Las integrales indefinidas de funciones con exponentes numéricos pueden ser resueltas al sumar 1 al exponente de cada término, luego dividimos al término por el nuevo exponente. Finalmente, simplificamos la expresión obtenida y sumamos la constante de integración.
A continuación, veremos algunos ejercicios resueltos de integrales indefinidas. Luego, veremos ejercicios de práctica para aplicar todo lo aprendido.
Proceso usado para encontrar la integral indefinida de una función
La integral indefinida de una función se refiere a la integral que no es evaluada con ningún límite y es expresada como una función de x e incluye una constante de integración.
Para obtener la integral indefinida de una función expresada con exponentes numéricos, podemos usar la siguiente fórmula:
$$\int ax^n dx =\frac{ax^{n+1}}{n+1}+c$$
en donde, $latex n \neq -1$.
Podemos encontrar la integral indefinida de una función, aplicando los siguientes pasos:
1. Escribir a raíces cuadradas o expresiones racionales usando exponentes numéricos.
Nota: Un ejemplo sería escribir a $latex \sqrt{x}$ como $latex x^{\frac{1}{2}}$ o escribir a $latex \frac{1}{x^2}$ como $latex x^{-2}$.
2. Sumamos 1 a los exponentes de cada término de la función.
Nota: Un término constante puede ser considerado como multiplicado por $latex x^0$, por lo que al sumar 1, tenemos $latex x^1=x$.
3. Dividimos a cada término por el nuevo exponente.
Es decir, cada término es dividido por $latex n+1$.
4. Simplificamos la integral resultante y sumamos el término constante $latex c$.
¿Por qué las integrales indefinidas tienen una constante de integración?
Las integrales indefinidas tienen una constante de integración, ya que la derivada de un término constante es igual a cero. Entonces, es posible que no tomemos en cuenta a un término constante al integrar la función.
Por ejemplo, supongamos que tenemos la función $latex y=x^2$. Cuando la derivamos, tenemos $latex \frac{dy}{dx}=2x$. Sin embargo, cuando derivamos $latex y=x^2+1$ y $latex y=x^2+2$, también obtenemos $latex \frac{dy}{dx}=2x$.
Es decir, sin información adicional no sabemos si es que la función original contenía un término constante o no. Por esta razón, escribimos $latex y=x^2+c$, en donde, $latex c$ es la constante de integración.
Para encontrar el valor específico de la contante de integración, necesitamos información adicional sobre la función integrada. Por ejemplo, en muchos casos, conocer las coordenadas de un punto por donde pasa la función integrada es suficiente.
10 Ejercicios resueltos de integrales indefinidas
EJERCICIO 1
Encuentra la integral indefinida de la función $latex f(x)=3x^2$.
Solución
Empezamos formando una integral con la función dada:
$latex \int 3x^2 dx$
Ahora, podemos resolver esta integral al aplicar lo siguiente:
- Sumamos 1 unidad al exponente de x.
- Dividimos al término por el nuevo exponente (n+1).
- Sumamos la constante de integración.
Entonces, tenemos:
$$\int 3x^2 dx=\frac{3x^3}{3}+c$$
$$\int 3x^2 dx=x^3+c$$
EJERCICIO 2
Si tenemos la función $latex f(x)=12 x^5$, ¿cuál es su integral indefinida?
Solución
Similar al ejercicio anterior, empezamos formando la integral con la función dada:
$latex \int 12x^5 dx$
Ahora, aplicamos lo siguiente:
- Incrementamos el exponente de x por 1.
- Dividimos a la expresión por el nuevo exponente.
- Sumamos la constante de integración.
Entonces, tenemos:
$$\int 12x^5 dx=\frac{12x^6}{6}+c$$
$$\int 12x^5 dx=2x^6+c$$
EJERCICIO 3
Encuentra la integral indefinida de la función $latex f(x)=\frac{1}{x^3}$.
Solución
En este caso, tenemos una función racional. Entonces, podemos usar las leyes de los exponentes para escribir de la siguiente forma:
$$f(x)=\frac{1}{x^3}=x^{-3}$$
Ahora, podemos formar la integral con esta función:
$latex \int x^{-3} dx$
Cuando integramos la función, tenemos:
$$\int x^{-3} dx=\frac{x^{-2}}{-2}+c$$
$$\int x^{-3} dx=-\frac{1}{2x^2}+c$$
EJERCICIO 4
¿Cuál es la integral indefinida de $latex f(x)=-\frac{1}{x^5}$?
Solución
Para facilitar la resolución, empezamos escribiendo a la función de la siguiente forma:
$$f(x)=-\frac{1}{x^5}=-x^{-5}$$
Formando la integral indefinida, tenemos:
$latex \int -x^{-5} dx$
Resolviendo la integral, tenemos:
$$\int -x^{-5} dx=-\frac{x^{-4}}{-4}+c$$
$$\int -x^{-5} dx=\frac{1}{4x^4}+c$$
EJERCICIO 5
Encuentra la integral indefinida de $latex f(x)=x^2-5x+3$.
Solución
Formando la integral indefinida con la función dada, tenemos:
$latex \int x^2-5x+3 dx$
En este caso, tenemos 3 términos. Sin embargo, podemos encontrar su integral al aplicar lo siguiente a cada término:
- Sumar 1 al exponente de x de cada término.
- Dividir a cada término por el nuevo exponente.
Entonces, cuando aplicamos esto y añadimos la constante de integración, tenemos:
$$\int x^2-5x+3 dx=\frac{x^3}{3}-\frac{5x^2}{2}+3x+c$$
EJERCICIO 6
Encuentra la integral indefinida de $latex f(x)= 2x^6+\frac{8}{x^5} $.
Solución
Empezamos escribiendo a la función de la siguiente forma:
$$f(x)=2x^6+\frac{8}{x^5}$$
$$f(x)=2x^6+8x^{-5}$$
Formando la integral indefinida, tenemos:
$latex \int 2x^6+8x^{-5} dx$
Resolviendo, tenemos:
$$\int 2x^6+8x^{-5} dx=\frac{2x^7}{7}+\frac{8x^{-4}}{-4}+c$$
$$\int 2x^6+8x^{-5} dx=\frac{2x^7}{7}-\frac{2}{x^4}+c$$
EJERCICIO 7
Encuentra la integral indefinida de la función $latex f(x)=3\sqrt{x}-4$.
Solución
Tenemos una raíz cuadrada, por lo que usamos las leyes de los exponentes para escribir de la siguiente forma:
$$f(x)=3\sqrt{x}-4=3x^{\frac{1}{2}}-4$$
Formando una integral con la función dada, tenemos:
$$\int 3x^{\frac{1}{2}}-4 dx$$
Resolviendo esto, tenemos:
$$\int 3x^{\frac{1}{2}}-4 dx=\frac{(2)3x^{\frac{3}{2}}}{3}-4x+c$$
$$=2x^{\frac{3}{2}}-4x+c$$
$$=2\sqrt{x^3}-4x+c$$
EJERCICIO 8
Si tenemos la función $latex f(x)=\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}$, ¿cuál es su integral indefinida?
Solución
Vamos a usar las leyes de los exponentes para escribir a la función de la siguiente forma:
$$f(x)=\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}$$
$$f(x)=x^{\frac{1}{2}}+x^{-\frac{1}{2}}$$
Formando una integral con esta función, tenemos:
$$\int x^{\frac{1}{2}}+x^{-\frac{1}{2}} dx$$
Al resolver, tenemos:
$$\int x^{\frac{1}{2}}+x^{-\frac{1}{2}} dx=\frac{2x^{\frac{3}{2}}}{3}+2x^{\frac{1}{2}}+c$$
$$=\frac{2\sqrt{x^3}}{3}+2\sqrt{x}+c$$
EJERCICIO 9
¿Cuál es la integral indefinida de $latex f(x)=4\sqrt{x}-\frac{2}{3x^2}$?
Solución
Vamos a escribir a la función de la siguiente forma usando las leyes de los exponentes:
$$f(x)=4\sqrt{x}-\frac{2}{3x^2}=4x^{\frac{1}{2}}-\frac{2}{3}x^{-2}$$
Formando una integral indefinida con la función, tenemos:
$$\int 4x^{\frac{1}{2}}-\frac{2}{3}x^{-2} dx$$
Resolviendo esto, tenemos:
$$\int 4x^{\frac{1}{2}}-\frac{2}{3}x^{-2} dx=\frac{(2)4x^{\frac{3}{2}}}{3}-\frac{2x^{-1}}{3(-1)}+c$$
$$=\frac{8}{3}\sqrt{x^3}+\frac{2}{3x}+c$$
EJERCICIO 10
Encuentra la integral indefinida de $latex f(x)=2\sqrt[3]{x}- \frac{6}{\sqrt{x}}$.
Solución
Empezamos escribiendo a la función de la siguiente forma:
$$f(x)=2\sqrt[3]{x}- \frac{6}{\sqrt{x}}$$
$$f(x)=2x^{\frac{1}{3}}- 6x^{-\frac{1}{2}}$$
Cuando formamos la integral, tenemos:
$$\int 2x^{\frac{1}{3}}- 6x^{-\frac{1}{2}} dx$$
Al resolver, tenemos:
$$\int 2x^{\frac{1}{3}}- 6x^{-\frac{1}{2}} dx=\frac{(3)2x^{\frac{4}{3}}}{4}-(2)6x^{\frac{1}{2}}+c$$
$$=\frac{3}{2}\sqrt[3]{x^4}-12\sqrt{x}+c$$
Ejercicios de integrales indefinidas para resolver
Si es que tenemos $latex F(x)=\int f(x)dx$, encuentra el valor de $latex F(4)$ para: $$f(x)= 2x^3-2x^2+2x^{\frac{1}{2}}$$
Escribe la respuesta en la casilla.
Véase también
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Jefferson Huera Guzmán
Jefferson es el autor principal y administrador de Neurochispas.com. Los contenidos interactivos de Matemáticas y Física que he creado han ayudado a muchos estudiantes.
