8 Ejercicios resueltos del área bajo una curva

El área bajo una curva puede ser encontrada usando integrales definidas. A su vez, las integrales definidas son calculadas al integrar la función y evaluar tanto al límite inferior, como al límite superior. El límite inferior es restado del límite inferior para obtener un valor determinado para el área.

A continuación, veremos 8 ejercicios resueltos del área bajo una curva. Además, veremos algunos ejercicios prácticos para aplicar lo aprendido.

CÁLCULO
Diagrama del área bajo una curva

Relevante para

Resolver ejercicios de práctica del área bajo una curva.

Ver ejercicios

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Diagrama del área bajo una curva

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8 Ejercicios resueltos del área bajo una curva

Cada uno de los siguientes ejercicios tiene su respectiva solución detallada, en donde encontramos el área bajo las curvas dadas usando integrales definidas.

EJERCICIO 1

¿Cuál es el área bajo la curva representada por $latex y=x^2$ entre $latex x=1$ y $latex x=3$?

Ejemplo 1 area bajo la curva

Para resolver este ejercicio, tenemos que empezar formando una integral definida con la información dada. Entonces, tenemos:

$$A=\int_{1}^{3} x^2 dx$$

Ahora, encontramos la integral de la expresión y mantenemos los límites de integración usando corchetes:

$$A=\left[ \frac{x^3}{3} \right]_{1}^{3}$$

Cuando evaluamos los límites de integración, tenemos:

$$A=\left[ \frac{(3)^3}{3} \right]-\left[ \frac{(1)^3}{3} \right]$$

Finalmente, podemos simplificar:

$$A=\left[ \frac{27}{3} \right]-\left[ \frac{1}{3} \right]$$

$$A=[9]-\left[ \frac{1}{3} \right]$$

$$A= \frac{26}{3}$$

EJERCICIO 2

Determina el área bajo la curva que es representada por $latex y=\frac{1}{3}x^2+2$ desde $latex x=0$ y $latex x=3$.

Ejemplo 2 area bajo la curva

Con la información dada, podemos formar la siguiente integral definida:

$$A=\int_{0}^{3} \frac{1}{3} x^2+2 dx$$

Ahora, integramos a la expresión dada y mantenemos los límites de integración:

$$A=\left[ \frac{1}{9} x^3+2x \right]_{0}^{3}$$

Cuando evaluamos los límites de integración en la expresión integrada, tenemos:

$$A=\left[\frac{1}{9}(3)^3+2(3) \right]-\left[\frac{1}{9}(0)^3+2(0) \right]$$

Al simplificar, tenemos:

$$A=[3+6]-[0]$$

$$A=9$$

EJERCICIO 3

¿Cuál es el área de la curva representada por $latex y=x^3-4x$ desde $latex x=-2$ hasta $latex x=0$?

Ejemplo 3 area bajo la curva

Empezamos formando una integral definida con la información dada:

$$A=\int_{-2}^{0} x^3-4x dx$$

Ahora, integramos la expresión y mantenemos los límites de integración:

$$A=\left[ \frac{x^4}{4} -2x^2 \right]_{-2}^{0}$$

Cuando evaluamos los límites de integración, tenemos:

$$A=\left[ \frac{(0)^4}{4} -2(0)^2 \right]-\left[ \frac{(-2)^4}{4} -2(-2)^2 \right]$$

Simplificamos para obtener un solo valor para el área:

$$A=[ 0 -0]-\left[ \frac{16}{4} -2(4) \right]$$

$latex A=-[ 4-8]$

$latex A= 4$

EJERCICIO 4

Encuentra el área bajo la curva $latex y=x^2+x+2$ desde $latex x=-1$ hasta $latex x=2$.

Ejercicio 4 area bajo la curva

Formando una integral con la información dada, tenemos:

$$A=\int_{-1}^{2} x^2+x+2 dx$$

Ahora, podemos integrar la expresión mientras mantenemos los límites de integración:

$$A=\left[ \frac{x^3}{3} +\frac{x^2}{2}+2x \right]_{-1}^{2}$$

Al evaluar esto, tenemos:

$$A=\left[ \frac{(2)^3}{3} +\frac{(2)^2}{2}+2(2) \right]-\left[ \frac{(-1)^3}{3} +\frac{(-1)^2}{2}+2(-1) \right]$$

Cuando simplificamos, tenemos:

$$A=\left[ \frac{8}{3} +2+4 \right]-\left[ -\frac{1}{3} +\frac{1}{2}-2 \right]$$

$$A=\left[ \frac{26}{3}\right]-\left[ -\frac{11}{6} \right]$$

$latex A=\frac{63}{6}$

$latex A= 10~\frac{1}{2}$

EJERCICIO 5

Si es que tenemos una curva representada por $latex y=x^2+4x$, encuentra el área de la región que va desde $latex x=-2$ hasta $latex x=0$.

Ejemplo 4 area bajo la curva

En este caso, la región que queremos está debajo del eje x. Sin embargo, podemos seguir el mismo proceso y encontrar una integral definida con la información dada:

$$A=\int_{-2}^{0} x^2 +4x dx$$

Determinando la integral de la expresión y manteniendo los límites de integración, tenemos:

$$A=\left[ \frac{x^3}{3} +2x^2 \right]_{-2}^{0}$$

Al evaluar los límites de integración, tenemos:

$$A=\left[ \frac{(0)^3}{3} +2(0)^2 \right]-\left[ \frac{(-2)^3}{3} +2(-2)^2 \right]$$

Cuando simplificamos, obtenemos lo siguiente:

$$A=[ 0 +0]-\left[ \frac{-8}{3} +8 \right]$$

$$A=-\left[ \frac{16}{3} \right]$$

Vemos que obtuvimos un valor negativo. La razón para esto es que el área que queremos está bajo el eje x. Entonces, ignoramos el signo menos y el área es igual a $latex A= \frac{16}{3} $.

En este ejercicio, podemos entender por qué es útil trazar una gráfica simple cuando queremos encontrar el área bajo una curva.

EJERCICIO 6

Encuentra el área bajo la curva $latex y=3x^2-3x-6$ desde $latex x=-1$ hasta $latex x=2$.

Ejercicio 6 area bajo la curva

Este ejercicio es similar al anterior. Entonces, debemos usar el mismo proceso e ignorar el signo negativo resultante.

Formando la integral definida, tenemos:

$$A=\int_{-1}^{2} 3x^2-3x-6 dx$$

Determinando la integral de la expresión y manteniendo los límites de integración, tenemos:

$$A=\left[ x^3 -\frac{3x^2}{2}-6x \right]_{-1}^{2}$$

Cuando evaluamos los límites de integración, tenemos:

$$A=\left[ (2)^3 -\frac{3(2)^2}{2}-6(2) \right]-\left[ (-1)^3 -\frac{3(-1)^2}{2}-6(-1) \right]$$

Al simplificar, tenemos:

$$A=[ 8 -6-12 ]-\left[ -1 -\frac{3}{2}+6 \right]$$

$$A=[ -10 ]-\left[ \frac{7}{2} \right]$$

$$A=-\frac{27}{2}=-13.5$$

El área es igual a $latex A= 13.5 $.

EJERCICIO 7

Encuentra el área bajo la curva $latex y=2x^3-8x$ desde $latex x=-2$ hasta $latex x=2$.

Ejemplo 5 area bajo la curva

Podemos resolver esto al encontrar las áreas bajo el eje x y encima del eje x separadamente. Sin embargo, en este caso, observamos que la gráfica es simétrica y ambas regiones tienen la misma área.

Por lo tanto, podemos encontrar el área de una región y luego la multiplicamos por 2. Entonces, empezamos formando la siguiente integral definida:

$$A=\int_{-2}^{0} 2x^3-8x dx$$

Ahora, escribimos de la siguiente forma:

$$A=\left[ \frac{x^4}{2}-4x^2 \right]_{-2}^{0}$$

Al evaluar esto, tenemos:

$$A=\left[ \frac{(0)^4}{2}-4(0)^2 \right]-\left[ \frac{(-2)^4}{2}-4(-2)^2 \right]$$

Finalmente, simplificamos para obtener un solo valor:

$latex A=[0-0]-[ 8 -16]$

$latex A= 8$

Entonces, el área de la región desde $latex x=-2$ hasta $latex x=2$ es 16.

EJERCICIO 8

Si es que tenemos la curva $latex y=x^3-4x^2+3x$, ¿cuál es el área bajo la curva desde $latex x=0$ hasta $latex x=3$?

Ejemplo 6 area bajo la curva

En este caso, el área requerida tiene dos partes, $latex A_{1}$, el área encima del eje x, y $latex A_{2}$, el área bajo el eje x. Entonces, vamos a encontrar estas áreas separadamente.

Para el área $latex A_{1}$, tenemos la siguiente integral definida:

$$A_{1}=\int_{0}^{1} (x^3-4x^2+3x) dx$$

Podemos resolver esta integral de la siguiente forma:

$$A_{1}=\left[ \frac{x^4}{4}-\frac{4x^3}{3}+\frac{3x^2}{2} \right]_{0}^{1}$$

$$A_{1}=\left[ \frac{1}{4}-\frac{4}{3}+\frac{3}{2} \right]-[ 0]$$

$$A_{1}=\frac{5}{12}$$

Para el área $latex A_{2}$, tenemos la siguiente integral definida:

$$A_{2}=\int_{1}^{3} (x^3-4x^2+3x) dx$$

Y resolvemos de la siguiente forma:

$$A_{2}=\left[ \frac{x^4}{4}-\frac{4x^3}{3}+\frac{3x^2}{2} \right]_{1}^{3}$$

$$A_{2}=\left[ \frac{81}{4}-36+\frac{27}{2} \right]-\left[ \frac{1}{4}-\frac{4}{3}+\frac{3}{2} \right]$$

$$A_{2}=-\frac{9}{4}-\frac{5}{12}$$

$$A_{2}=-\frac{8}{3}$$

Finalmente, calculamos el área total $latex A$ de la siguiente forma:

$$A=A_{1}+A_{2}$$

$$A=\frac{5}{12}+\frac{8}{3}$$

$$A=\frac{37}{12}$$


5 Ejercicios del área bajo una curva para resolver

Resuelve los siguientes ejercicios usando una integral definida para determinar el área bajo las curvas dadas.

Encuentra el área bajo la curva $latex y=1+x^2$ desde $latex x=0$ hasta $latex x=2$?

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¿Cuál es el área bajo la curva $latex y=3+x$ desde $latex x=1$ hasta $latex x=4$?

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Determina el área bajo la curva $latex y=5x-x^2$ desde $latex x=0$ hasta $latex x=5$.

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¿Cuál es el área bajo la curva $latex y=\frac{1}{x^2}$ desde $latex x=2$ hasta $latex x=10$?

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Encuentra el área bajo la curva $latex y=2x^2+3$ desde $latex x=-1$ hasta $latex x=2$.

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Véase también

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