Fracciones parciales – Ejercicios resueltos

Existen cuatro casos principales de fracciones parciales: denominador con factores lineales, denominador con factor cuadrático irreducible, denominador con un factor repetido y fracciones impropias.

A continuación, veremos algunos ejercicios de fracciones parciales en donde aplicaremos los cuatro casos de fracciones parciales mencionados. Además, veremos algunos ejercicios de práctica para aplicar los conceptos.

ÁLGEBRA
Ejemplo de fracciones parciales

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Resolver ejercicios de fracciones parciales.

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10 Ejercicios resueltos de fracciones parciales

Puedes hacer una revisión de los casos de fracciones parciales en este artículo.

EJERCICIO 1

¿Cuáles son las fracciones parciales de la siguiente fracción?

$$\frac{5x+6}{(x+4)(x-3)}$$

Esta fracción corresponde al primer caso de fracciones parciales porque tenemos solo factores lineales en su denominador $latex (x+4)$ y $latex (x-3)$.

Entonces, las fracciones parciales de esta fracción tendrán la siguiente forma:

$$\frac{5x+6}{(x+4)(x-3)}=\frac{A}{x+4}+\frac{B}{x-3}$$

Para encontrar los valores de A y B, empezamos multiplicando a toda la expresión por $latex (x+4)(x-3)$ y tenemos:

$$5x+6=A(x-3)+B(x+4)$$

Ahora, podemos sustituir el valor $latex x=3$ para eliminar la constante A y encontrar el valor de B:

$$5(3)+6=A(3-3)+B(3+4)$$

$latex 21=7B$

$latex B=3$

Luego, sustituimos $latex x=-4$ para encontrar el valor de A:

$$5(-4)+6=A(-4-3)+B(-4+4)$$

$latex -14=-7A$

$latex A=2$

Entonces, tenemos

$$\frac{5x+6}{(x+4)(x-3)}=\frac{2}{x+4}+\frac{3}{x-3}$$

EJERCICIO 2

Encuentra las fracciones parciales de la siguiente fracción:

$$\frac{7x+8}{(x+4)(x-6)}$$

El denominador de la fracción tiene dos factores lineales $latex (x+4)$ y $latex (x-6)$. Entonces, su descomposición en fracciones parciales tiene la forma:

$$\frac{7x+8}{(x+4)(x-6)}=\frac{A}{x+4}+\frac{B}{x-6}$$

Cuando multiplicamos a toda la expresión por $latex (x+4)(x-6)$, obtenemos lo siguiente:

$$7x+8=A(x-6)+B(x+4)$$

Ahora, podemos encontrar el valor de B al usar el valor $latex x=6$ para eliminar la constante A:

$$7(6)+8=A(6-6)+B(6+4)$$

$latex 50=10B$

$latex B=5$

Luego, sustituimos $latex x=-4$ para encontrar el valor de A:

$$7(-4)+8=A(-4-6)+B(-4+4)$$

$latex -20=-10A$

$latex A=2$

Entonces, tenemos:

$$\frac{7x+8}{(x+4)(x-6)}=\frac{2}{x+4}+\frac{5}{x-6}$$

EJERCICIO 3

Encuentra las fracciones parciales de la siguiente fracción:

$$\frac{9x^2+34x+14}{(x+2)(x^2-x-12)}$$

A primera vista, la fracción pareciera tener un factor cuadrático en el denominador. Sin embargo, podemos factorizar esta expresión de la siguiente forma:

$$x^2-x-12=(x+3)(x-4)$$

Entonces, la expressión solo tiene factores lineales:

$$\frac{9x^2+34x+14}{(x+2)(x^2-x-12)}=\frac{9x^2+34x+14}{(x+2)(x+3)(x-4)}$$

Dado que solo tenemos factores lineales, las fracciones parciales tienen la siguiente forma:

$$\frac{9x^2+34x+14}{(x+2)(x+3)(x-4)}=\frac{A}{x+2}+\frac{B}{x+3}+\frac{C}{x-4}$$

Ahora, vamos a multiplicar a toda la expresión por $latex (x+2)(x+3)(x-4)$:

$$ 9x^2+34x+14=A(x+3)(x-4)+B(x+2)(x-4)+C(x+2)(x+3)$$

Podemos encontrar el valor de A al usar $latex x=-2$:

$$ 9(-2)^2+34(-2)+14=A(-2+3)(-2-4)+B(-2+2)(-2-4)+C(-2+2)(-2+3)$$

$latex -18=-6A$

$latex A=3$

Podemos encontrar el valor de B al usar $latex x=-3$:

$$ 9(-3)^2+34(-3)+14=A(-3+3)(-3-4)+B(-3+2)(-3-4)+C(-3+2)(-3+3)$$

$latex -7=7B$

$latex B=-1$

Podemos encontrar el valor de C al usar $latex x=4$:

$$ 9(4)^2+34(4)+14=A(4+3)(4-4)+B(4+2)(4-4)+C(4+2)(4+3)$$

$latex 294=42C$

$latex C=7$

Entonces, las fracciones parciales son:

$$\frac{9x^2+34x+14}{(x+2)(x+3)(x-4)}=\frac{3}{x+2}-\frac{1}{x+3}+\frac{7}{x-4}$$

EJERCICIO 4

Expresa a la siguiente fracción en fracciones parciales:

$$\frac{6x+7}{(x^2+2)(x+3)}$$

El factor cuadrático $latex (x^2+2)$ del denominador no puede ser factorizado. Entonces, las fracciones parciales tienen la forma:

$$\frac{6x+7}{(x^2+2)(x+3)}=\frac{Ax+B}{x^2+2}+\frac{C}{x+3}$$

Multiplicando a ambos lados de la expresión por $latex (x^2+2)(x+3)$, tenemos:

$$6x+7=(Ax+B)(x+3)+C(x^2+2)$$

Podemos encontrar el valor de C al sustituir $latex x=-3$, de modo que el término $latex (Ax+B)$ sea igual a cero:

$$6(-3)+7=(A(-3)+B)(-3+3)+C((-3)^2+2)$$

$latex -11=11C$

$latex C=-1$

Ahora, podemos encontrar el valor de A al comparar a los coeficientes de los términos con $latex x^2$. En la izquierda no tenemos y en la derecha tenemos $latex Ax^2+Cx^2$. Entonces:

$latex 0=A+C$

Sustituyendo $latex C=-1$ en esta ecuación, obtenemos el valor $latex A=1$.

Podemos encontrar el valor de B al comparar a los coeficientes de los términos constantes:

$latex 7=3B+2C$

Sustituyendo $latex C=-1$ en esta ecuación, obtenemos el valor $latex B=3$.

Entonces, las fracciones parciales son:

$$\frac{6x+7}{(x^2+2)(x+3)}=\frac{x+3}{x^2+2}-\frac{1}{x+3}$$

EJERCICIO 5

¿Cuáles son las fracciones parciales de la siguiente fracción?

$$\frac{7x^2+2x-28}{(x-6)(x^2+3x+5)}$$

La expresión cuadrática $latex x^2+3x+5$ en el denominador no puede ser factorizada. Entonces, las fracciones parciales tendrán la siguiente forma:

$$\frac{7x^2+2x-28}{(x-6)(x^2+3x+5)}=\frac{A}{x-6}+\frac{Bx+C}{x^2+3x+5}$$

Para encontrar los valores de A, B y C, empezamos multiplicamos a toda la expresión por $latex (x-6)(x^2+3x+5)$ y tenemos:

$$7x^2+2x-28=A(x^2+3x+5)+(Bx+C)(x-6)$$

Ahora, usamos el valor $latex x=6$ para encontrar el valor de A:

$$7(6)^2+2(6)-28=A((6)^2+3(6)+5)+(B(6)+C)(6-6)$$

$latex 236=59A$

$latex A=4$

Luego, encontramos el valor de B al comparar a los coeficientes de los términos con $latex x^2$:

$latex 7=A+B$

Cuando sustituimos $latex A=4$ en esta ecuación, obtenemos el valor $latex B=3$.

Finalmente, para encontrar el valor de C, comparamos a los términos constantes:

$latex -28=5A-6C$

Cuando sustituimos $latex A=4$ en esta ecuación, obtenemos el valor $latex C=8$.

Entonces, las fracciones parciales son:

$$\frac{7x^2+2x-28}{(x-6)(x^2+3x+5)}=\frac{4}{x-6}+\frac{3x+8}{x^2+3x+5}$$

EJERCICIO 6

Expresa a la siguiente fracción en fracciones parciales:

$$\frac{5x+7}{(x+1)^2(x+2)}$$

El denominador de la fracción tiene un factor lineal $latex (x+1)$ y un factor repetido $latex (x+2)^2$. En este caso, las fracciones parciales tienen la siguiente forma:

$$\frac{5x+7}{(x+1)^2(x+2)}=\frac{A}{x+1}+\frac{B}{(x+1)^2}+\frac{C}{x+2}$$

Para encontrar los valores de A, B y C, vamos a multiplicar a toda la expresión por $latex (x+1)^2(x+2)$:

$$5x+7=A(x+1)(x+2)+B(x+2)+C(x+1)^2$$

Al usar el valor $latex x=-1$, tenemos:

$$5(-1)+7=A(-1+1)(-1+2)+B(-1+2)+C(-1+1)^2$$

$latex 2=B$

$latex B=2$

Al usar el valor $latex x=-2$, tenemos:

$$5(-2)+7=A(-2+1)(-2+2)+B(-2+2)+C(-2+1)^2$$

$latex -3=C$

$latex C=-3$

Finalmente, encontramos el valor de A al comparar a los coeficientes con el término $latex x^2$. No tenemos términos en el lado izquierdo y tenemos: $latex Ax^2+Cx^2$ en el derecho:

$latex 0=A+C$

Usando el valor $latex C=-3$ en esta ecuación, encontramos el valor de $latex A=3$. Entonces, tenemos:

$$\frac{5x+7}{(x+1)^2(x+2)}=\frac{3}{x+1}+\frac{2}{(x+1)^2}-\frac{3}{x+2}$$

EJERCICIO 7

Escribe a la siguiente fracción usando fracciones parciales:

$$\frac{2x^2+29x-1}{(2x+1)(x-2)^2}$$

El denominador de esta fracción tiene un factor lineal $latex (2x+1)$ y un factor repetido $latex (x-2)^2$. Entonces, sus fracciones parciales tienen la siguiente forma:

$$\frac{2x^2+29x-1}{(2x+1)(x-2)^2}=\frac{A}{2x+1}+\frac{B}{x-2}+\frac{C}{(x-2)^2}$$

Para encontrar los valores de las constantes, multiplicamos a toda la expresión por $latex (2x+1)(x-2)^2$:

$$2x^2+29x-11=A(x-2)^2+B(2x+1)(x-2)+C(2x+1)$$

Ahora, usamos el valor $latex x=-\frac{1}{2}$ para encontrar el valor de A:

$$2(-\frac{1}{2})^2+29(-\frac{1}{2})-11=A(-\frac{1}{2}-2)^2+B(2(-\frac{1}{2})+1)(-\frac{1}{2}-2)+C(2(-\frac{1}{2})+1)$$

$$-25=\frac{25}{4}A$$

$latex A=-4$

Luego, usamos el valor $latex x=2$ para encontrar el valor de C:

$$2(2)^2+29(2)-11=A(2-2)^2+B(2(2)+1)(2-2)+C(2(2)+1)$$

$latex 55=5C$

$latex C=11$

Si es que comparamos los coeficientes de los términos con $latex x^2$, tenemos:

$latex 2=A+2B$

Sustituyendo $latex A=-4$ en esta ecuación, encontramos el valor de $latex B=3$. Entonces, tenemos:

$$\frac{2x^2+29x-1}{(2x+1)(x-2)^2}=-\frac{4}{2x+1}+\frac{3}{x-2}+\frac{11}{(x-2)^2}$$

EJERCICIO 8

Encuentra las fracciones parciales de la siguiente fracción:

$$\frac{5x^2-71}{(x+5)(x-4)}$$

Podemos observar que el grado del polinomio del numerador es igual a 2 y el grado del denominador también es igual a 2.

En este caso, tenemos una fracción impropia y sus fracciones parciales tienen la siguiente forma:

$$\frac{5x^2-71}{(x+5)(x-4)}=A+\frac{B}{x+5}+\frac{C}{x-4}$$

Ahora, vamos a multiplicar a toda la expresión por $latex (x+5)(x-4)$ y tenemos:

$$5x^2-71=A(x+5)(x-4)+B(x-4)+C(x+5)$$

Luego, vamos a encontrar el valor de A al comparar a los coeficientes de los términos con $latex x^2$ y encontramos que $latex A=5$.

Podemos encontrar el valor de B al sustituir $latex x=-5$ en la expresión:

$$5(-5)^2-71=B(-5-4)$$

$latex 54=-9B$

$latex B=-6$

Podemos encontrar el valor de C al sustituir $latex x=4$ en la expresión:

$$5(4)^2-71=C(4+5)$$

$latex 9=9C$

$latex C=1$

Entonces, tenemos:

$$\frac{5x^2-71}{(x+5)(x-4)}=5-\frac{6}{x+5}+\frac{1}{x-4}$$

EJERCICIO 9

¿Cuáles son las fracciones parciales de la siguiente fracción?

$$\frac{2x^2+x-5}{(x+2)(x+1)}$$

Este ejercicio es similar al anterior porque el los polinomios del numerador y del denominador tienen el mismo grado. Entonces, tenemos:

$$\frac{2x^2+x-5}{(x+2)(x+1)}=A+\frac{B}{x+2}+\frac{C}{x+1}$$

Ahora, vamos a multiplicar a toda la expresión por $latex (x+2)(x+1)$ y tenemos:

$$2x^2+x-5=A(x+2)(x+1)+B(x+1)+C(x+2)$$

El valor de A es encontrado al comparar a los coeficientes de los términos con $latex x^2$ y encontramos que $latex A=2$.

Para encontrar el valor de B, sustituimos $latex x=-2$ y tenemos:

$$2(-2)^2-2-5=A(-2+2)(-2+1)+B(-2+1)+C(-2+2)$$

$latex 1=-B$

$latex B=-1$

Para encontrar el valor de C, sustituimos $latex x=-1$ y tenemos:

$$2(-1)^2-1-5=A(-1+2)(-1+1)+B(-1+1)+C(-1+2)$$

$latex -4=C$

$latex C=-4$

Entonces, tenemos:

$$\frac{2x^2+x-5}{(x+2)(x+1)}=2-\frac{1}{x+2}-\frac{4}{x+1}$$

EJERCICIO 10

Escribe a la siguiente fracción usando fracciones parciales

$$\frac{3x^4+7x^3+8x^2+53x-186}{(x+4)(x^2+9)}$$

El grado del polinomio en el numerador es 4 y el grado del polinomio en el denominador es 3. Entonces, el cociente será un polinomio de grado 4-3=1.

Entonces, el cociente es polinomio lineal y sus fracciones parciales tienen la siguiente forma:

$$\frac{3x^4+7x^3+8x^2+53x-186}{(x+4)(x^2+9)}=Ax+B+\frac{C}{x+4}+\frac{Dx+E}{x^2+9}$$

Cuando multiplicamos a toda la expresión por $latex (x+4)(x^2+9)$, tenemos:

$$3x^4+7x^3+8x^2+53x-186=(Ax+B)(x+4)(x^2+9)+C(x^2+9)+(Dx+E)(x+4)$$

El valor de A es encontrado al comparar los coeficientes de los términos con $latex x^4$ y encontramos que $latex A=3$.

Comparando los coeficientes del término $latex x^3$, tenemos:

$latex 7=4A+B$

Sustituyendo $latex A=3$, encontramos que $latex B=-5$.

Cuando usamos el valor $latex x=-4$, tenemos:

$$3(-4)^4+7(-4)^3+8(-4)^2+53(-4)-186=C((-4)^2+9)$$

$latex 50=25C$

$latex C=2$

Comparando los coeficientes del término $latex x^2$, tenemos:

$$8=9A+4B+C+D$$

Sustituyendo los valores $latex A=4$, $latex B=-5$ y $latex C=2$, tenemos $latex D=-1$.

Finalmente, comparando los términos constantes, tenemos:

$latex -186=36B+9C+4E$

Sustituyendo los valores $latex B=-5$ y $latex C=2$, tenemos $latex E=-6$.

Entonces, tenemos:

$$\frac{3x^4+7x^3+8x^2+53x-186}{(x+4)(x^2+9)}=3x-5+\frac{2}{x+4}+\frac{-x-6}{x^2+9}$$


Ejercicios de fracciones parciales para resolver

Práctica de fracciones parciales
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Las fracciones parciales de $latex \frac{x^4+x^3-19x^2-44x-21}{(x+3)(x+2)(x+1)}$ tienen dos términos de la forma $latex Ax+B$.

Escribe estos términos en la casilla.

$latex ~~=$

Véase también

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Jefferson Huera Guzmán

Jefferson es el autor principal y administrador de Neurochispas.com. Los contenidos interactivos de Matemáticas y Física que he creado han ayudado a muchos estudiantes.

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