Integración por partes – Ejercicios resueltos

La integración por partes nos permite «reducir» una integral a una forma más simple, expresándola como la diferencia entre dos integrales más simples. Esta técnica es especialmente útil cuando queremos evaluar integrales que no pueden hallarse fácilmente utilizando otros métodos, como la sustitución o las identidades trigonométricas.

A continuación, veremos algunos ejercicios resueltos de integración por partes. Luego, veremos algunos ejercicios de práctica para aplicar lo aprendido.

CÁLCULO
Ejemplo de integración por partes

Relevante para

Resolver ejercicios de integración por partes.

Ver ejercicios

CÁLCULO
Ejemplo de integración por partes

Relevante para

Resolver ejercicios de integración por partes.

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Cómo integrar funciones por partes

La integración por partes es usada para integrar el producto de dos funciones. Para integrar funciones usando este método seguimos los siguientes pasos:

1. Escoge dos funciones, u y dv/dx

El producto de las dos funciones, $latex u\frac{dv}{dx}$ es el integrando.

2. Determina la derivada de u con respecto a x y la llamamos u

3. Determina la integral de dv/dx con respecto a x y la llamamos v

4. Usa la fórmula de integración por partes:

$$\int u \frac{dv}{dx} dx=uv – \int v \frac{du}{dx}dx$$

o

$$\int u v^{\prime} dx=uv – \int v u^{\prime}dx$$

Cuando se utiliza la integración por partes, la elección de $latex u$ y $latex dv$ no siempre es obvia. Sin embargo, hay algunas reglas generales que pueden ayudar a guiar su elección.

En primer lugar, $latex u$ debe elegirse de forma que sea una función fácil de integrar, mientras que $latex dv$ debe elegirse de forma que sea una función fácil de diferenciar. Esto hará que los pasos de integración y diferenciación en la fórmula de integración por partes sean más sencillos y fáciles de evaluar.

En segundo lugar, a veces puede ser útil elegir $latex u$ y $latex dv$ de modo que el producto $latex uv$ sea lo más simple posible. Esto puede hacer que el paso final de la fórmula de integración por partes sea más fácil de evaluar, ya que se quedará con una integral que tiene un integrando simple.


Ejercicios resueltos de integración por partes

EJERCICIO 1

Hallar la siguiente integral:

$$\int x\cos x dx$$

Solución

EJERCICIO 2

Calcular la integral:

$$\int xe^x dx$$

Solución

EJERCICIO 3

Resolver:

$$\int x \sqrt{x-1}dx$$

Solución

EJERCICIO 4

Encontrar la siguiente integral indefinida:

$$\int e^{x}\sin x dx$$

Solución

EJERCICIO 5

Encuentre:

$$\int x\sec ^2xdx$$

Solución

EJERCICIO 6

Calcular:

$$\int lnx\,dx$$

Solución

EJERCICIO 7

Hallar la siguiente integral
$$\int x^2 lnx\;dx$$

Solución

EJERCICIO 8

$$\int x\sin\, x\cos x \,dx$$

Solución

EJERCICIO 9

Encontrar la siguiente integral indefinida:

$$\int x (2x+5)^{10} dx$$

Solución

EJERCICIO 10

Calcular:

$$\int x^3\sqrt{4-x^2}dx$$

Solución

Ejercicios de integración por partes para resolver

Práctica de integración por partes
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Véase también

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Jefferson Huera Guzmán

Jefferson es el autor principal y administrador de Neurochispas.com. Los contenidos interactivos de Matemáticas y Física que he creado han ayudado a muchos estudiantes.

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