Determinar si es que una función es par o impar

Una función par es una función, la cual tiene una gráfica con simetría con respecto al eje y. Por otro lado, la función impar tiene una gráfica con simetría rotacional de 180° con respecto al origen. Una función es par cuando f(-x) = f(x) y es impar cuando f(-x) = f(x).

A continuación, aprenderemos cómo determinar si es que una función es par o impar tanto gráficamente, como algebraicamente. Veremos algunos ejercicios para practicar los conceptos.

ÁLGEBRA
Fórmulas de funciones pares e impares

Relevante para

Aprender a determinar si es que una función es par o impar.

Ver métodos

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Determinar si es que una función es par o impar gráficamente

Dado que las gráficas de las funciones par e impar tienen características únicas, podemos determinar si es que una función es par o impar usando su gráfica.

Función par: La gráfica de la función par es simétrica con respecto al eje y. Esto significa que, si es dobláramos a la función en el eje y, obtendríamos dos partes iguales de la gráfica.

Por ejemplo, la función $latex f(x)=x^2$ es una función par porque tiene una simetría en el eje y como se muestra en la siguiente gráfica:

Grafica funcion cuadrática

Función impar: La gráfica de la función impar tiene una simetría rotacional de 180° con respecto al origen. Esto significa que, si es que rotamos a la gráfica por 180°, la gráfica permanece sin cambios.

Por ejemplo, la función $latex f(x)=x^3$ es una función impar porque su gráfica no presenta ningún cambio cuando la rotamos por 180° con respecto al origen:

Gráfica de funcion impar x al cubo

Determinar si es que una función es par o impar algebraicamente

Cuando no tenemos una gráfica de la función, podemos determinar si es que una función es par o impar algebraicamente. Para esto, consideramos lo siguiente.

Función par: Una función es par si es que $latex f(-x)=f(x)$ para todos los valores de x que pertenecen al dominio de la función.

Por ejemplo, la función $latex f(x)=x^2$ es par, ya que:

$latex f(-x)=(-x)^2=x^2=f(x)$

Función impar: Una función es impar si es que $latex f(-x)=-f(x)$ para todos los valores de x que pertenecen al dominio de la función.

Por ejemplo, la función $latex f(x)=x^3$ es impar, ya que:

$latex f(-x)=(-x)^3=-x^3=-f(x)$

En resumen, si es que tenemos una función f de modo que $latex f(-x)=f(x)$, la función es par. Si es que tenemos una función f de modo que $latex f(-x)=-f(x)$, la función es impar


Determinar si una función es par o impar – Ejercicios resueltos

Los métodos gráficos y algebraicos son usados para resolver los siguientes ejercicios de funciones par e impar. Intenta resolver los ejercicios tú mismo antes de mirar la solución.

EJERCICIO 1

Demuestra que la función $latex f(x)=x^2-2$ es par.

Solución

EJERCICIO 2

Demuestra que la función $latex f(x)=2x^4+x^2-1$ es una función par.

Solución

EJERCICIO 3

Demuestra que la función $latex f(x)=4x^3-x$ es una función impar.

Solución

EJERCICIO 4

Determina si es que la función $latex f(x)=3x^2-|x|$ es par o impar.

Solución

EJERCICIO 5

Determina si es que la función $latex f(x)=\frac{1}{x}+x$ es par o impar.

Solución

EJERCICIO 6

Determina si es que la función $latex f(x)=(x^3-5)^2$ es par, impar o ninguno.

Solución

Determinar si una función es par o impar – Ejercicios para resolver

Usa las pruebas de funciones pares e impares para resolver los siguientes ejercicios. Puedes usar los ejercicios resueltos de arriba como guía.

Determina si la función $latex f(x)=2x^2-1$ es par impar o ninguno.

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Determina si la función $latex f(x)=x^2-x$ es par impar o ninguno.

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Determina si la función $latex f(x)=1+|x|$ es par impar o ninguno.

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Determina si la función $latex f(x)=x^5-1$ es par impar o ninguno.

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Determina si la función $latex f(x)\frac{1}{1+x^2}$ es par impar o ninguno.

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Véase también

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