La integración por partes nos permite «reducir» una integral a una forma más simple, expresándola como la diferencia entre dos integrales más simples. Esta técnica es especialmente útil cuando queremos evaluar integrales que no pueden hallarse fácilmente utilizando otros métodos, como la sustitución o las identidades trigonométricas.
A continuación, veremos algunos ejercicios resueltos de integración por partes. Luego, veremos algunos ejercicios de práctica para aplicar lo aprendido.
Cómo integrar funciones por partes
La integración por partes es usada para integrar el producto de dos funciones. Para integrar funciones usando este método seguimos los siguientes pasos:
1. Escoge dos funciones, u y dv/dx
El producto de las dos funciones, $latex u\frac{dv}{dx}$ es el integrando.
2. Determina la derivada de u con respecto a x y la llamamos u′
3. Determina la integral de dv/dx con respecto a x y la llamamos v
4. Usa la fórmula de integración por partes:
$$\int u \frac{dv}{dx} dx=uv – \int v \frac{du}{dx}dx$$
o
$$\int u v^{\prime} dx=uv – \int v u^{\prime}dx$$
Cuando se utiliza la integración por partes, la elección de $latex u$ y $latex dv$ no siempre es obvia. Sin embargo, hay algunas reglas generales que pueden ayudar a guiar su elección.
En primer lugar, $latex u$ debe elegirse de forma que sea una función fácil de integrar, mientras que $latex dv$ debe elegirse de forma que sea una función fácil de diferenciar. Esto hará que los pasos de integración y diferenciación en la fórmula de integración por partes sean más sencillos y fáciles de evaluar.
En segundo lugar, a veces puede ser útil elegir $latex u$ y $latex dv$ de modo que el producto $latex uv$ sea lo más simple posible. Esto puede hacer que el paso final de la fórmula de integración por partes sea más fácil de evaluar, ya que se quedará con una integral que tiene un integrando simple.
Ejercicios resueltos de integración por partes
EJERCICIO 1
Hallar la siguiente integral:
$$\int x\cos x dx$$
Solución
Para resolver esta integral, en la que aparece el producto de dos funciones, se usa la regla de la integración por partes, según la cual:
$$\int f(x)g'(x)dx=f(x)g(x)-\int g(x)f'(x)dx$$
Si llamamos:
- $latex f(x)=u$
- $latex g'(x)dx=dv\Rightarrow v=g(x)$
Entonces, la expresión del comienzo se reescribe así:
$$\int udv=uv -\int vdu$$
Ahora, solo queda seleccionar cuál de las funciones es $latex v$ y cuál es $latex u$. Por ejemplo, si se elige:
- $latex u =x$
- $latex du =dx$
- $latex dv =\cos x dx$
- $latex v =\int \cos x dx = \sin x$
Entonces:
$$\int x\cos x dx= x\sin x-\int \sin xdx =x\sin x+\cos x + C $$
$$\int x\cos x dx=x\sin x+\cos x + C $$
En general, es recomendable tomar como $latex dv$ a parte del integrando que se integre con más facilidad, y como $latex u$ a la que sea más sencillo derivar. La práctica facilita la decisión, teniendo como meta que $latex \int vdu$ sea fácil de calcular.
EJERCICIO 2
Calcular la integral:
$$\int xe^x dx$$
Solución
Seleccionando:
- $latex u =x$
- $latex du =dx$
- $latex dv =e^x dx$
- $latex v =\int e^x dx = e^x$
Con la fórmula:
$$\int udv=uv -\int vdu$$
Queda:
$$\int xe^x dx=xe^x-\int e^xdx$$
$$=xe^x-e^x+C$$
Se puede factorizar este resultado y se obtiene:
$$\int xe^x dx=e^x(x-1)+C$$
EJERCICIO 3
Resolver:
$$\int x \sqrt{x-1}dx$$
Solución
En este caso, se elige:
- $latex u =x$
- $latex du =dx$
- $latex dv = \sqrt{x-1}\:dx$
- $latex v =\int \sqrt{x-1}\:dx =\dfrac{2}{3} (x-1)^\frac{3}{2}$
Mediante:
$$\int udv=uv -\int vdu$$
Se obtiene:
$$\int x \sqrt{x-1}dx=x\cdot\dfrac{2}{3} (x-1)^\frac{3}{2}-\int \dfrac{2}{3} (x-1)^\frac{3}{2}dx$$
Ahora se resuelve la integral obtenida en el último paso:
$$\int \dfrac{2}{3} (x-1)^\frac{3}{2}dx=\dfrac{2}{3}\int (x-1)^\frac{3}{2}dx$$
Mediante un cambio de variable sencillo:
- $latex dw=dx$
- $latex w=x-1$
Queda:
$$\int (x-1)^\frac{3}{2}dx=\int w^\frac{3}{2}dw=\left[\dfrac{w^{\frac{3}{2}+1}}{\frac{3}{2}+1}\right]$$
$$=\dfrac{2}{5}w^{\frac{5}{2}}+C=\dfrac{2}{5}(x-1)^{\frac{5}{2}}+C$$
Por último, se sustituye este resultado aquí:
$$\int x \sqrt{x-1}dx=x\cdot\dfrac{2}{3} (x-1)^\frac{3}{2}-\dfrac{2}{3}\int (x-1)^\frac{2}{3}dx$$
$$=\dfrac{2x}{3} (x-1)^\frac{3}{2}-\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{2}{5}(x-1)^{\frac{5}{2}}+C$$
$$=\dfrac{2x}{3} (x-1)^\frac{3}{2}-\dfrac{4}{15}(x-1)^{\frac{5}{2}}+C$$
$$=2 (x-1)^\frac{3}{2}\left[\dfrac{x}{3} -\dfrac{2}{15}(x-1)\right]+C$$
$$=2 (x-1)^\frac{3}{2}\left[\dfrac{x}{3} -\dfrac{2x}{15}+\dfrac{1}{15}\right]+C$$
$$=2 (x-1)^\frac{3}{2}\left[\dfrac{3x}{15} +\dfrac{2}{15}\right]+C$$
$$=\frac{2}{15}(x-1)^\frac{3}{2}\left(3x +2\right)+C$$
Entonces, la integral buscada es:
$$\int x \sqrt{x-1}dx=\frac{2}{15}(x-1)^\frac{3}{2}\left(3x +2\right)+C$$
Se deja como ejercicio para el lector, verificar que al derivar este resultado mediante la regla del producto para derivadas, y haciendo un poco de álgebra, se obtiene $latex x \sqrt{x-1}$
EJERCICIO 4
Encontrar la siguiente integral indefinida:
$$\int e^{x}\sin x dx$$
Solución
- $latex u=e^{x}$
- $latex du=e^{x}dx$
- $latex dv=\sin x dx$
- $latex v=-\cos x$
Siguiendo la fórmula de la integración por partes $latex \int udv=uv -\int vdu$, resulta:
$$\int e^{x}\sin x dx=-e^{x}\cos x-\int -e^{x}\cos x\, dx$$
$$=-e^{x}\cos x+\int e^{x}\cos x\, dx$$
Para esta nueva integral, se aplica nuevamente la técnica de la integración por partes, con esta elección para $latex u$ y $latex dv$:
- $latex u=e^{x}$
- $latex du=e^{x}dx$
- $latex dv=\cos x dx$
- $latex v=\sin x$
Entonces:
$$\int e^{x}\cos x\, dx=e^{x}\sin x-\int e^{x}\sin x\,dx$$
Este resultado se sustituye en la integral planteada previamente:
$$\int e^{x}\sin x dx=-e^{x}\cos x+\int e^{x}\cos x\, dx$$
$$\int e^{x}\sin x dx+\int e^{x}\sin x\,dx=-e^{x}\cos x+e^{x}\sin x$$
$$2\int e^{x}\sin x dx=e^{x}(\sin x-\cos x+)+C$$
$$\int e^{x}\sin x dx=\frac{e^{x}(\sin x-\cos x+)}{2}+C$$
EJERCICIO 5
Encuentre:
$$\int x\sec ^2xdx$$
Solución
- $latex u=x$
- $latex du=dx$
- $latex dv=sec ^2xdx$
- $latex v=\tan x$
A través de $latex \int udv=uv -\int vdu$, tenemos:
$$\int x\sec ^2xdx=x\tan x-\int\tan xdx$$
$$=x\tan x-\ln(\cos x)+C$$
EJERCICIO 6
Calcular:
$$\int lnx\,dx$$
Solución
- $latex u=ln\,x$
- $latex du=\dfrac{dx}{x}$
- $latex dv=dx$
- $latex v=x$
Mediante $latex \int udv=uv -\int vdu$, se obtiene:
$$\int lnx\,dx=xln\,x-\int x\left(\dfrac{dx}{x}\right)$$
$$=xln\,x-\int dx$$
$$\int lnx\,dx=xln\,x-x=x(ln\,x-1)$$
EJERCICIO 7
Hallar la siguiente integral
$$\int x^2 lnx\;dx$$
Solución
El primer paso es determinar los valores de $latex u$ y $latex v$:
- $latex u=lnx$
- $latex du=\dfrac{dx}{x}$
- $latex dv=\int x^2\;dx$
- $latex v=\dfrac{x^3}{3}$
Enseguida se aplica la fórmula: $latex \int udv=uv -\int vdu$
Con lo que se obtiene:
$$\int x^2 lnx\;dx=lnx\left(\frac{x^3}{3}\right)-\int \left(\frac{x^3}{3}\right)\left(\frac{dx}{x}\right)$$
$$=\frac{x^3lnx}{3}-\frac{1}{3}\int x^2dx=\frac{x^3lnx}{3}-\frac{x^3}{9}+C$$
$$=\frac{x^3}{3}\left(lnx-\frac{1}{3}\right)+C=\frac{x^3}{9}\left(3lnx-1\right)+C$$
Por lo tanto:
$$\int x^2 lnx\;dx=\frac{x^3}{9}\left(3lnx-1\right)+C$$
EJERCICIO 8
$$\int x\sin\, x\cos x \,dx$$
Solución
Previamente se sustituye la siguiente identidad trigonométrica en la integral:
$latex \sin 2x=2\sin x\cos x$
Obteniendo:
$$\int x\sin\, x\cos x \,dx=\dfrac{1}{2}\int x\sin 2x\,dx$$
De esta manera:
- $latex u =x$
- $latex du =dv$
- $latex dv=\sin 2x\,dx$
- $latex v=-\dfrac{cos\,2x}{2}$
De acuerdo a la fórmula para la integración por partes: $latex \int udv=uv -\int vdu$
Resulta:
$$\int x\sin\, x\cos x \,dx=\dfrac{1}{2}\int x\sin 2x\,dx$$
$$=-\dfrac{xcos\,2x}{4}-\int-\dfrac{cos\,2x}{4}dx$$
$$=-\dfrac{xcos\,2x}{4}+\dfrac{1}{4}\int\cos\,2x\,dx$$
La integral obtenida en el paso anterior es inmediata:
$$\int\cos\,2x\,dx=\dfrac{1}{2}\sin\,2x+C$$
Y al sustituir se obtiene:
$$\int x\sin\, x\cos x \,dx=-\dfrac{xcos\,2x}{4}+\dfrac{1}{8}\sin\,2x+C$$
EJERCICIO 9
Encontrar la siguiente integral indefinida:
$$\int x (2x+5)^{10} dx$$
Solución
- $latex u=x$
- $latex du=dx$
- $latex dv=\int (2x+5)^{10}dx$
- $latex v=\dfrac{1}{22}(2x+5)^{11}$
Siguiendo la fórmula de la integración por partes $latex \int udv=uv -\int vdu$, resulta:
$$\int x (2x+5)^{10} dx=\dfrac{x}{22}(2x+5)^{11}-\int\dfrac{1}{22}(2x+5)^{11}dx$$
La nueva integral se resuelve con un cambio simple de variable, al hacer:
- $latex t = 2x+5$
- $latex dt = 2dx$
Entonces:
$$\int\dfrac{1}{22}(2x+5)^{11}dx=\dfrac{1}{44}\int t^{11}dt$$
$$=\frac{t^{12}}{528}+C$$
Devolviendo el cambio y sustituyendo el resultado, se obtiene:
$$\int x (2x+5)^{10} dx=\dfrac{x}{22}(2x+5)^{11}-\frac{(2x+5)^{12}}{528}+C$$
El resultado se puede factorizar:
$$\int x (2x+5)^{10} dx=\dfrac{x}{22}(2x+5)^{11}\left(1-\frac{2x+5}{24}\right)+C$$
$$\int x (2x+5)^{10} dx=\dfrac{x}{528}(2x+5)^{11}\left({19-2x}\right)+C$$
EJERCICIO 10
Calcular:
$$\int x^3\sqrt{4-x^2}dx$$
Solución
Para resolver esta integral, se aplican dos métodos de integración. En primer lugar, se determina $latex v$ mediante sustitución, y después se aplica la fórmula de la integración por partes:
- $latex u=x^2$
- $latex du=2xdx$
- $latex dv=x\sqrt{4-x^2}dx$
- $latex v=\int x\sqrt{4-x^2}dx=\int x({4-x^2})^\frac{1}{2}dx$
- $latex v=-\dfrac{1}{2}\int t^\frac{1}{2}dt=-\dfrac{1}{2}\left[\dfrac{ t^\frac{3}{2}}{\frac{3}{2}}\right]=-\dfrac{1}{3}(4-x^2)^\frac{3}{2}$
Ahora se aplica integración por partes:
$$ \int udv=uv -\int vdu=-\dfrac{x^2}{3}(4-x^2)^\frac{3}{2}-\int-\dfrac{2x}{3}(4-x^2)^\frac{3}{2}dx$$
$$ =-\dfrac{x^2}{3}(4-x^2)^\frac{3}{2}+\dfrac{2}{3}\int x(4-x^2)^\frac{3}{2}dx$$
La nueva integral se resuelve por la misma sustitución que se empleó previamente:
$$ \int x(4-x^2)^\frac{3}{2}dx=-\dfrac{1}{2}\int t^\frac{3}{2}dt=-\dfrac{1}{2}\left[\dfrac{ t^\frac{5}{2}}{\frac{5}{2}}\right]$$
$$=-\dfrac{1}{5}(4-x^2)^\frac{5}{2}$$
Enseguida se sustituye este resultado:
$$ \dfrac{2}{3}\int x(4-x^2)^\frac{3}{2}dx=\dfrac{2}{3}\cdot\left(-\dfrac{1}{5}\right)(4-x^2)^\frac{5}{2}+C$$
$$ =-\dfrac{2}{15}(4-x^2)^\frac{5}{2}+C$$
Con esto ya se puede armar la integral solicitada:
$$\int x^3\sqrt{4-x^2}dx=-\dfrac{x^2}{3}(4-x^2)^\frac{3}{2}-\dfrac{2}{15}(4-x^2)^\frac{5}{2}+C$$
Ejercicios de integración por partes para resolver
Véase también
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Jefferson Huera Guzmán
Jefferson es el autor principal y administrador de Neurochispas.com. Los contenidos interactivos de Matemáticas y Física que he creado han ayudado a muchos estudiantes.
