10 Ejercicios de integrales de polinomios resueltos

La integral de un polinomio puede ser encontrada al sumar 1 a los exponentes de la variable de cada término del polinomio. Luego, multiplicamos a cada término por el recíproco del nuevo exponente. Finalmente, simplificamos la expresión obtenida y sumamos la constante de integración.

A continuación, resolveremos 10 ejercicios de integrales de polinomios. Luego, puedes poner a prueba tus habilidades con 5 ejercicios prácticos.

CÁLCULO
Fórmula de la integral de un polinomio

Relevante para

Resolver algunos ejercicios de integrales de polinomios.

Ver ejercicios

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Fórmula de la integral de un polinomio

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10 Ejercicios de integrales de polinomios resueltos

Los siguientes ejercicios tienen una solución detallada en donde encontramos las integrales de cada uno de los polinomios dados. Intenta resolver los ejercicios tú mismo antes de mirar la solución.

EJERCICIO 1

Encuentra la integral del polinomio $latex 3x^2+1$

Para resolver este ejercicio, tenemos que empezar formando la integral con el polinomio dado:

$latex \int 3x^2+1 dx$

Ahora, podemos obtener la integral al considerar lo siguiente:

  1. El exponente de cada variable a ser integrada tiene que ser sumado 1.
  2. Cada término del polinomio debe ser dividido por el nuevo exponente.

Aplicando esto, tenemos:

$$\int 3x^2+1 dx=\frac{3x^3}{3}+1x$$

Simplificando y añadiendo la constante de integración, tenemos:

$$\int 3x^2+1 dx=x^3+x+c$$

EJERCICIO 2

¿Cuál es la integral del polinomio $latex x^3+2x$?

Empezamos formando la integral con el polinomio dado:

$latex \int x^3+2x dx$

Ahora, podemos resolver la integral del polinomio al seguir los siguientes pasos.

  1. Sumamos 1 al exponente de cada término.
  2. Cada término debe ser dividido por el nuevo exponente.

Entonces, tenemos:

$$\int x^3+2x dx=\frac{x^4}{4}+\frac{2x^2}{2}$$

Cuando simplificamos y sumamos la constante de integración, tenemos:

$$\int x^3+2x dx=\frac{x^4}{4}+x^2+c$$

EJERCICIO 3

Determina la integral de la función polinomial $latex f(x)=-x^3-3x^2$.

Formando la integral con la función polinomial dada, tenemos:

$latex \int -x^3-3x^2 dx$

Ahora, aplicamos lo siguiente:

  1. Cada exponente de la variable a integrarse debe ser sumado por 1.
  2. Cada término debe ser dividido por el valor del nuevo exponente.

Entonces, tenemos:

$$\int -x^3-3x^2 dx=-\frac{x^4}{4}-\frac{3x^3}{3}$$

Cuando simplificamos y añadimos la contante de integración, tenemos:

$$\int -x^3-3x^2 dx=-\frac{x^4}{4}-x^3+c$$

EJERCICIO 4

¿Cuál es la integral de la función polinomial $latex f(x)=5x^3-3x-2$?

La integral a ser evaluada es:

$latex \int 5x^3-3x -2 dx$

Resolvemos la integral aplicando los siguientes pasos:

  1. Sumamos 1 al exponente de cada término del polinomio.
  2. Dividimos a cada término por el nuevo exponente.

Aplicando esto, tenemos:

$$\int 5x^3-3x -2 dx=\frac{5x^4}{4}-\frac{3x^2}{2}-2x$$

Simplificando y añadiendo la constante de integración, tenemos:

$$\int 5x^3-3x -2 dx=\frac{5x^4}{4}-\frac{3x^2}{2}-2x+c$$

EJERCICIO 5

Encuentra la integral del polinomio $latex 2x^3-6x^2+5x$.

Formando la integral a ser evaluada, tenemos:

$latex \int 2x^3-6x^2+5x dx$

Ahora, podemos aplicar lo siguiente para resolver la integral:

  1. El exponente de x de cada término debe ser sumado 1.
  2. Cada término debe ser dividido por el valor del nuevo exponente.

Cuando aplicamos esto, tenemos:

$$\int 2x^3-6x^2+5x dx=\frac{2x^4}{4}-\frac{6x^3}{3}+\frac{5x^2}{2}$$

Cuando simplificamos y sumamos la constante de integración, tenemos:

$$\int 2x^3-6x^2+5x dx=\frac{x^4}{2}-2x^3+\frac{5x^2}{2}+c$$

EJERCICIO 6

Si es que tenemos la función $latex f(x)=2x^4+3x^3-2x^2$, ¿cuál es su integral?

La integral a ser evaluada es:

$latex \int 2x^4+3x^3-2x^2 dx$

Cuando evaluamos esta integral, tenemos:

$$\int 2x^4+3x^3-2x^2 dx=\frac{2x^5}{5}+\frac{3x^4}{4}-\frac{2x^3}{3}$$

Simplificando y añadiendo la constante de integración, tenemos:

$$\int 2x^4+3x^3-2x^2 dx=\frac{2x^5}{5}+\frac{3x^4}{4}-\frac{2x^3}{3}+c$$

EJERCICIO 7

Encuentra la integral de la función $latex f(x)=3x^3+(x-2)^2$.

Podemos empezar expandiendo el binomio y simplificando la función polinomial dada:

$latex f(x)=3x^3+(x-2)^2$

$latex f(x)=3x^3+x^2-4x+4$

Formando la integral, tenemos:

$latex \int 3x^3+x^2-4x+4 dx$

Resolviendo la integral, tenemos:

$$\int 3x^3+x^2-4x+4 dx=\frac{3x^4}{4}+\frac{x^3}{3}-\frac{4x^2}{2}+4x$$

Cuando simplificamos y sumamos la constante de integración, tenemos:

$$\int 3x^3+x^2-4x+4 dx=\frac{3x^4}{4}+\frac{x^3}{3}-2x^2+4x+c$$

EJERCICIO 8

Encuentra la integral de $latex f(x)=2x^3+(x+4)^2-2x^2$.

Expandiendo el polinomio dado y simplificando, tenemos:

$latex f(x)=2x^3+(x+4)^2-2x^2$

$latex f(x)=2x^3+x^2+8x+16-2x^2$

$latex f(x)=2x^3-x^2+8x+16$

La integral a ser evaluada es:

$latex \int 2x^3-x^2+8x+16 dx$

Entonces, tenemos:

$$\int 2x^3-x^2+8x+16 dx=\frac{2x^4}{4}-\frac{x^3}{3}+\frac{8x^2}{2}+16x$$

Simplificando y añadiendo la constante de integración, tenemos:

$$\int 2x^3-x^2+8x+16 dx=\frac{x^4}{2}-\frac{x^3}{3}+4x^2+16x+c$$

EJERCICIO 9

Si es que la derivada de una curva es $latex g(x)=4x^3-2$ y la curva pasa a través del punto $latex (-1, ~2)$. Encuentra la ecuación de la curva.

En este problema, tenemos que encontrar la función de la curva que tiene una derivada igual a $latex g(x)=4x^3-2$. Es decir, tenemos que encontrar la integral de la derivada dada.

Entonces, formando la integral a ser evaluada, tenemos:

$latex \int 4x^3-2 dx$

Resolviendo esto, tenemos:

$$\int 4x^3-2 dx=\frac{1}{4}4x^4-2x+c$$

$$\int 4x^3-2 dx=x^4-2x+c$$

Podemos determinar el valor de la constante de integración al usar el punto $latex (-1, ~2)$. Entonces, tenemos:

$latex y=x^4-2x+c$

$latex 2=(-1)^4-2(-1)+c$

$latex 2=1+2+c$

$latex c=-1$

Entonces, la ecuación de la curva es $latex y=x^4-2x-1$.

EJERCICIO 10

Una curva tiene una pendiente representada por $latex 20x^4-10x$. Si es que la curva pasa por el punto (1, 3), ¿cuál es su ecuación?

En este caso, conocemos la ecuación de la pendiente de la curva. Sin embargo, recordamos que la pendiente es igual a la derivada de la función.

Entonces, similar al ejercicio anterior, vamos a encontrar la integral de $latex 20x^4-10x$, ya que la integral representa la ecuación de la curva:

$latex \int 20x^4-10x dx$

Resolviendo esta integral, tenemos:

$$\int 20x^4-10x dx=\frac{20x^5}{5}-\frac{10x^2}{2}+c$$

$$\int 20x^4-10x dx=4x^5-5x^2+c$$

Si es que usamos el punto (1, 3), podemos determinar el valor de la constante:

$latex y=4x^5-5x^2+c$

$latex 3=4(1)^5-5(1)^2+c$

$latex 3=4-5+c$

$latex c=4$

Entonces, la ecuación de la curva es $latex y=4x^5-5x^2+4$.


5 Ejercicios de integrales de polinomios para resolver

Resuelve los siguientes ejercicios aplicando todo lo aprendido sobre integrales de polinomios. Puedes usar los ejercicios resueltos de arriba como guía.

¿Cuál es la integral del polinomio $latex x^4-2$?

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Encuentra la integral del polinomio $latex 12x^5+2x$?

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Encuentra la integral del polinomio $latex x^3+4x^2-2$.

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Si es que tenemos el polinomio $latex 3+\frac{x^3}{2}-2x^4$, ¿cuál es su integral?

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Si es que una curva tiene una pendiente representada por $latex 10x^4-4x$, ¿cuál es la ecuación de la curva considerando que pasa por el punto (1, 2)?

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Véase también

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