Cuatro casos de fracciones parciales con ejemplos

Expresar a una fracción en fracciones parciales puede ser considerado el proceso reverso de sumar o restar dos o más fracciones. Existen cuatro casos principales de fracciones parciales: denominador con factores lineales, denominador con factor cuadrático irreducible, denominador con un factor repetido y fracciones impropias.

A continuación, conoceremos estos cuatro casos de fracciones parciales en detalle. Además, veremos algunos ejemplos para aplicar los conceptos.

ÁLGEBRA
Ejemplo de fracciones parciales

Relevante para

Aprender sobre los cuatro casos de fracciones parciales.

Ver casos

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Ejemplo de fracciones parciales

Relevante para

Aprender sobre los cuatro casos de fracciones parciales.

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Caso 1: Denominador con factores lineales

Cada factor linear $latex (ax+b)$ en el denominador tiene una fracción parcial correspondiente de la forma

$$\frac{A}{ax+b}$$

en donde $latex a,~b$ y $latex A$ son constantes.

Por ejemplo, si es que tenemos la siguiente fracción

$$\frac{3x-1}{(x+3)(x-2)}$$

sus fracciones parciales tienen la siguiente forma:

$$\frac{3x-1}{(x+3)(x-2)}=\frac{A}{x+3}+\frac{B}{x-2}$$

Los valores de las constantes A y B pueden ser encontrados al multiplicar a toda la expresión por el denominador de la fracción original.

Luego, podemos usar dos métodos diferentes como se muestra en los siguientes ejemplos.

EJEMPLO 1

Descomponer a la siguiente fracción en fracciones parciales:

$$\frac{3x-1}{(x+3)(x-2)}$$

Dado que tenemos dos factores lineales $latex (x+3)$ y $latex (x-2)$, su descomposición en fracciones parciales es:

$$\frac{3x-1}{(x+3)(x-2)}=\frac{A}{x+3}+\frac{B}{x-2}$$

Ahora, multiplicamos a toda la expresión por $latex (x+3)(x-2)$ para obtener:

$$3x-1=A(x-2)+B(x+3)$$

Podemos usar dos métodos diferentes para encontrar los valores de las constantes. Usando el primer método, sustituimos $latex x=2$ para eliminar la constante A y encontrar el valor de B:

$$3(2)-1=A(2-2)+B(2+3)$$

$latex 5=5B$

$latex B=1$

Luego, sustituimos $latex x=-3$ para encontrar el valor de A:

$$3(-3)-1=A(-3-2)+B(-3+3)$$

$latex -10=-5A$

$latex A=2$

El segundo método consiste en expandir el lado derecho de la ecuación para obtener:

$$3x-1=A(x-2)+B(x+3)$$

$$3x-1=Ax-2A+Bx+3B$$

Comparando los coeficientes de los términos que tienen la variable x, tenemos:

$latex 3=A+B$

Comparando los términos constantes, tenemos:

$latex -1=-2A+3B$

Formando un sistema de ecuaciones y resolviendo simultáneamente, tenemos $latex A=2$ y $latex B=1$, similar que el anterior método.

Entonces,

$$\frac{3x-1}{(x+3)(x-2)}=\frac{2}{x+3}+\frac{1}{x-2}$$

EJEMPLO 2

Expresa a la siguiente fracción en fracciones parciales

$$\frac{9x^2+34x+14}{(x+2)(x^2-x-12)}$$

En este caso, podemos empezar factorizando al denominador para obtener solo factores lineales:

$$x^2-x-12=(x+3)(x-4)$$

Entonces, tenemos:

$$\frac{9x^2+34x+14}{(x+2)(x^2-x-12)}=\frac{9x^2+34x+14}{(x+2)(x+3)(x-4)}$$

Ahora, dado que solo tenemos factores lineales en el denominador, podemos escribir de la siguiente forma:

$$\frac{9x^2+34x+14}{(x+2)(x+3)(x-4)}=\frac{A}{x+2}+\frac{B}{x+3}+\frac{C}{x-4}$$

Si es que multiplicamos a toda la expresión por $latex (x+2)(x+3)(x-4)$, tenemos:

$$ 9x^2+34x+14=A(x+3)(x-4)+B(x+2)(x-4)+C(x+2)(x+3)$$

Cuando usamos $latex x=-2$, tenemos:

$$ 9(-2)^2+34(-2)+14=A(-2+3)(-2-4)+B(-2+2)(-2-4)+C(-2+2)(-2+3)$$

$latex -18=-6A$

$latex A=3$

Cuando usamos $latex x=-3$, tenemos:

$$ 9(-3)^2+34(-3)+14=A(-3+3)(-3-4)+B(-3+2)(-3-4)+C(-3+2)(-3+3)$$

$latex -7=7B$

$latex B=-1$

Cuando usamos $latex x=4$, tenemos:

$$ 9(4)^2+34(4)+14=A(4+3)(4-4)+B(4+2)(4-4)+C(4+2)(4+3)$$

$latex 294=42C$

$latex C=7$

Entonces, tenemos:

$$\frac{9x^2+34x+14}{(x+2)(x+3)(x-4)}=\frac{3}{x+2}-\frac{1}{x+3}+\frac{7}{x-4}$$


Caso 2: Denominador con un factor cuadrático irreducible

Cada factor cuadrático de la forma $latex (ax^2+bx+c)$ en el denominador tiene una fracción parcial correspondiente de la siguiente forma si es que es irreducible, es decir, si es que no puede factorizarse:

$$\frac{Ax+B}{ax^2+bx+c}$$

en donde $latex a,~b,~c,~A$ y $latex B$ son constantes.

Por ejemplo, supongamos que tenemos la siguiente fracción

$$\frac{7x^2+2x-28}{(x-6)(x^2+3x+5)}$$

Sus fracciones parciales tienen la siguiente forma:

$$\frac{7x^2+2x-28}{(x-6)(x^2+3x+5)}=\frac{A}{x-6}+\frac{Bx+C}{x^2+3x+5}$$

Luego, podemos encontrar los valores de A, B y C usando los mismos métodos vistos en el caso I, como se muestra en el siguiente ejemplo.

EJEMPLO

Expresa a la siguiente fracción en fracciones parciales:

$$\frac{7x^2+2x-28}{(x-6)(x^2+3x+5)}$$

Dado que la expresión cuadrática $latex x^2+3x+5$ en el denominador no puede ser factorizada, podemos asumir que las fracciones parciales tienen la siguiente forma:

$$\frac{7x^2+2x-28}{(x-6)(x^2+3x+5)}=\frac{A}{x-6}+\frac{Bx+C}{x^2+3x+5}$$

Ahora, multiplicamos a toda la expresión por $latex (x-6)(x^2+3x+5)$ y tenemos:

$$7x^2+2x-28=A(x^2+3x+5)+(Bx+C)(x-6)$$

Cuando sustituimos $latex x=6$, podemos encontrar el valor de A:

$$7(6)^2+2(6)-28=A((6)^2+3(6)+5)+(B(6)+C)(6-6)$$

$latex 236=59A$

$latex A=4$

Cuando comparamos los coeficientes de los términos con $latex x^2$, tenemos:

$latex 7=A+B$

Sustituyendo $latex A=4$ en esta ecuación, obtenemos el valor $latex B=3$.

Si es que ahora comparamos los términos constantes, tenemos:

$latex -28=5A-6C$

Sustituyendo $latex A=4$ en esta ecuación, obtenemos el valor $latex C=8$.

Entonces, las fracciones parciales son:

$$\frac{7x^2+2x-28}{(x-6)(x^2+3x+5)}=\frac{4}{x-6}+\frac{3x+8}{x^2+3x+5}$$


Caso 3: Denominador con un factor repetido

Cada factor linear repetido de la forma $latex (ax+b)^2$ en el denominador tiene fracciones parciales que siguen la siguiente forma:

$$\frac{A}{ax+b}+\frac{B}{ax+b}^2$$

en donde $latex a,~b,~A$ y $latex B $ son constantes.

Por ejemplo, supongamos que tenemos la siguiente fracción

$$\frac{2x^2+29x-1}{(2x+1)(x-2)^2}$$

Podemos descomponerla en fracciones parciales usando la siguiente forma:

$$\frac{2x^2+29x-1}{(2x+1)(x-2)^2}=\frac{A}{2x+1}+\frac{B}{x-2}+\frac{C}{(x-2)^2}$$

Encontramos los valores de las constantes A, B y C aplicando las mismas técnicas que en los casos anteriores.

EJEMPLO

Expresa a la siguiente fracción en fracciones parciales:

$$\frac{2x^2+29x-1}{(2x+1)(x-2)^2}$$

Esta fracción tiene un factor lineal $latex (2x+1)$ y un factor repetido $latex (x-2)^2$. Entonces, sus fracciones parciales tienen la forma:

$$\frac{2x^2+29x-1}{(2x+1)(x-2)^2}=\frac{A}{2x+1}+\frac{B}{x-2}+\frac{C}{(x-2)^2}$$

Ahora, multiplicamos a toda la expresión por el denominador de la fracción original $latex (2x+1)(x-2)^2$ y tenemos:

$$2x^2+29x-11=A(x-2)^2+B(2x+1)(x-2)+C(2x+1)$$

Cuando usamos el valor $latex x=-\frac{1}{2}$, tenemos:

$$2(-\frac{1}{2})^2+29(-\frac{1}{2})-11=A(-\frac{1}{2}-2)^2+B(2(-\frac{1}{2})+1)(-\frac{1}{2}-2)+C(2(-\frac{1}{2})+1)$$

$$-25=\frac{25}{4}A$$

$latex A=-4$

Cuando usamos el valor $latex x=2$, tenemos:

$$2(2)^2+29(2)-11=A(2-2)^2+B(2(2)+1)(2-2)+C(2(2)+1)$$

$latex 55=5C$

$latex C=11$

Si es que comparamos los coeficientes de los términos con $latex x^2$, tenemos:

$latex 2=A+2B$

Usando el valor $latex A=-4$ en esta ecuación, encontramos el valor de $latex B=3$. Entonces, tenemos:

$$\frac{2x^2+29x-1}{(2x+1)(x-2)^2}=-\frac{4}{2x+1}+\frac{3}{x-2}+\frac{11}{(x-2)^2}$$


Caso 4: Fracciones impropias

Una fracción impropia algebraica es una fracción en la cual el grado del numerador es mayor o igual que el grado del denominador.

Para simplificar una fracción impropia algebraica, podemos dividir al numerador por el denominador. Cuando realizamos esto, podemos obtener lo siguiente:

  • Si es que un polinomio de grado $latex n$ es dividido por un polinomio de grado $latex n$, el cociente es una constante.
  • Si es que un polinomio de grado $latex n$ es dividido por un polinomio de grado $latex m$, en donde $latex m<n$, el cociente es un polinomio de grado $latex (n-m)$.

Por ejemplo, en la siguiente fracción el grado del numerador es 2 y el grado del denominador también es 2:

$$\frac{5x^2-71}{(x+5)(x-4)}$$

Entonces, el cociente es una constante (la constante A) y sus fracciones parciales tienen la siguiente forma:

$$\frac{5x^2-71}{(x+5)(x-4)}=A+\frac{B}{x+5}+\frac{C}{x-4}$$

En la siguiente fracción, el grado del numerador es 4 y el grado del denominador es 3:

$$\frac{3x^4+7x^3+8x^2+53x-186}{(x+4)(x^2+9)}$$

Entonces, el cociente es un polinomio de grado (4-3)=1 y sus fracciones parciales tienen la siguiente forma:

$$\frac{3x^4+7x^3+8x^2+53x-186}{(x+4)(x^2+9)}=Ax+B+\frac{C}{x+4}+\frac{Dx+E}{x^2+9}$$

EJEMPLO

Expresa a la siguiente fracción en fracciones parciales

$$\frac{5x^2-71}{(x+5)(x-4)}$$

El grado del polinomio en el numerador es 2 y el grado del polinomio en el denominador también es 2.

Entonces, el cociente es una constante y sus fracciones parciales tienen la siguiente forma:

$$\frac{5x^2-71}{(x+5)(x-4)}=A+\frac{B}{x+5}+\frac{C}{x-4}$$

Multiplicamos a toda la expresión por $latex (x+5)(x-4)$ y tenemos:

$$5x^2-71=A(x+5)(x-4)+B(x-4)+C(x+5)$$

Podemos encontrar el valor de A fácilmente al comparar los coeficientes de los términos con $latex x^2$ y encontramos que $latex A=5$.

Cuando usamos el valor $latex x=-5$, tenemos:

$$5(-5)^2-71=B(-5-4)$$

$latex 54=-9B$

$latex B=-6$

Cuando usamos el valor $latex x=4$, tenemos:

$$5(4)^2-71=C(4+5)$$

$latex 9=9C$

$latex C=1$

Entonces, tenemos:

$$\frac{5x^2-71}{(x+5)(x-4)}=5-\frac{6}{x+5}+\frac{1}{x-4}$$


Véase también

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Imagen de perfil del autor Jefferson Huera Guzman

Jefferson es el autor principal y administrador de Neurochispas.com. Los contenidos interactivos de Matemáticas y Física que he creado han ayudado a muchos estudiantes.

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