10 Ejercicios de integrales indefinidas resueltos

Las integrales indefinidas de funciones con exponentes numéricos pueden ser resueltas al sumar 1 al exponente de cada término, luego dividimos al término por el nuevo exponente. Finalmente, simplificamos la expresión obtenida y sumamos la constante de integración.

A continuación, veremos 10 ejercicios resueltos de integrales indefinidas. Luego, veremos 5 ejercicios de práctica para aplicar todo lo aprendido.

CÁLCULO
Integrales de funciones

Relevante para

Aprender sobre las integrales indefinidas con ejercicios.

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10 Ejercicios resueltos de integrales indefinidas

Cada uno de los siguientes ejercicios tiene una solución detallada. Sin embargo, intenta resolver los ejercicios tú mismo antes de mirar la respuesta.

EJERCICIO 1

Encuentra la integral indefinida de la función $latex f(x)=3x^2$.

Empezamos formando una integral con la función dada:

$latex \int 3x^2 dx$

Ahora, podemos resolver esta integral al aplicar lo siguiente:

  1. Sumamos 1 unidad al exponente de x.
  2. Dividimos al término por el nuevo exponente (n+1).
  3. Sumamos la constante de integración.

Entonces, tenemos:

$$\int 3x^2 dx=\frac{3x^3}{3}+c$$

$$\int 3x^2 dx=x^3+c$$

EJERCICIO 2

Si tenemos la función $latex f(x)=12 x^5$, ¿cuál es su integral indefinida?

Similar al ejercicio anterior, empezamos formando la integral con la función dada:

$latex \int 12x^5 dx$

Ahora, aplicamos lo siguiente:

  1. Incrementamos el exponente de x por 1.
  2. Dividimos a la expresión por el nuevo exponente.
  3. Sumamos la constante de integración.

Entonces, tenemos:

$$\int 12x^5 dx=\frac{12x^6}{6}+c$$

$$\int 12x^5 dx=2x^6+c$$

EJERCICIO 3

Encuentra la integral indefinida de la función $latex f(x)=\frac{1}{x^3}$.

En este caso, tenemos una función racional. Entonces, podemos usar las leyes de los exponentes para escribir de la siguiente forma:

$$f(x)=\frac{1}{x^3}=x^{-3}$$

Ahora, podemos formar la integral con esta función:

$latex \int x^{-3} dx$

Cuando integramos la función, tenemos:

$$\int x^{-3} dx=\frac{x^{-2}}{-2}+c$$

$$\int x^{-3} dx=-\frac{1}{2x^2}+c$$

EJERCICIO 4

¿Cuál es la integral indefinida de $latex f(x)=-\frac{1}{x^5}$?

Para facilitar la resolución, empezamos escribiendo a la función de la siguiente forma:

$$f(x)=-\frac{1}{x^5}=-x^{-5}$$

Formando la integral indefinida, tenemos:

$latex \int -x^{-5} dx$

Resolviendo la integral, tenemos:

$$\int -x^{-5} dx=-\frac{x^{-4}}{-4}+c$$

$$\int -x^{-5} dx=\frac{1}{4x^4}+c$$

EJERCICIO 5

Encuentra la integral indefinida de $latex f(x)=x^2-5x+3$.

Formando la integral indefinida con la función dada, tenemos:

$latex \int x^2-5x+3 dx$

En este caso, tenemos 3 términos. Sin embargo, podemos encontrar su integral al aplicar lo siguiente a cada término:

  1. Sumar 1 al exponente de x de cada término.
  2. Dividir a cada término por el nuevo exponente.

Entonces, cuando aplicamos esto y añadimos la constante de integración, tenemos:

$$\int x^2-5x+3 dx=\frac{x^3}{3}-\frac{5x^2}{2}+3x+c$$

EJERCICIO 6

Encuentra la integral indefinida de $latex f(x)= 2x^6+\frac{8}{x^5} $.

Empezamos escribiendo a la función de la siguiente forma:

$$f(x)=2x^6+\frac{8}{x^5}$$

$$f(x)=2x^6+8x^{-5}$$

Formando la integral indefinida, tenemos:

$latex \int 2x^6+8x^{-5} dx$

Resolviendo, tenemos:

$$\int 2x^6+8x^{-5} dx=\frac{2x^7}{7}+\frac{8x^{-4}}{-4}+c$$

$$\int 2x^6+8x^{-5} dx=\frac{2x^7}{7}-\frac{2}{x^4}+c$$

EJERCICIO 7

Encuentra la integral indefinida de la función $latex f(x)=3\sqrt{x}-4$.

Tenemos una raíz cuadrada, por lo que usamos las leyes de los exponentes para escribir de la siguiente forma:

$$f(x)=3\sqrt{x}-4=3x^{\frac{1}{2}}-4$$

Formando una integral con la función dada, tenemos:

$$\int 3x^{\frac{1}{2}}-4 dx$$

Resolviendo esto, tenemos:

$$\int 3x^{\frac{1}{2}}-4 dx=\frac{(2)3x^{\frac{3}{2}}}{3}-4x+c$$

$$=2x^{\frac{3}{2}}-4x+c$$

$$=2\sqrt{x^3}-4x+c$$

EJERCICIO 8

Si tenemos la función $latex f(x)=\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}$, ¿cuál es su integral indefinida?

Vamos a usar las leyes de los exponentes para escribir a la función de la siguiente forma:

$$f(x)=\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}$$

$$f(x)=x^{\frac{1}{2}}+x^{-\frac{1}{2}}$$

Formando una integral con esta función, tenemos:

$$\int x^{\frac{1}{2}}+x^{-\frac{1}{2}} dx$$

Al resolver, tenemos:

$$\int x^{\frac{1}{2}}+x^{-\frac{1}{2}} dx=\frac{2x^{\frac{3}{2}}}{3}+2x^{\frac{1}{2}}+c$$

$$=\frac{2\sqrt{x^3}}{3}+2\sqrt{x}+c$$

EJERCICIO 9

¿Cuál es la integral indefinida de $latex f(x)=4\sqrt{x}-\frac{2}{3x^2}$?

Vamos a escribir a la función de la siguiente forma usando las leyes de los exponentes:

$$f(x)=4\sqrt{x}-\frac{2}{3x^2}=4x^{\frac{1}{2}}-\frac{2}{3}x^{-2}$$

Formando una integral indefinida con la función, tenemos:

$$\int 4x^{\frac{1}{2}}-\frac{2}{3}x^{-2} dx$$

Resolviendo esto, tenemos:

$$\int 4x^{\frac{1}{2}}-\frac{2}{3}x^{-2} dx=\frac{(2)4x^{\frac{3}{2}}}{3}-\frac{2x^{-1}}{3(-1)}+c$$

$$=\frac{8}{3}\sqrt{x^3}+\frac{2}{3x}+c$$

EJERCICIO 10

Encuentra la integral indefinida de $latex f(x)=2\sqrt[3]{x}- \frac{6}{\sqrt{x}}$.

Empezamos escribiendo a la función de la siguiente forma:

$$f(x)=2\sqrt[3]{x}- \frac{6}{\sqrt{x}}$$

$$f(x)=2x^{\frac{1}{3}}- 6x^{-\frac{1}{2}}$$

Cuando formamos la integral, tenemos:

$$\int 2x^{\frac{1}{3}}- 6x^{-\frac{1}{2}} dx$$

Al resolver, tenemos:

$$\int 2x^{\frac{1}{3}}- 6x^{-\frac{1}{2}} dx=\frac{(3)2x^{\frac{4}{3}}}{4}-(2)6x^{\frac{1}{2}}+c$$

$$=\frac{3}{2}\sqrt[3]{x^4}-12\sqrt{x}+c$$


5 Ejercicios de integrales indefinidas para resolver

Resuelve los siguientes ejercicios aplicando todo lo aprendido sobre las integrales indefinidas.

¿Cuál es la integral de $latex \frac{1}{x^2}$?

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Encuentra la integral definida de $latex f(x)=6\sqrt{x}$.

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Encuentra la integral de $latex f(x)=x^2+6x-3$.

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Determina la integral indefinida de $latex f(x)=1-\frac{1}{x^2}$.

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Encuentra la integral indefinida de $latex f(x)=\sqrt{x}(x+1)$.

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Véase también

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