10 Ejercicios de integrales definidas resueltos

Las integrales definidas se caracterizan por resultar en un valor específico o definido. Para encontrar la integral definida de una función, tenemos que evaluar a la integral usando los límites de integración. La integral en el límite inferior es restada de la integral en el límite superior.

A continuación, resolveremos 10 ejercicios de integrales definidas de funciones. Luego, veremos algunos ejercicios prácticos para aplicar todo lo aprendido sobre este tipo de integrales.

CÁLCULO
Fórmula de integrales definidas

Relevante para

Resolver algunos ejercicios de integrales definidas.

Ver ejercicios

CÁLCULO
Fórmula de integrales definidas

Relevante para

Resolver algunos ejercicios de integrales definidas.

Ver ejercicios

10 Ejercicios resueltos de integrales definidas

Cada uno de los siguientes ejercicios tiene una solución detallada, en donde determinamos el valor de la integral definida dada. Intenta resolver los ejercicios antes de mirar la respuesta.

EJERCICIO 1

Encuentra el resultado de la integral definida $latex \int_{0}^{2} 4x^3dx$.

Para resolver esta integral definida, tenemos que empezar integrando la expresión y usar corchetes para indicar los límites de integración:

$$\int_{0}^{2} 4x^3dx=[x^4+c]_{0}^{2}$$

Ahora, podemos evaluar los límites. La expresión evaluada en el límite inferior es restada de la expresión evaluada en el límite superior:

$$[x^4+c]_{0}^{2}=[(2)^4+c]-[(0)^4+c]$$

Cuando simplificamos esto tenemos:

$latex =[(2)^4+c]-[(0)^4+c]$

$latex =[16+c]-[0+c]$

$latex =16$

Podemos observar que la constante de integración fue eliminada, por lo que podemos omitirla cuando estamos trabajando con integrales definidas.

EJERCICIO 2

Resuelve la integral definida $latex \int_{2}^{3} (6x^2-1) dx$.

Empezamos encontrando la integral a ser evaluada. Mantenemos los límites de integración usando corchetes e ignoramos la constante de integración:

$$\int_{2}^{3} (6x^2-1)dx=[2x^3-x]_{2}^{3}$$

Ahora que tenemos la integral, podemos evaluarla en los límites dados de la siguiente forma:

$$[2x^3-x]_{2}^{3}=[2(3)^3-(3)]-[2(2)^3-(2)]$$

Por último, simplificamos de la siguiente forma:

$latex =[2(3)^3-(3)]-[2(2)^3-(2)]$

$latex =[54-3]-[16-2]$

$latex =[51]-[14]$

$latex =37$

EJERCICIO 3

Encuentra el valor de la integral $latex \int_{4}^{5} (4x+3)dx$.

Integrando la expresión dada y manteniendo los límites de integración, tenemos:

$$\int_{4}^{5} (4x+3)dx=[2x^2+3x]_{4}^{5}$$

Evaluando los límites, tenemos:

$$[2x^2+3x]_{4}^{5}=[2(5)^2+3(5)]-[2(4)^2+3(4)]$$

Por último, simplificamos para obtener:

$latex =[2(5)^2+3(5)]-[2(4)^2+3(4)]$

$latex =[50+15]-[32+12]$

$latex =[65]-[44]$

$latex =21$

EJERCICIO 4

¿Cuál es el valor de la integral definida $latex \int_{2}^{3} (4-3x^2)dx$?

Para encontrar el valor de la integral, tenemos que empezar integrando la expresión mientras mantenemos los límites de integración:

$$\int_{2}^{3} (4-3x^2)dx=[4x-x^3]_{2}^{3}$$

Ahora, vamos a evaluar los límites. Restamos el límite inferior del límite superior:

$$[4x-x^3]_{2}^{3}=[4(3)-(3)^3]-[4(2)-(2)^3]$$

Podemos simplificar para obtener un valor único:

$latex =[4(3)-(3)^3]-[4(2)-(2)^3]$

$latex =[12-27]-[8-8]$

$latex =[-15]-[0]$

$latex =-15$

EJERCICIO 5

Encuentra el resultado de la integral definida $latex \int_{2}^{8} \frac{1}{x^2} dx$.

Tenemos que empezar encontrando la integral de la expresión dada. En este caso, vamos a usar las leyes de los exponentes para escribir de la siguiente forma:

$$\int_{2}^{8} \frac{1}{x^2} dx=\int_{2}^{8} x^{-2} dx$$

$$=[-x^{-1}]_{2}^{8}$$

Ahora que tenemos la integral, vamos a evaluar los límites:

$$[-x^{-1}]_{2}^{8}=[-(8)^{-1}]-[-(2)^{-1}]$$

Finalmente, simplificamos para obtener un valor definido:

$latex =[-(8)^{-1}]-[-(2)^{-1}]$

$$=-\frac{1}{8}+\frac{1}{2}$$

$$=\frac{3}{8}$$

EJERCICIO 6

Encuentra el valor de la integral $latex \int_{1}^{2} \frac{4}{x^3} dx$.

Para integral esta expresión, tenemos que usar las leyes de los exponentes para escribirla sin la fracción. Entonces, tenemos:

$$\int_{1}^{2} \frac{4}{x^3} dx=\int_{1}^{2} 4x^{-3} dx$$

$$=[-2x^{-2}]_{1}^{2}$$

Ahora, vamos a evaluar a la expresión dada con los límites de integración dados:

$$[-2x^{-2}]_{1}^{2}=[-2(2)^{-2}]-[-2(1)^{-2}]$$

Cuando simplificamos esto tenemos:

$latex =[-2(2)^{-2}]-[-2(1)^{-2}]$

$$=-\frac{1}{2}+2$$

$$=\frac{3}{2}$$

EJERCICIO 7

Si es que tenemos la integral definida $latex \int_{4}^{9} \sqrt{x} dx$, ¿cuál es su valor?

En este caso, tenemos una raíz cuadrada. Entonces, la escribimos con un exponente numérico usando las leyes de los exponentes:

$$\int_{4}^{9} \sqrt{x} dx=\int_{4}^{9} x^{\frac{1}{2}} dx$$

$$=\left[\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3}}\right]_{4}^{9}$$

Ahora, evaluamos a la expresión usando los límites de integración:

$$=\left[\frac{2}{3} (9)^{\frac{3}{2}}\right]-\left[\frac{2}{3} (4)^{\frac{3}{2}}\right]$$

Podemos simplificar considerando que el exponente $latex \frac{3}{2}$ es equivalente a sacar la raíz cuadrada y elevar el resultado al cubo.

$$=\left[\frac{2}{3} (9)^{\frac{3}{2}}\right]-\left[\frac{2}{3} (4)^{\frac{3}{2}}\right]$$

$$=\left[\frac{2}{3} (27)\right]-\left[\frac{2}{3} (8)\right]$$

$$=18-\frac{16}{3}$$

$$=\frac{38}{3}=12~\frac{2}{3}$$

EJERCICIO 8

Encuentra el resultado de la integral definida $latex \int_{1}^{4} \left( 3- \frac{1}{\sqrt{x}}\right) dx$.

Empezamos escribiendo a la expresión con un exponente numérico para encontrar su integral:

$$\int_{1}^{4} \left( 3- \frac{1}{\sqrt{x}}\right)dx=\int_{1}^{4} ( 3- x^{-\frac{1}{2}})dx$$

$$=\left[ 3x-2 x^{\frac{1}{2}}\right]_{0}^{2}$$

Al evaluar a la expresión usando los límites de integración, tenemos:

$$=\left[ 3(4)-2 (4)^{\frac{1}{2}}\right]-\left[ 3(1)-2 (1)^{\frac{1}{2}}\right]$$

Finalmente, podemos simplificar considerando que el exponente $latex \frac{1}{2}$ es equivalente a la raíz cuadrada:

$$=\left[ 3(4)-2 (4)^{\frac{1}{2}}\right]-\left[ 3(1)-2 (1)^{\frac{1}{2}}\right]$$

$$=[ 12-4]-\left[ 3-2\right]$$

$latex =8-1$

$latex =7$

EJERCICIO 9

¿Cuál es el valor de la integral $latex \int_{\frac{1}{2}}^{1} 1+\frac{1}{x^2} dx$?

Reescribimos a los exponentes usando las leyes de exponentes y encontramos la integral de la expresión:

$$\int_{\frac{1}{2}}^{1} 1+\frac{1}{x^2} dx=\int_{\frac{1}{2}}^{1} 1+x^{-2} dx$$

$$=\left[x-x^{-1} \right]_{\frac{1}{2}}^{1}$$

Ahora, evaluamos a la expresión obtenida usando los límites de integración:

$$=\left[1-(1)^{-1} \right]-\left[\frac{1}{2}-(\frac{1}{2})^{-1} \right]$$

Al simplificar, podemos obtener un único valor:

$$=\left[1-1 \right]-\left[\frac{1}{2}-2 \right]$$

$$=-\left[\frac{1}{2}-2 \right]$$

$$=\frac{3}{2}$$

EJERCICIO 10

Resuelve la integral definida $latex \int_{1}^{8} \sqrt[3]{x} dx$.

Vamos a encontrar la integral de la expresión al escribir a la raíz cúbica como un exponente numérico:

$$\int_{1}^{8} \sqrt[3]{x} dx=\int_{1}^{8} x^{\frac{1}{3}} dx$$

$$=\left[\frac{3}{4}x^{\frac{4}{3}} \right]_{1}^{8}$$

Evaluando los límites de integración, tenemos:

$$=\left[\frac{3}{4}(8)^{\frac{4}{3}} \right]-\left[\frac{3}{4}(1)^{\frac{4}{3}} \right]$$

Podemos simplificar esto al considerar que el exponente $latex \frac{4}{3}$ es equivalente a sacar la raíz cúbica del número y elevar el resultado a la cuarta:

$$=\left[\frac{3}{4}(16) \right]-\left[\frac{3}{4}(1) \right]$$

$$=12-\frac{3}{4}$$

$$=\frac{45}{4}=11~\frac{1}{4}$$


5 Ejercicios de integrales definidas para resolver

Aplica todo lo aprendido sobre integrales definidas al resolver los siguientes ejercicios prácticos.

¿Cuál es el resultado de $latex \int_{0}^{2} x^2dx$?

Escoge una respuesta






¿Cuál es el valor de la integral definida $latex \int_{-1}^{3} 4x dx$?

Escoge una respuesta






Resuelve la integral definida $latex \int_{-2}^{3} 6x^2 dx$.

Escoge una respuesta






Determina el valor de la integral definida $latex \int_{-3}^{-1} 2x^3 dx$.

Escoge una respuesta






Encuentra el valor de la integral definida $latex \int_{-2}^{-1} \frac{2}{x^3} dx$.

Escoge una respuesta







Véase también

¿Interesado en aprender más sobre integrales de funciones? Puedes mirar estas páginas:

Aprende matemáticas con nuestros recursos adicionales en varios temas diferentes

Conoce Más