Expresar a una fracción en fracciones parciales puede ser considerado el proceso reverso de sumar o restar dos o más fracciones. Existen cuatro casos principales de fracciones parciales: denominador con factores lineales, denominador con factor cuadrático irreducible, denominador con un factor repetido y fracciones impropias.
A continuación, conoceremos estos cuatro casos de fracciones parciales en detalle. Además, veremos algunos ejemplos para aplicar los conceptos.
Caso 1: Denominador con factores lineales
Cada factor linear $latex (ax+b)$ en el denominador tiene una fracción parcial correspondiente de la forma
$$\frac{A}{ax+b}$$
en donde $latex a,~b$ y $latex A$ son constantes.
Por ejemplo, si es que tenemos la siguiente fracción
$$\frac{3x-1}{(x+3)(x-2)}$$
sus fracciones parciales tienen la siguiente forma:
$$\frac{3x-1}{(x+3)(x-2)}=\frac{A}{x+3}+\frac{B}{x-2}$$
Los valores de las constantes A y B pueden ser encontrados al multiplicar a toda la expresión por el denominador de la fracción original.
Luego, podemos usar dos métodos diferentes como se muestra en los siguientes ejemplos.
EJEMPLO 1
Descomponer a la siguiente fracción en fracciones parciales:
$$\frac{3x-1}{(x+3)(x-2)}$$
Solución
Dado que tenemos dos factores lineales $latex (x+3)$ y $latex (x-2)$, su descomposición en fracciones parciales es:
$$\frac{3x-1}{(x+3)(x-2)}=\frac{A}{x+3}+\frac{B}{x-2}$$
Ahora, multiplicamos a toda la expresión por $latex (x+3)(x-2)$ para obtener:
$$3x-1=A(x-2)+B(x+3)$$
Podemos usar dos métodos diferentes para encontrar los valores de las constantes. Usando el primer método, sustituimos $latex x=2$ para eliminar la constante A y encontrar el valor de B:
$$3(2)-1=A(2-2)+B(2+3)$$
$latex 5=5B$
$latex B=1$
Luego, sustituimos $latex x=-3$ para encontrar el valor de A:
$$3(-3)-1=A(-3-2)+B(-3+3)$$
$latex -10=-5A$
$latex A=2$
El segundo método consiste en expandir el lado derecho de la ecuación para obtener:
$$3x-1=A(x-2)+B(x+3)$$
$$3x-1=Ax-2A+Bx+3B$$
Comparando los coeficientes de los términos que tienen la variable x, tenemos:
$latex 3=A+B$
Comparando los términos constantes, tenemos:
$latex -1=-2A+3B$
Formando un sistema de ecuaciones y resolviendo simultáneamente, tenemos $latex A=2$ y $latex B=1$, similar que el anterior método.
Entonces,
$$\frac{3x-1}{(x+3)(x-2)}=\frac{2}{x+3}+\frac{1}{x-2}$$
EJEMPLO 2
Expresa a la siguiente fracción en fracciones parciales
$$\frac{9x^2+34x+14}{(x+2)(x^2-x-12)}$$
Solución
En este caso, podemos empezar factorizando al denominador para obtener solo factores lineales:
$$x^2-x-12=(x+3)(x-4)$$
Entonces, tenemos:
$$\frac{9x^2+34x+14}{(x+2)(x^2-x-12)}=\frac{9x^2+34x+14}{(x+2)(x+3)(x-4)}$$
Ahora, dado que solo tenemos factores lineales en el denominador, podemos escribir de la siguiente forma:
$$\frac{9x^2+34x+14}{(x+2)(x+3)(x-4)}=\frac{A}{x+2}+\frac{B}{x+3}+\frac{C}{x-4}$$
Si es que multiplicamos a toda la expresión por $latex (x+2)(x+3)(x-4)$, tenemos:
$$ 9x^2+34x+14=A(x+3)(x-4)+B(x+2)(x-4)+C(x+2)(x+3)$$
Cuando usamos $latex x=-2$, tenemos:
$$ 9(-2)^2+34(-2)+14=A(-2+3)(-2-4)+B(-2+2)(-2-4)+C(-2+2)(-2+3)$$
$latex -18=-6A$
$latex A=3$
Cuando usamos $latex x=-3$, tenemos:
$$ 9(-3)^2+34(-3)+14=A(-3+3)(-3-4)+B(-3+2)(-3-4)+C(-3+2)(-3+3)$$
$latex -7=7B$
$latex B=-1$
Cuando usamos $latex x=4$, tenemos:
$$ 9(4)^2+34(4)+14=A(4+3)(4-4)+B(4+2)(4-4)+C(4+2)(4+3)$$
$latex 294=42C$
$latex C=7$
Entonces, tenemos:
$$\frac{9x^2+34x+14}{(x+2)(x+3)(x-4)}=\frac{3}{x+2}-\frac{1}{x+3}+\frac{7}{x-4}$$
Caso 2: Denominador con un factor cuadrático irreducible
Cada factor cuadrático de la forma $latex (ax^2+bx+c)$ en el denominador tiene una fracción parcial correspondiente de la siguiente forma si es que es irreducible, es decir, si es que no puede factorizarse:
$$\frac{Ax+B}{ax^2+bx+c}$$
en donde $latex a,~b,~c,~A$ y $latex B$ son constantes.
Por ejemplo, supongamos que tenemos la siguiente fracción
$$\frac{7x^2+2x-28}{(x-6)(x^2+3x+5)}$$
Sus fracciones parciales tienen la siguiente forma:
$$\frac{7x^2+2x-28}{(x-6)(x^2+3x+5)}=\frac{A}{x-6}+\frac{Bx+C}{x^2+3x+5}$$
Luego, podemos encontrar los valores de A, B y C usando los mismos métodos vistos en el caso I, como se muestra en el siguiente ejemplo.
EJEMPLO
Expresa a la siguiente fracción en fracciones parciales:
$$\frac{7x^2+2x-28}{(x-6)(x^2+3x+5)}$$
Solución
Dado que la expresión cuadrática $latex x^2+3x+5$ en el denominador no puede ser factorizada, podemos asumir que las fracciones parciales tienen la siguiente forma:
$$\frac{7x^2+2x-28}{(x-6)(x^2+3x+5)}=\frac{A}{x-6}+\frac{Bx+C}{x^2+3x+5}$$
Ahora, multiplicamos a toda la expresión por $latex (x-6)(x^2+3x+5)$ y tenemos:
$$7x^2+2x-28=A(x^2+3x+5)+(Bx+C)(x-6)$$
Cuando sustituimos $latex x=6$, podemos encontrar el valor de A:
$$7(6)^2+2(6)-28=A((6)^2+3(6)+5)+(B(6)+C)(6-6)$$
$latex 236=59A$
$latex A=4$
Cuando comparamos los coeficientes de los términos con $latex x^2$, tenemos:
$latex 7=A+B$
Sustituyendo $latex A=4$ en esta ecuación, obtenemos el valor $latex B=3$.
Si es que ahora comparamos los términos constantes, tenemos:
$latex -28=5A-6C$
Sustituyendo $latex A=4$ en esta ecuación, obtenemos el valor $latex C=8$.
Entonces, las fracciones parciales son:
$$\frac{7x^2+2x-28}{(x-6)(x^2+3x+5)}=\frac{4}{x-6}+\frac{3x+8}{x^2+3x+5}$$
Caso 3: Denominador con un factor repetido
Cada factor linear repetido de la forma $latex (ax+b)^2$ en el denominador tiene fracciones parciales que siguen la siguiente forma:
$$\frac{A}{ax+b}+\frac{B}{ax+b}^2$$
en donde $latex a,~b,~A$ y $latex B $ son constantes.
Por ejemplo, supongamos que tenemos la siguiente fracción
$$\frac{2x^2+29x-1}{(2x+1)(x-2)^2}$$
Podemos descomponerla en fracciones parciales usando la siguiente forma:
$$\frac{2x^2+29x-1}{(2x+1)(x-2)^2}=\frac{A}{2x+1}+\frac{B}{x-2}+\frac{C}{(x-2)^2}$$
Encontramos los valores de las constantes A, B y C aplicando las mismas técnicas que en los casos anteriores.
EJEMPLO
Expresa a la siguiente fracción en fracciones parciales:
$$\frac{2x^2+29x-1}{(2x+1)(x-2)^2}$$
Solución
Esta fracción tiene un factor lineal $latex (2x+1)$ y un factor repetido $latex (x-2)^2$. Entonces, sus fracciones parciales tienen la forma:
$$\frac{2x^2+29x-1}{(2x+1)(x-2)^2}=\frac{A}{2x+1}+\frac{B}{x-2}+\frac{C}{(x-2)^2}$$
Ahora, multiplicamos a toda la expresión por el denominador de la fracción original $latex (2x+1)(x-2)^2$ y tenemos:
$$2x^2+29x-11=A(x-2)^2+B(2x+1)(x-2)+C(2x+1)$$
Cuando usamos el valor $latex x=-\frac{1}{2}$, tenemos:
$$2(-\frac{1}{2})^2+29(-\frac{1}{2})-11=A(-\frac{1}{2}-2)^2+B(2(-\frac{1}{2})+1)(-\frac{1}{2}-2)+C(2(-\frac{1}{2})+1)$$
$$-25=\frac{25}{4}A$$
$latex A=-4$
Cuando usamos el valor $latex x=2$, tenemos:
$$2(2)^2+29(2)-11=A(2-2)^2+B(2(2)+1)(2-2)+C(2(2)+1)$$
$latex 55=5C$
$latex C=11$
Si es que comparamos los coeficientes de los términos con $latex x^2$, tenemos:
$latex 2=A+2B$
Usando el valor $latex A=-4$ en esta ecuación, encontramos el valor de $latex B=3$. Entonces, tenemos:
$$\frac{2x^2+29x-1}{(2x+1)(x-2)^2}=-\frac{4}{2x+1}+\frac{3}{x-2}+\frac{11}{(x-2)^2}$$
Caso 4: Fracciones impropias
Una fracción impropia algebraica es una fracción en la cual el grado del numerador es mayor o igual que el grado del denominador.
Para simplificar una fracción impropia algebraica, podemos dividir al numerador por el denominador. Cuando realizamos esto, podemos obtener lo siguiente:
- Si es que un polinomio de grado $latex n$ es dividido por un polinomio de grado $latex n$, el cociente es una constante.
- Si es que un polinomio de grado $latex n$ es dividido por un polinomio de grado $latex m$, en donde $latex m<n$, el cociente es un polinomio de grado $latex (n-m)$.
Por ejemplo, en la siguiente fracción el grado del numerador es 2 y el grado del denominador también es 2:
$$\frac{5x^2-71}{(x+5)(x-4)}$$
Entonces, el cociente es una constante (la constante A) y sus fracciones parciales tienen la siguiente forma:
$$\frac{5x^2-71}{(x+5)(x-4)}=A+\frac{B}{x+5}+\frac{C}{x-4}$$
En la siguiente fracción, el grado del numerador es 4 y el grado del denominador es 3:
$$\frac{3x^4+7x^3+8x^2+53x-186}{(x+4)(x^2+9)}$$
Entonces, el cociente es un polinomio de grado (4-3)=1 y sus fracciones parciales tienen la siguiente forma:
$$\frac{3x^4+7x^3+8x^2+53x-186}{(x+4)(x^2+9)}=Ax+B+\frac{C}{x+4}+\frac{Dx+E}{x^2+9}$$
EJEMPLO
Expresa a la siguiente fracción en fracciones parciales
$$\frac{5x^2-71}{(x+5)(x-4)}$$
Solución
El grado del polinomio en el numerador es 2 y el grado del polinomio en el denominador también es 2.
Entonces, el cociente es una constante y sus fracciones parciales tienen la siguiente forma:
$$\frac{5x^2-71}{(x+5)(x-4)}=A+\frac{B}{x+5}+\frac{C}{x-4}$$
Multiplicamos a toda la expresión por $latex (x+5)(x-4)$ y tenemos:
$$5x^2-71=A(x+5)(x-4)+B(x-4)+C(x+5)$$
Podemos encontrar el valor de A fácilmente al comparar los coeficientes de los términos con $latex x^2$ y encontramos que $latex A=5$.
Cuando usamos el valor $latex x=-5$, tenemos:
$$5(-5)^2-71=B(-5-4)$$
$latex 54=-9B$
$latex B=-6$
Cuando usamos el valor $latex x=4$, tenemos:
$$5(4)^2-71=C(4+5)$$
$latex 9=9C$
$latex C=1$
Entonces, tenemos:
$$\frac{5x^2-71}{(x+5)(x-4)}=5-\frac{6}{x+5}+\frac{1}{x-4}$$
→ Calculadora de fracciones parciales
Véase también
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Jefferson Huera Guzmán
Jefferson es el autor principal y administrador de Neurochispas.com. Los contenidos interactivos de Matemáticas y Física que he creado han ayudado a muchos estudiantes.
