Cuatro casos de fracciones parciales con ejemplos

Expresar a una fracción en fracciones parciales puede ser considerado el proceso reverso de sumar o restar dos o más fracciones. Existen cuatro casos principales de fracciones parciales: denominador con factores lineales, denominador con factor cuadrático irreducible, denominador con un factor repetido y fracciones impropias.

A continuación, conoceremos estos cuatro casos de fracciones parciales en detalle. Además, veremos algunos ejemplos para aplicar los conceptos.

ÁLGEBRA
Ejemplo de fracciones parciales

Relevante para

Aprender sobre los cuatro casos de fracciones parciales.

Ver casos

ÁLGEBRA
Ejemplo de fracciones parciales

Relevante para

Aprender sobre los cuatro casos de fracciones parciales.

Ver casos

Caso 1: Denominador con factores lineales

Cada factor linear $latex (ax+b)$ en el denominador tiene una fracción parcial correspondiente de la forma

$$\frac{A}{ax+b}$$

en donde $latex a,~b$ y $latex A$ son constantes.

Por ejemplo, si es que tenemos la siguiente fracción

$$\frac{3x-1}{(x+3)(x-2)}$$

sus fracciones parciales tienen la siguiente forma:

$$\frac{3x-1}{(x+3)(x-2)}=\frac{A}{x+3}+\frac{B}{x-2}$$

Los valores de las constantes A y B pueden ser encontrados al multiplicar a toda la expresión por el denominador de la fracción original.

Luego, podemos usar dos métodos diferentes como se muestra en los siguientes ejemplos.

EJEMPLO 1

Descomponer a la siguiente fracción en fracciones parciales:

$$\frac{3x-1}{(x+3)(x-2)}$$

Solución

EJEMPLO 2

Expresa a la siguiente fracción en fracciones parciales

$$\frac{9x^2+34x+14}{(x+2)(x^2-x-12)}$$

Solución

Caso 2: Denominador con un factor cuadrático irreducible

Cada factor cuadrático de la forma $latex (ax^2+bx+c)$ en el denominador tiene una fracción parcial correspondiente de la siguiente forma si es que es irreducible, es decir, si es que no puede factorizarse:

$$\frac{Ax+B}{ax^2+bx+c}$$

en donde $latex a,~b,~c,~A$ y $latex B$ son constantes.

Por ejemplo, supongamos que tenemos la siguiente fracción

$$\frac{7x^2+2x-28}{(x-6)(x^2+3x+5)}$$

Sus fracciones parciales tienen la siguiente forma:

$$\frac{7x^2+2x-28}{(x-6)(x^2+3x+5)}=\frac{A}{x-6}+\frac{Bx+C}{x^2+3x+5}$$

Luego, podemos encontrar los valores de A, B y C usando los mismos métodos vistos en el caso I, como se muestra en el siguiente ejemplo.

EJEMPLO

Expresa a la siguiente fracción en fracciones parciales:

$$\frac{7x^2+2x-28}{(x-6)(x^2+3x+5)}$$

Solución

Caso 3: Denominador con un factor repetido

Cada factor linear repetido de la forma $latex (ax+b)^2$ en el denominador tiene fracciones parciales que siguen la siguiente forma:

$$\frac{A}{ax+b}+\frac{B}{ax+b}^2$$

en donde $latex a,~b,~A$ y $latex B $ son constantes.

Por ejemplo, supongamos que tenemos la siguiente fracción

$$\frac{2x^2+29x-1}{(2x+1)(x-2)^2}$$

Podemos descomponerla en fracciones parciales usando la siguiente forma:

$$\frac{2x^2+29x-1}{(2x+1)(x-2)^2}=\frac{A}{2x+1}+\frac{B}{x-2}+\frac{C}{(x-2)^2}$$

Encontramos los valores de las constantes A, B y C aplicando las mismas técnicas que en los casos anteriores.

EJEMPLO

Expresa a la siguiente fracción en fracciones parciales:

$$\frac{2x^2+29x-1}{(2x+1)(x-2)^2}$$

Solución

Caso 4: Fracciones impropias

Una fracción impropia algebraica es una fracción en la cual el grado del numerador es mayor o igual que el grado del denominador.

Para simplificar una fracción impropia algebraica, podemos dividir al numerador por el denominador. Cuando realizamos esto, podemos obtener lo siguiente:

  • Si es que un polinomio de grado $latex n$ es dividido por un polinomio de grado $latex n$, el cociente es una constante.
  • Si es que un polinomio de grado $latex n$ es dividido por un polinomio de grado $latex m$, en donde $latex m<n$, el cociente es un polinomio de grado $latex (n-m)$.

Por ejemplo, en la siguiente fracción el grado del numerador es 2 y el grado del denominador también es 2:

$$\frac{5x^2-71}{(x+5)(x-4)}$$

Entonces, el cociente es una constante (la constante A) y sus fracciones parciales tienen la siguiente forma:

$$\frac{5x^2-71}{(x+5)(x-4)}=A+\frac{B}{x+5}+\frac{C}{x-4}$$

En la siguiente fracción, el grado del numerador es 4 y el grado del denominador es 3:

$$\frac{3x^4+7x^3+8x^2+53x-186}{(x+4)(x^2+9)}$$

Entonces, el cociente es un polinomio de grado (4-3)=1 y sus fracciones parciales tienen la siguiente forma:

$$\frac{3x^4+7x^3+8x^2+53x-186}{(x+4)(x^2+9)}=Ax+B+\frac{C}{x+4}+\frac{Dx+E}{x^2+9}$$

EJEMPLO

Expresa a la siguiente fracción en fracciones parciales

$$\frac{5x^2-71}{(x+5)(x-4)}$$

Solución

Véase también

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Jefferson Huera Guzmán

Jefferson es el autor principal y administrador de Neurochispas.com. Los contenidos interactivos de Matemáticas y Física que he creado han ayudado a muchos estudiantes.

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