Ejercicios de Funciones Inversas Resueltos y para Resolver

Una función inversa es una función que revertirá el efecto producido por la función original. Estas funciones tienen la característica principal de que son una reflexión de la función original con respecto a la línea y=x. Las coordenadas de la función inversa son las mismas que la función original, pero los valores de x y y son intercambiados.

Miraremos un resumen sobre las funciones inversas junto con el proceso usado para encontrar la inversa de una función. Además, veremos varios ejercicios resueltos para entender la aplicación de ese proceso.

ÁLGEBRA
ejercicios de funciones inversas

Relevante para

Aprender sobre funciones inversas con ejercicios resueltos.

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Resumen de funciones inversas

Las funciones inversas son funciones que revierten el efecto de la función original. La inversa de una función tiene los mismos puntos que la función original con la excepción de que los valores de x y y están intercambiados.

Por ejemplo, si es que la función original contiene a los puntos (1, 2) y (-3, -5), la función inversa contendrá los puntos (2, 1) y (-5, -3).

La inversa de $latex f(x)$ es denotada por $latex {{f}^{-1}}(x)$. Ten en cuenta que en la notación para las inversas, el “-1” no es un exponente a pesar de verse como uno. Entonces, tenemos que recordar que:

$latex {{f}^{-1}}(x)\neq {1}{f(x)}$

Encontrar la inversa de una función

Dada la función $latex f(x)$, podemos encontrar la función inversa $latex {{f}^{-1}}(x)$ siguiendo estos pasos:

Paso 1: Primero, reemplazamos a $latex f(x)$ con y. Esto nos ayuda a facilitar el resto del proceso.

Paso 2: Reemplazamos cada x con una y y cada y con una x.

Paso 3: Resolvemos la ecuación obtenida en el paso 2 para y.

Paso 4: Reemplazamos la y por $latex {{f}^{-1}}$ ya que esta es la función inversa.


Ejercicios de funciones inversas resueltos

El proceso para encontrar funciones inversas es aplicado para resolver los siguientes ejercicios. Cada ejercicio tiene su solución paso a paso para aprender a encontrar funciones inversas. Es recomendable intentar resolver los ejercicios primero antes de mirar la solución.

EJERCICIO 1

Encuentra la inversa de la función $latex f(x)=2x-3$.

Paso 1: Reemplazamos a $latex f(x)$ con y:

$latex f(x)=2x-3$

$latex y=2x-3$

Paso 2: Intercambiamos las variables x y y:

$latex x=2y-3$

Paso 3: Resolvemos la ecuación obtenida para y:

$latex x=2y-3$

$latex x+3=2y$

$latex \frac{x+3}{2}=y$

Paso 4: Reemplazamos a la y por $latex {{f}^{-1}}(x)$:

$latex {{f}^{-1}}(x)=\frac{x+3}{2}$

EJERCICIO 2

Si es que tenemos la función $latex f(x)=3x+4$, encuentra $latex {{f}^{-1}}(x)$.

Paso 1: Empezamos reemplazando $latex f(x)$ con para facilitar la resolución:

$latex f(x)=3x+4$

$latex y=3x+4$

Paso 2: Sustituimos a la x con la y y la y con la x:

$latex x=3y+4$

Paso 3: Despejamos la y en la ecuación del paso 2:

$latex x=3y+4$

$latex x-4=3y$

$latex \frac{x-4}{3}=y$

Paso 4: Cambiamos a la y por $latex {{f}^{-1}}(x)$:

$latex {{f}^{-1}}(x)=\frac{x-4}{3}$

EJERCICIO 3

¿Cuál es la función inversa de la función $latex f(x)=\frac{x+4}{2x-5}$?

Paso 1: Tenemos que reemplazar a $latex f(x)$ con para facilitar el proceso de resolución:

$latex f(x)=\frac{x+4}{2x-5}$

$latex y=\frac{x+4}{2x-5}$

Paso 2: Intercambiamos las variables x y y:

$latex x=\frac{y+4}{2y-5}$

Paso 3: Despejamos la en la ecuación obtenida:

$latex x=\frac{y+4}{2y-5}$

$latex x(2y-5)=y+4$

$latex 2xy-5x=y+4$

$latex 2xy-y=5x+4$

$latex y(2x-1)=5x+4$

$latex y=\frac{5x+4}{2x-1}$

Paso 4: Tenemos que reemplazar a $latex {{f}^{-1}}(x)$ por y:

$latex {{f}^{-1}}(x)=\frac{5x+4}{2x-1}$

EJERCICIO 4

Dada la función $latex f(x)=\log_{10}(x)$, encuentra la función inversa $latex {{f}^{-1}}(x)$.

Paso 1: Empezamos reemplazamos a $latex f(x)$ con para visualizar más fácilmente:

 $latex f(x)=\log_{10}(x)$

$latex y=\log_{10}(x)$

Paso 2: Cambiamos a x por y y a por x:

$latex x=\log_{10}(y)$

Paso 3: Resolvemos la ecuación del paso 2 para y:

$latex x=\log_{10}(y)$

$latex {{10}^x}=y$

Paso 4: Reemplazamos a la y por $latex {{f}^{-1}}(x)$:

$latex {{f}^{-1}}(x)={{10}^x}$

EJERCICIO 5

Si es que tenemos $latex f(x)=\sqrt{x-5}$, encuentra $latex {{f}^{-1}}(x)$.

Paso 1: Empezamos cambiando a $latex f(x)$ por y:

$latex f(x)=\sqrt{x-5}$

$latex y=\sqrt{x-5}$

Paso 2: Intercambiamos las variables x y y:

$latex x=\sqrt{y-5}$

Paso 3: Resolvemos para y al elevar a ambos lados al cuadrado:

$latex x=\sqrt{y-5}$

$latex {{x}^2}=y-5$

$latex {{x}^2}+5=y$

Paso 4: Reemplazamos a la y por $latex {{f}^{-1}}(x)$:

$latex {{f}^{-1}}(x)={{x}^2}+5$

EJERCICIO 6

Encuentra la función inversa de $latex f(x)=\frac{x+1}{x}$.

Paso 1: Cambiamos a $latex f(x)$ por y:

$latex f(x)=\frac{x+1}{x}$

$latex y=\frac{x+1}{x}$

Paso 2: Tenemos que reemplazar a x por y y a y por x:

$latex x=\frac{y+1}{y}$

Paso 3: Resolvemos para y:

$latex x=\frac{y+1}{y}$

$latex xy=y+1$

$latex xy-y=1$

$latex y(x-1)=1$

$latex y=\frac{1}{x-1}$

Paso 4: Cambiamos a la y por $latex {{f}^{-1}}(x)$:

$latex {{f}^{-1}}(x)=\frac{1}{x-1}$

EJERCICIO 7

Dada la función $latex f(x)=\sqrt[4]{2x+5}$, encuentra su función inversa.

Paso 1: Reemplazamos a $latex f(x)$ con y:

$latex f(x)=\sqrt[4]{2x+5}$

$latex y=\sqrt[4]{2x+5}$

Paso 2: Intercambiamos las variables x y y:

$latex x=\sqrt[4]{2y+5}$

Paso 3: Elevamos ambos lados a la cuarta para resolver para y:

$latex x=\sqrt[4]{2y+5}$

$latex {{x}^4}=2y+5$

$latex {{x}^4}-5=2y$

$latex \frac{{{x}^4}-5}{2}=y$

Paso 4: Reemplazamos a la y por $latex {{f}^{-1}}(x)$:

$latex {{f}^{-1}}(x)=\frac{{{x}^4}-5}{2}$


Ejercicios de funciones inversas para resolver

Pon en práctica tu conocimiento sobre las funciones inversas con los siguientes ejercicios. Si necesitas ayuda con esto, puedes mirar el proceso usado y los ejercicios resueltos de arriba.

¿Cuál es la inversa de $latex f(x)=5x-6$?

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Encuentra la inversa de $latex f(x)=7x+2$.

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Enuentra la inversa de $latex f(x)=\frac{4x+3}{2x+5}$.

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¿Cuál es la función inversa de $latex g(x)=\sqrt{x-8}$?

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Encuentra la inversa de $latex f(x)=\sqrt[5]{3x+11}$.

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Véase también

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