Determinar si es que una función es par o impar

Una función par es una función, la cual tiene una gráfica con simetría con respecto al eje y. Por otro lado, la función impar tiene una gráfica con simetría rotacional de 180° con respecto al origen. Una función es par cuando f(-x) = f(x) y es impar cuando f(-x) = f(x).

A continuación, aprenderemos cómo determinar si es que una función es par o impar tanto gráficamente, como algebraicamente. Veremos algunos ejercicios para practicar los conceptos.

ÁLGEBRA
Fórmulas de funciones pares e impares

Relevante para

Aprender a determinar si es que una función es par o impar.

Ver métodos

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Fórmulas de funciones pares e impares

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Determinar si es que una función es par o impar gráficamente

Dado que las gráficas de las funciones par e impar tienen características únicas, podemos determinar si es que una función es par o impar usando su gráfica.

Función par: La gráfica de la función par es simétrica con respecto al eje y. Esto significa que, si es dobláramos a la función en el eje y, obtendríamos dos partes iguales de la gráfica.

Por ejemplo, la función $latex f(x)=x^2$ es una función par porque tiene una simetría en el eje y como se muestra en la siguiente gráfica:

Grafica funcion cuadrática

Función impar: La gráfica de la función impar tiene una simetría rotacional de 180° con respecto al origen. Esto significa que, si es que rotamos a la gráfica por 180°, la gráfica permanece sin cambios.

Por ejemplo, la función $latex f(x)=x^3$ es una función impar porque su gráfica no presenta ningún cambio cuando la rotamos por 180° con respecto al origen:

Gráfica de funcion impar x al cubo

Determinar si es que una función es par o impar algebraicamente

Cuando no tenemos una gráfica de la función, podemos determinar si es que una función es par o impar algebraicamente. Para esto, consideramos lo siguiente.

Función par: Una función es par si es que $latex f(-x)=f(x)$ para todos los valores de x que pertenecen al dominio de la función.

Por ejemplo, la función $latex f(x)=x^2$ es par, ya que:

$latex f(-x)=(-x)^2=x^2=f(x)$

Función impar: Una función es impar si es que $latex f(-x)=-f(x)$ para todos los valores de x que pertenecen al dominio de la función.

Por ejemplo, la función $latex f(x)=x^3$ es impar, ya que:

$latex f(-x)=(-x)^3=-x^3=-f(x)$

En resumen, si es que tenemos una función f de modo que $latex f(-x)=f(x)$, la función es par. Si es que tenemos una función f de modo que $latex f(-x)=-f(x)$, la función es impar


Determinar si una función es par o impar – Ejercicios resueltos

Los métodos gráficos y algebraicos son usados para resolver los siguientes ejercicios de funciones par e impar. Intenta resolver los ejercicios tú mismo antes de mirar la solución.

EJERCICIO 1

Demuestra que la función $latex f(x)=x^2-2$ es par.

La gráfica de la función $latex f(x)=x^2-2$ es igual a la gráfica de $latex f(x)=x^2$ con una traslación de 2 unidades hacia bajo:

grafica de funcion cuadratica 3

Claramente, vemos que la gráfica de $latex f(x)=x^2-2$ es simétrica con respecto al eje y, por lo que la función es par.

EJERCICIO 2

Demuestra que la función $latex f(x)=2x^4+x^2-1$ es una función par.

Demostrar esto gráficamente sería más difícil. Entonces, vamos a demostrar algebraicamente.

Si la función es par, debemos tener $latex f(-x)=f(x)$. Entonces, verificamos:

$latex f(-x)=2(-x)^2+(-x)^2-1$

$latex f(-x)=2x^2+x^2-1$

Vemos que obtuvimos la función original, por lo que hemos demostrado que la función es par.

EJERCICIO 3

Demuestra que la función $latex f(x)=4x^3-x$ es una función impar.

Las funciones impares son generalmente difíciles de demostrar gráficamente. Entonces, vamos a demostrar algebraicamente.

Si es que una función es impar, debemos tener $latex f(-x)=-f(x)$. Entonces, verificamos esto:

$latex f(-x)=4(-x)^3-(-x)$

$latex f(-x)=-4-x^3+x$

La expresión del lado derecho que obtuvimos es equivalente a tener $latex -f(x)$. Esto significa que la función sí es impar.

EJERCICIO 4

Determina si es que la función $latex f(x)=3x^2-|x|$ es par o impar.

Para demostrar si es que una función es par o impar, podemos empezar realizando la prueba de funciones pares. Si es que la función falla esa prueba, podemos proceder con la prueba de funciones impares.

Entonces, para que una función sea par, debemos tener $latex f(-x)=f(x)$. Verificando, tenemos:

$latex f(-x)=3(-x)^2-|-x|$

$latex f(-x)=3x^2-|x|$

Vemos que la expresión que obtuvimos es igual a $latex f(x)$, por lo que la función es par.

Dado que la función es par, ya no tenemos que realizar la prueba de funciones impares.

EJERCICIO 5

Determina si es que la función $latex f(x)=\frac{1}{x}+x$ es par o impar.

Nuevamente, podemos empezar con la prueba de funciones pares y luego realizar la prueba de funciones impares.

Para que una función sea par, debemos tener $latex f(-x)=f(x)$. Verificando, tenemos:

$latex f(-x)=\frac{1}{-x}+(-x)$

$latex f(-x)=-\frac{1}{x}-x$

Vemos que la expresión que obtuvimos no es igual a $latex f(x)$, por lo que la función no es par. Entonces, procedemos con la prueba de funciones impares.

Para que una función sea impar, debemos tener $latex f(-x)=-f(x)$. Mirando la expresión que obtuvimos arriba, vemos que, ciertamente, la expresión obtenida es igual a $latex -f(x)$, por lo que la función es impar.

EJERCICIO 6

Determina si es que la función $latex f(x)=(x^3-5)^2$ es par, impar o ninguno.

Empezamos con la prueba de funciones pares. Entonces, verificamos si es que $latex f(-x)=f(x)$:

$latex f(-x)=((-x)^3-5)^2$

$latex f(-x)=(-x^3-5)^2$

La expresión que obtuvimos no es igual a $latex f(x)$. Entonces, procedemos con la prueba de funciones impares.

Para verificar si la función es impar, debemos tener $latex f(-x)=-f(x)$. Sin embargo, la función tampoco es impar, ya que la expresión obtenida arriba no es igual a $latex -f(x)$.

Nota: $latex -f(x)$ sería igual a $latex -(x^3-5)^2$.

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Determinar si una función es par o impar – Ejercicios para resolver

Usa las pruebas de funciones pares e impares para resolver los siguientes ejercicios. Puedes usar los ejercicios resueltos de arriba como guía.

Determina si la función $latex f(x)=2x^2-1$ es par impar o ninguno.

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Determina si la función $latex f(x)=x^2-x$ es par impar o ninguno.

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Determina si la función $latex f(x)=1+|x|$ es par impar o ninguno.

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Determina si la función $latex f(x)=x^5-1$ es par impar o ninguno.

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Determina si la función $latex f(x)\frac{1}{1+x^2}$ es par impar o ninguno.

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Véase también

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