B=0\\A+2B=1\\$

Cuya solución es: $latex A= -1$, $latex B =1 $.

Por lo tanto:

$$\int\frac {du}{(u+2)(u+1)}=-\int \frac{du}{x+2}+\int \frac{du}{x+1}$$

$$=-\ln|u+2|+\ln|u+1|+C$$

$$=\ln\left| \frac{u+1}{u+2}\right|+C$$

Por último, al devolver el cambio de variable hecho al comienzo, se tiene:

$$\int\frac{e^t dt}{e^{2t}+3e^t+2}=\ln\left( \frac{e^t+1}{e^t+2}\right)+C$$

EJERCICIO 8

Calcular la integral:

$$\int\frac{\sin x dx}{\cos x(\cos x-1)}$$

Como en el caso anterior, conviene hacer el cambio de variable:

$latex u = \cos x$

$latex du=-\sin x dx$

De esta manera:

$$\int\frac{\sin x dx}{\cos x(\cos x-1)}=\int\frac{-du}{u(u-1)}=-\int\frac{du}{u(u-1)}$$

El integrando se transforma en:

$$\frac{1}{u(u-1)}=\frac{A}{u}+\frac{B}{u-1}=\frac{A(u-1)+Bu}{u(u-1)}$$

$$=\frac{Au-A+Bu}{u(u-1)}=\frac{u(A+B)-A}{u(u-1)}$$

El sistema de ecuaciones resultante es:

$latex A+B=0\\\phantom{+}-A=1\\$

Luego: $latex A =-1 $, $latex B =1 $.

La integral original se transforma en:

$$\int\frac{\sin x dx}{\cos x(\cos x-1)}=-\left[\int\frac{-du}{u}+\int\frac{du}{u-1}\right]$$

$$=\ln|u|-\ln|u-1|+C=\ln\left| \frac{u}{u-1}\right|+C$$

Por lo tanto:

$$\int\frac{\sin x dx}{\cos x(\cos x-1)}=\ln\left| \frac{\cos x}{\cos x-1}\right|+C$$

EJERCICIO 9

Determinar la siguiente integral:

$$\int\frac{x^3+x^2+x+3}{x^4+4x^2+3}dx$$

Como siempre, en primer lugar se halla la factorización del denominador:

$$x^4+4x^2+3=u^2+4u+3$$

Con $latex u=x^2$, en ese caso:

$$u^2+4u+3=(u+3)(u+1)=(x^2+3)(x^2+1)$$

Por lo tanto:

$$\frac{x^3+x^2+x+3}{x^4+4x^2+3}=\frac{Ax+B}{x^2+3}+\frac{Cx+D}{x^2+1}=$$

$$\frac{(Ax+B)(x^2+1)+(Cx+D)(x^2+3)}{(x^2+1)(x^2+3)}=$$

$$\frac{(Ax^3+Ax+Bx^2+B)+(Cx^3+3Cx+Dx^2+3D)}{(x^2+1)(x^2+3)}=$$

$$\frac{(A+C)x^3+(B+D)x^2+(A+3C)x+B+3D}{(x^2+1)(x^2+3)}$$

Obteniéndose las siguientes ecuaciones:

$latex A + \phantom{3}C = 1\\B +\phantom{3}D= 1\\A+3C=1\\B+3D=3\\$

Restando la tercera ecuación de arriba abajo, de la primera, se obtiene:

$latex 2C=0\Rightarrow C=0$

$latex A=1$

Y restando la cuarta de la segunda:

$latex 2D=2\Rightarrow D =1$

$latex B=0$

De esta manera:

$$\frac{x^3+x^2+x+3}{x^4+4x^2+3}=\frac{x}{x^2+3}+\frac{1}{x^2+1}$$

Y la integral se transforma en:

$$\int\frac{x^3+x^2+x+3}{x^4+4x^2+3}dx=\int\frac{x}{x^2+3}dx+\int\frac{1}{x^2+1}dx$$

EJERCICIO 10

Calcular la integral:

$$\int\frac{x^4-6x^3+12x^2+6}{x^3-6x^2+12x-8}dx$$

Puesto que el grado del numerador es mayor que el grado del denominador, es necesario llevar a cabo previamente la división de polinomios y luego aplicar el algoritmo de la división:

$$ (x^4-6x^3+12x^2+6)\,\div\, (x^3-6x^2+12x-8)=$$

$$= x + \dfrac{8x+6}{x^3-6x^2+12x-8}$$

El denominador de la fracción algebraica es el cubo de una diferencia, por lo tanto se factoriza así:

$$x^3-6x^2+12x-8=(x-2)^3$$

Todo lo anterior conduce a:

$$\int\frac{x^4-6x^3+12x^2+6}{x^3-6x^2+12x-8}dx=\int xdx+\int \frac{8x+6}{x^3-6x^2+12x-8}dx=$$

$$=\int xdx+\int\frac{8x+6}{(x-2)^3}dx$$

El integrando de la segunda integral se descompone en fracciones simples de esta forma:

$$\frac{8x+6}{(x-2)^3}=\frac{A}{(x-2)}+\frac{B}{(x-2)^2}+\frac{C}{(x-2)^3}$$

Resolviendo la suma de fracciones de la derecha e igualando los numeradores, queda:

$latex A((x-2)^2+B(x-2)+C=8x+6$

$latex A(x^2-4x+4)+Bx-2B+C=8x+6$

$latex Ax^2-4Ax+4A+Bx-2B+C=8x+6$

El sistema de ecuaciones resultante es:

$$\phantom{-4}A\phantom{+B}\phantom{+C;} = 0 \\ -4A+B\phantom{+C;} = 8 \\\phantom{-}4A-2B+C = 6\\$$

Por lo tanto: $latex B = 8$

Y $latex -16+C=6\Rightarrow C =22$

Entonces:

$$\frac{8x+6}{(x-2)^3}=\frac{A}{(x-2)}+\frac{B}{(x-2)^2}+\frac{C}{(x-2)^3}$$

$$=\frac{0}{(x-2)}+\frac{8}{(x-2)^2}+\frac{22}{(x-2)^3}$$

Lo cual lleva a:

$$\int\frac{x^4-6x^3+12x^2+6}{x^3-6x^2+12x-8}dx=\int xdx+\int\frac{8x+6}{(x-2)^3}dx$$

$$=\int xdx+\int\frac{8}{(x-2)^2}dx+\int\frac{22}{(x-2)^3}dx$$

$$=\int xdx+8\int(x-2)^{-2}dx+22\int (x-2)^{-3}dx$$

$$=\frac{x^2}{2}-\frac{8}{x-2}-\frac{11}{(x-2)^2}+C$$

Y la respuesta es:

$$\int\frac{x^4-6x^3+12x^2+6}{x^3-6x^2+12x-8}dx=\frac{x^2}{2}-\frac{8}{x-2}-\frac{11}{(x-2)^2}+C$$


Ejercicios de integración por fracciones simples para resolver

Práctica de integración por fracciones simples
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Jefferson Huera Guzmán

Jefferson es el autor principal y administrador de Neurochispas.com. Los contenidos interactivos de Matemáticas y Física que he creado han ayudado a muchos estudiantes.

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