Integrales definidas – Ejercicios resueltos

Para resolver esta integral definida, tenemos que empezar integrando la expresión y usar corchetes para indicar los límites de integración:

$$\int_{0}^{2} 4x^3dx=[x^4+c]_{0}^{2}$$

Ahora, podemos evaluar los límites. La expresión evaluada en el límite inferior es restada de la expresión evaluada en el límite superior:

$$[x^4+c]_{0}^{2}=[(2)^4+c]-[(0)^4+c]$$

Cuando simplificamos esto tenemos:

$latex =[(2)^4+c]-[(0)^4+c]$

$latex =[16+c]-[0+c]$

$latex =16$

Podemos observar que la constante de integración fue eliminada, por lo que podemos omitirla cuando estamos trabajando con integrales definidas.

Empezamos encontrando la integral a ser evaluada. Mantenemos los límites de integración usando corchetes e ignoramos la constante de integración:

$$\int_{2}^{3} (6x^2-1)dx=[2x^3-x]_{2}^{3}$$

Ahora que tenemos la integral, podemos evaluarla en los límites dados de la siguiente forma:

$$[2x^3-x]_{2}^{3}=[2(3)^3-(3)]-[2(2)^3-(2)]$$

Por último, simplificamos de la siguiente forma:

$latex =[2(3)^3-(3)]-[2(2)^3-(2)]$

$latex =[54-3]-[16-2]$

$latex =[51]-[14]$

$latex =37$

Integrando la expresión dada y manteniendo los límites de integración, tenemos:

$$\int_{4}^{5} (4x+3)dx=[2x^2+3x]_{4}^{5}$$

Evaluando los límites, tenemos:

$$[2x^2+3x]_{4}^{5}=[2(5)^2+3(5)]-[2(4)^2+3(4)]$$

Por último, simplificamos para obtener:

$latex =[2(5)^2+3(5)]-[2(4)^2+3(4)]$

$latex =[50+15]-[32+12]$

$latex =[65]-[44]$

$latex =21$

Para encontrar el valor de la integral, tenemos que empezar integrando la expresión mientras mantenemos los límites de integración:

$$\int_{2}^{3} (4-3x^2)dx=[4x-x^3]_{2}^{3}$$

Ahora, vamos a evaluar los límites. Restamos el límite inferior del límite superior:

$$[4x-x^3]_{2}^{3}=[4(3)-(3)^3]-[4(2)-(2)^3]$$

Podemos simplificar para obtener un valor único:

$latex =[4(3)-(3)^3]-[4(2)-(2)^3]$

$latex =[12-27]-[8-8]$

$latex =[-15]-[0]$

$latex =-15$

Tenemos que empezar encontrando la integral de la expresión dada. En este caso, vamos a usar las leyes de los exponentes para escribir de la siguiente forma:

$$\int_{2}^{8} \frac{1}{x^2} dx=\int_{2}^{8} x^{-2} dx$$

$$=[-x^{-1}]_{2}^{8}$$

Ahora que tenemos la integral, vamos a evaluar los límites:

$$[-x^{-1}]_{2}^{8}=[-(8)^{-1}]-[-(2)^{-1}]$$

Finalmente, simplificamos para obtener un valor definido:

$latex =[-(8)^{-1}]-[-(2)^{-1}]$

$$=-\frac{1}{8}+\frac{1}{2}$$

$$=\frac{3}{8}$$

Para integral esta expresión, tenemos que usar las leyes de los exponentes para escribirla sin la fracción. Entonces, tenemos:

$$\int_{1}^{2} \frac{4}{x^3} dx=\int_{1}^{2} 4x^{-3} dx$$

$$=[-2x^{-2}]_{1}^{2}$$

Ahora, vamos a evaluar a la expresión dada con los límites de integración dados:

$$[-2x^{-2}]_{1}^{2}=[-2(2)^{-2}]-[-2(1)^{-2}]$$

Cuando simplificamos esto tenemos:

$latex =[-2(2)^{-2}]-[-2(1)^{-2}]$

$$=-\frac{1}{2}+2$$

$$=\frac{3}{2}$$

En este caso, tenemos una raíz cuadrada. Entonces, la escribimos con un exponente numérico usando las leyes de los exponentes:

$$\int_{4}^{9} \sqrt{x} dx=\int_{4}^{9} x^{\frac{1}{2}} dx$$

$$=\left[\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3}}\right]_{4}^{9}$$

Ahora, evaluamos a la expresión usando los límites de integración:

$$=\left[\frac{2}{3} (9)^{\frac{3}{2}}\right]-\left[\frac{2}{3} (4)^{\frac{3}{2}}\right]$$

Podemos simplificar considerando que el exponente $latex \frac{3}{2}$ es equivalente a sacar la raíz cuadrada y elevar el resultado al cubo.

$$=\left[\frac{2}{3} (9)^{\frac{3}{2}}\right]-\left[\frac{2}{3} (4)^{\frac{3}{2}}\right]$$

$$=\left[\frac{2}{3} (27)\right]-\left[\frac{2}{3} (8)\right]$$

$$=18-\frac{16}{3}$$

$$=\frac{38}{3}=12~\frac{2}{3}$$

Empezamos escribiendo a la expresión con un exponente numérico para encontrar su integral:

$$\int_{1}^{4} \left( 3- \frac{1}{\sqrt{x}}\right)dx=\int_{1}^{4} ( 3- x^{-\frac{1}{2}})dx$$

$$=\left[ 3x-2 x^{\frac{1}{2}}\right]_{0}^{2}$$

Al evaluar a la expresión usando los límites de integración, tenemos:

$$=\left[ 3(4)-2 (4)^{\frac{1}{2}}\right]-\left[ 3(1)-2 (1)^{\frac{1}{2}}\right]$$

Finalmente, podemos simplificar considerando que el exponente $latex \frac{1}{2}$ es equivalente a la raíz cuadrada:

$$=\left[ 3(4)-2 (4)^{\frac{1}{2}}\right]-\left[ 3(1)-2 (1)^{\frac{1}{2}}\right]$$

$$=[ 12-4]-\left[ 3-2\right]$$

$latex =8-1$

$latex =7$

Reescribimos a los exponentes usando las leyes de exponentes y encontramos la integral de la expresión:

$$\int_{\frac{1}{2}}^{1} 1+\frac{1}{x^2} dx=\int_{\frac{1}{2}}^{1} 1+x^{-2} dx$$

$$=\left[x-x^{-1} \right]_{\frac{1}{2}}^{1}$$

Ahora, evaluamos a la expresión obtenida usando los límites de integración:

$$=\left[1-(1)^{-1} \right]-\left[\frac{1}{2}-(\frac{1}{2})^{-1} \right]$$

Al simplificar, podemos obtener un único valor:

$$=\left[1-1 \right]-\left[\frac{1}{2}-2 \right]$$

$$=-\left[\frac{1}{2}-2 \right]$$

$$=\frac{3}{2}$$

Vamos a encontrar la integral de la expresión al escribir a la raíz cúbica como un exponente numérico:

$$\int_{1}^{8} \sqrt[3]{x} dx=\int_{1}^{8} x^{\frac{1}{3}} dx$$

$$=\left[\frac{3}{4}x^{\frac{4}{3}} \right]_{1}^{8}$$

Evaluando los límites de integración, tenemos:

$$=\left[\frac{3}{4}(8)^{\frac{4}{3}} \right]-\left[\frac{3}{4}(1)^{\frac{4}{3}} \right]$$

Podemos simplificar esto al considerar que el exponente $latex \frac{4}{3}$ es equivalente a sacar la raíz cúbica del número y elevar el resultado a la cuarta:

$$=\left[\frac{3}{4}(16) \right]-\left[\frac{3}{4}(1) \right]$$

$$=12-\frac{3}{4}$$

$$=\frac{45}{4}=11~\frac{1}{4}$$