Integración por sustitución – Ejercicios resueltos

La integración por sustitución consiste en buscar una sustitución para simplificar la integral. Por ejemplo, podemos buscar una función u de x para obtener una función de u que resulta más fácil de integrar. Luego de realizar la integración, la variable original x es sustituida de vuelta.

A continuación, veremos algunos ejercicios resueltos de integración por sustitución. Luego, veremos ejercicios para resolver para aplicar lo aprendido.

CÁLCULO
Ejemplo de integración por sustitución

Relevante para

Resolver ejercicios de integración por sustitución.

Ver ejercicios

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Ejemplo de integración por sustitución

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Cómo integrar una función usando sustitución

Para integrar una función por medio del método de sustitución, usamos el siguiente proceso:

1. Busca una sustitución que simplifique la integral.

Esto significa encontrar una nueva variable, digamos $latex u$, que sea función de $latex x$ y tenga una derivada fácil de integrar.

2. Sustituye la nueva variable, u, en la integral original

Obtendremos una integral de la forma $latex \int g(u)du$. Ten en cuenta que $latex dx=\frac{dx}{du}du$, en donde $latex \frac{dx}{du}$ es el recíproco de la derivada de $latex u$ con respecto a $latex x$.

3. Usa las reglas de integración para evaluar la integral ∫ g(u)du.

4. Sustituye de nuevo la variable original, x, para hallar el valor de la integral original.

Supongamos que queremos resolver $latex \int x(2x+1)^3dx$. Para facilitar el problema, vamos a usar la sustitución $latex u=2x+1$. Entonces, tenemos:

$$\int xu^3dx=\int xu^3\frac{dx}{du}du$$

Para resolver la integral, debemos cambiar todas las variables a $latex u$. Entonces, consideramos lo siguiente:

  • Dado que $latex u=2x+1$, $latex \frac{du}{dx}=2$
  • Resolviendo para $latex x$: $latex x=\frac{u-1}{2}$

Entonces, la integral se vuelve:

$$\int \frac{u-1}{2}u^\frac{1}{2}du=\int\frac{u^4-u^3}{4}du$$

$$ = \frac{u^5}{20}-\frac{u^4}{16}+c$$

$$ = \frac{u^4}{80}(4u-5)+c$$

Ahora, sustituimos $latex u=2x+1$ de vuelta y tenemos:

$$\int x(2x+1)^3dx=\frac{(2x+1)^4}{80}[4(2x+1)-5]+c$$

$$ =\frac{(2x+1)^4}{80}(8x-1)+c$$


Ejercicios resueltos de integración por sustitución

EJERCICIO 1

Calcular la siguiente integral:

$$ \int 3(1+2x)^4dx$$

El éxito de una cambio de variable consiste en hacer que la integral a resolver se transforme en una integral más simple, como por ejemplo una potencia, o la integral de alguna función elemental. En este ejemplo, se hace el siguiente cambio:

$latex u =1+2x$

$latex du =2dx$

Por lo tanto:

$latex dx =\dfrac {du}{2}$

La idea es lograr que la nueva variable y su derivada aparezcan en el integrando original. Sustituyendo los resultados anteriores y teniendo en cuenta que los coeficientes numéricos salen fuera de la integral al ser constantes, se obtiene:

$$ \int 3(1+2x)^4dx=3 \int u^4\cdot\left(\dfrac {du}{2}\right)=\frac{3}{2} \int u^4du$$

Enseguida se aplica la regla de las potencias para la integración:

$$\int kx^ndx=k\left(\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\right)+C$$

Con $latex n \neq -1$

Además, $latex k $ es el coeficiente y $latex C$ es la constante de integración.

En este ejemplo, $latex n = 4$, por lo tanto:

$$ \int 3(1+2x)^4dx=\frac{3}{2} \int u^4du=\frac{3}{2}\left(\dfrac{u^{4+1}}{4+1}\right)+C$$

$$ \frac{3}{2} \int u^4du=\frac{3}{2}\left(\dfrac{u^5}{5}\right)+C$$

$$ \frac{3}{2} \int u^4du=\frac{3u^5}{10}+C$$

Finalmente, se devuelve el cambio realizado sustituyendo $latex u =1+2x$ en el resultado anterior:

$$ \int 3(1+2x)^4dx=\frac{3(1+2x)^5}{10}+C$$

EJERCICIO 2

Encuentre el valor de la siguiente integral indefinida:

$$ \int \frac {4x}{\sqrt{1+x^2}}dx$$

En este tipo de integral, da buenos resultados tomar la cantidad subradical como la variable $latex u$, ya que al derivar, aparece una expresión semejante al numerador de la fracción:

$latex u =1+x^2$

$latex du =2xdx$

Al sustituir el cambio propuesto, se obtiene:

$$ \int \frac {4x}{\sqrt{1+x^2}}dx=\int \frac {2du}{\sqrt{u}}$$

Ahora se escribe el integrando como potencia:

$$\int \frac {2du}{\sqrt{u}}=2\int \left(u^{-\frac{1}{2}}\right)du$$

Aplicando la regla de las potencias con $latex n=-\dfrac{1}{2}$:

$$2\int \left(u^{-\frac{1}{2}}\right)du=2\Big[\dfrac{u^{-\frac{1}{2}+1}}{-\frac{1}{2}+1}\Big]+C=2\Big[\dfrac{u^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}\Big]+C$$

$$2\int \left(u^{-\frac{1}{2}}\right)du=4u^{\frac{1}{2}}+C$$

Por último, se devuelve el cambio:

$$ \int \frac {4x}{\sqrt{1+x^2}}dx=4(1+x^2)^{\frac{1}{2}}+C$$

$$ \int \frac {4x}{\sqrt{1+x^2}}dx=4\sqrt{1+x^2}+C$$

EJERCICIO 3

Hallar la integral:

$$ \int x\sqrt{2x+1}dx$$

Se puede hacer el siguiente cambio:

$latex u = 2x+1$

$latex du =2dx$

Con esto se obtiene:

$latex x =\dfrac{ u-1}{2}$

$latex dx =\dfrac{ du}{2}$

Ahora se transforma toda la integral a la variable $latex u$:

$$ \int \left[\dfrac{ (u-1)\sqrt{u}}{2}\right]\dfrac{ du}{2}=\frac{1}{4}\int(u-1)\sqrt{u}du$$

$$=\frac{1}{4}\int(u-1)u^\frac{1}{2}du$$

Enseguida se aplica la propiedad distributiva en el integrando:

$$ \frac{1}{4}\int(u-1)u^\frac{1}{2}du=\frac{1}{4}\int \left(u^\frac{3}{2}-u^\frac{1}{2}\right) du$$

Que conduce a dos integrales sencillas que se resuelven con la regla de las potencias:

$$ \frac{1}{4}\int \left(u^\frac{3}{2}-u^\frac{1}{2}\right) du=\frac{1}{4}\int u^\frac{3}{2}du-\frac{1}{4}\int u^\frac{1}{2}du$$

$$\frac{1}{4}\int u^\frac{3}{2}du-\frac{1}{4}\int u^\frac{1}{2}du=\frac{1}{4}\left[\dfrac{u^{\frac{3}{2}+1}}{\frac{3}{2}+1}\right]-\frac{1}{4}\left[\dfrac{u^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1}\right]+C$$

$$=\frac{1}{4}\left[\dfrac{u^{\frac{5}{2}}}{\frac{5}{2}}\right]-\frac{1}{4}\left[\dfrac{u^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}\right]+C$$

$$=\frac{1}{10}u^{\frac{5}{2}}-\frac{1}{6}u^{\frac{3}{2}}+C$$

Ahora se regresa el resultado a la variable original:

$$ \int x\sqrt{2x+1}dx=\frac{1}{10}(2x+1)^{\frac{5}{2}}-\frac{1}{6}(2x+1)^{\frac{3}{2}}+C$$

Opcionalmente, la expresión anterior puede factorizarse:

$$ \int x\sqrt{2x+1}dx=(2x+1)^{\frac{3}{2}}\left[\left(\frac{2x+1}{10}\right)-\frac{1}{6}\right]+C$$

$$ \int x\sqrt{2x+1}dx=\sqrt{(2x+1)^3}\left(\frac{x}{5}-\frac{1}{15}\right)+C$$

$$ \int x\sqrt{2x+1}dx=\sqrt{(2x+1)^3}\left(\frac{3x-1}{15}\right)+C$$

EJERCICIO 4

Resolver la siguiente integral:

$$ \int \frac{(5lnx+1)^2}{x}dx$$

El siguiente cambio de variable es apropiado, ya que tanto el logaritmo neperiano como su derivada aparecen en el integrando:

$latex u =5\ln x+1$

$latex du =\dfrac {5dx}{x}$

Nótese que:

$latex \dfrac {du}{5}=\dfrac {dx}{x}$

Se sustituye esto en la integral original, que conduce a:

$$ \int \frac{(5\ln x+1)^2}{x}dx=\int u^2 \left(\frac {du}{5}\right)$$

$$=\frac{1}{5}\int u^2 du$$

Aplicando la regla de las potencias:

$$ \frac{1}{5}\int u^2 du=\frac{1}{5}\left[\dfrac{u^{2+1}}{2+1}\right]+C=\dfrac{u^3}{15}+C$$

Por último, se devuelve el cambio:

$$ \int \frac{(5\ln x+1)^2}{x}dx=\dfrac{(5\ln x+1)^3}{15}+C$$

EJERCICIO 5

Calcular la integral:

$$ \int x^3cos(x^4+2)dx$$

Si se toma el argumento del coseno como la variable $latex u$, su derivada está presente, veamos:

$latex u = x^4+2$

$latex du =4x^3dx$

$latex \dfrac{du}{4}=x^3dx$

Haciendo los cambios correspondientes en la integral original:

$$ \int x^3\cos(x^4+2)dx=\frac{1}{4}\int \cos u du$$

Esta es una integral inmediata que aparece en tablas:

$latex \int \cos u du= \sin u + C$

Por lo tanto:

$$\frac{1}{4}\int \cos u du=\frac{1}{4}\sin u + C$$

Devolviendo el cambio de variables:

$$ \int x^3\cos(x^4+2)dx=\frac{1}{4}\sin (x^4+2)+ C$$

EJERCICIO 6

Determinar el cambio de variable apropiado para esta integral y resolverla:

$$ \int e^{3x-5}dx$$

El cambio de variable apropiado es:

$latex u =3x-5$

$latex du =3dx$

Sustituyendo:

$$ \int e^{3x-5}dx=\int e^u\left(\frac{du}{3}\right)$$

$$=\frac{1}{3}\int e^udu$$

Esta integral es inmediata:

$$ \frac{1}{3}\int e^udu=\frac{1}{3}e^u+C$$

Entonces:

$$ \int e^{3x-5}dx=\frac{1}{3}e^{3x-5}+C$$

EJERCICIO 7

Calcular la siguiente integral:

$$ \int \frac{(4x+3)dx}{2x^2+3x-1}$$

Si se toma como $latex u$ el polinomio que está en el denominador, inmediatamente se observa que su derivada aparece en el numerador, lo que lleva a una integral sencilla.

En efecto:

$latex 2x^2+3x-1$

$latex du = (4x+3)dx$

Por lo tanto:

$$ \int \frac{(4x+3)dx}{2x^2+3x-1}=\int\frac{du}{u}$$

$$=ln\left | 2x^2+3x-1 \right | +C$$

EJERCICIO 8

Utilizando una sustitución apropiada, resolver la integral:

$$\int \frac {dx}{x^2+9}$$

Antes que nada, se reescribe la integral propuesta de la siguiente manera:

$$\int \frac {dx}{x^2+9}=\int \frac {dx}{9\left(\dfrac{x^2}{9}+1\right)}$$

Donde el 9 se saca como factor común, ahora es fácil observar que:

$$\int \frac {dx}{9\left(\dfrac{x^2}{9}+1\right)}=\frac{1}{9}\int \frac {dx}{\left[\left(\dfrac{x}{3}\right)^2+1\right]}$$

$$=\frac{1}{9}\int \dfrac {dx}{\left[1+\left(\dfrac{x}{3}\right)^2\right]}$$

El cambio de variable es el siguiente:

$latex u =\dfrac{x}{3}$

$latex du =\dfrac{dx}{3}$

$latex dx =3du$

De esta manera, la integral se transforma en:

$$\frac{1}{9}\int \dfrac {dx}{\left[1+\left(\dfrac{x}{3}\right)^2\right]}=\frac{3}{9}\int \dfrac {du}{1+u^2}$$

$$=\frac{1}{3}\int \dfrac {du}{1+u^2}$$

Esta integral aparece en las tablas:

$$\int \dfrac {dx}{1+x^2}=\arctan x + C$$

Por lo tanto:

$$\int \frac {dx}{x^2+9}=\frac{1}{3}\int \dfrac {du}{1+u^2}$$

$$=\left(\frac{1}{3}\right)\arctan u + C$$

Y al devolver el cambio, queda:

$$\int \frac {dx}{x^2+9}=\left(\frac{1}{3}\right)\arctan u + C$$

$$=\left(\frac{1}{3}\right)\arctan\left( \dfrac{x}{3} \right)+ C$$

En general, las integrales de la forma $latex \int \frac {dx}{a^2+x^2}$, se resuelven mediante:

$$\int \frac {dx}{a^2+x^2}=\frac{1}{a}\arctan\left( \dfrac{x}{a} \right)+ C$$

EJERCICIO 9

Encontrar una sustitución apropiada para calcular la integral:

$$\int \frac {dx}{4-x^2}$$

Inspirados en el ejemplo anterior, se reescribe la integral como:

$$\int \frac {dx}{4-x^2}=\int \frac {dx}{4\left(1-\dfrac{x^2}{4}\right)}=\frac{1}{4}\int \frac {dx}{\left[1-\left(\dfrac{x}{2}\right)^2\right]}$$

Esta vez, el cambio de variable sería:

$latex u =\dfrac{x}{2}$

$latex du =\dfrac{dx}{2}$

$latex dx =2du$

Y la integral se transforma en:

$$\int \frac {dx}{4-x^2}=\frac{2}{4}\int \frac {du}{1-u^2}=\frac{1}{2}\int \frac {du}{1-u^2}$$

Esta integral también aparece en las tablas como:

$$\int \dfrac {dx}{1-x^2}=\frac{1}{2}\ln\left |\dfrac{1+x}{1-x}\right | + C$$

De modo que solo resta sustituir:

$$\int \frac {dx}{4-x^2}=\frac{1}{2}\int \frac {du}{1-u^2}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\ln\left |\dfrac{1+u}{1-u}\right | + C$$

Finalmente, se regresa a la variable original:

$$\int \frac {dx}{4-x^2}=\frac{1}{4}\ln\left |\dfrac{1+\frac{x}{2}}{1-\frac{x}{2}}\right | + C=\frac{1}{4}\ln\left |\dfrac{2+x}{2-x}\right | + C$$

En general, las integrales de la forma $latex \int \frac {dx}{a^2-x^2}$, se resuelven mediante:

$$\int \frac {dx}{a^2-x^2}=\frac{1}{2a}\ln\left |\dfrac{a+x}{a-x}\right | + C$$

Alternativa, por propiedades de logaritmo:

$$\int \frac {dx}{x^2-a^2}=\frac{1}{2a}\ln\left |\dfrac{x-2}{x+a}\right | + C$$

EJERCICIO 10

Resolver:

$$\int \frac {dx}{x^2+6x+5}$$

A primera vista, esta integral no se parece mucho a las anteriores, a causa del término $latex 6x$, sin embargo, mediante el procedimiento de completar el cuadrado en el denominador, se puede obtener una integral como las de los ejemplos 8 o 9:

$$\int \frac {dx}{x^2+6x+5}=\int \frac {dx}{(x^2+2\cdot 3x+9)-9+5}$$

Nótese que con esta maniobra algebraica, el denominador no se altera, pero sí puede reescribirse de una manera completamente equivalente, así:

$$\int \frac {dx}{x^2+6x+5}=\int \frac {dx}{(x+3)^2-4}$$

Haciendo:

$latex u=x+3$

$latex du=dx$

$latex a=2$

La integral propuesta queda como la última variante del ejercicio anterior, en cuyo caso:

$$\int \frac {dx}{x^2+6x+5}=\int \frac {dx}{(x+3)^2-4}$$

$$=\int \frac {du}{u^2-4}=\frac{1}{2}\ln\left |\dfrac{u-2}{u+2}\right | + C$$

Y es muy simple devolver el cambio y obtener:

$$\int \frac {dx}{x^2+6x+5}=\frac{1}{2}\ln\left |\dfrac{(x+3)-2}{(x+3)+2}\right | + C$$

$$\int \frac {dx}{x^2+6x+5}=\frac{1}{2}\ln\left |\dfrac{x+1}{x+5}\right | + C$$


Ejercicios de integración por sustitución para resolver

Práctica de integración por sustitución
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Jefferson Huera Guzmán

Jefferson es el autor principal y administrador de Neurochispas.com. Los contenidos interactivos de Matemáticas y Física que he creado han ayudado a muchos estudiantes.

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