¿Cuándo una relación es una función?

Para que una relación sea una función, podemos tener dos casos. El primero sucede cuando la relación es uno a uno y el segundo caso sucede cuando la relación es muchos a uno. Esencialmente, esto significa que una función puede tener varios valores de entrada que produzcan el mismo valor de salida, pero no varias salidas producidas por una sola entrada.

A continuación, aprenderemos sobre los dos casos de relaciones que sí son consideradas funciones. Además, veremos algunos ejemplos para aplicar los conceptos.

ÁLGEBRA
Diagrama de mapeo de una función uno a uno

Relevante para

Aprender sobre las relaciones que son funciones.

Ver relaciones

ÁLGEBRA
Diagrama de mapeo de una función uno a uno

Relevante para

Aprender sobre las relaciones que son funciones.

Ver relaciones

Caso (i): Relación uno a uno

Vamos a considerar a dos conjuntos no vacíos A y B. Una relación de A a B es una regla que asocia a cada elemento del conjunto A con un elemento del conjunto B.

Una relación puede ser representada usando un diagrama de mapeo. Consideremos a la siguiente relación que tiene los conjuntos A={-2, -1, 0, 1, 2} y B={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Diagrama de mapeo de una función uno a uno

En el caso (i), observamos que cada elemento del conjunto A se relaciona únicamente con un elemento del conjunto B. Esta es una relación llamada uno a uno.

El hecho que no haya elementos del conjunto A que se relacionen con los elementos 0 o 1 en el conjunto B no es importante.

Una relación uno a uno es llamada una función. Usualmente, denotamos usando a f a la regla que asocia a cada elemento de A a un elemento de B.

Por ejemplo, en la relación que tenemos arriba, la regla es «sumar 4». Usando la notación de funciones, podemos escribir:

$latex f(x)=x+4~~$ o $latex ~~f:~x\rightarrow x+4$


Caso (ii): Relación muchos a uno

Nuevamente, vamos a considerar a los conjuntos A={-2, -1, 0, 1, 2} y B={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}, pero en este caso, tenemos la siguiente relación:

Diagrama de mapeo de una función muchos a uno

En el caso (ii) observamos que dos elementos del conjunto A se relacionan con un elemento del conjunto B. Esta es una relación dos a uno o una relación muchos a uno.

Una relación muchos a uno también es llamada una función.

Por ejemplo, en la relación que tenemos arriba, la regla es «elevar al cuadrado». Usando la notación de funciones, podemos escribir:

$latex f(x)=x^2~~$ o $latex ~~f:~x\rightarrow x^2$


Ejemplos de relaciones que son funciones

En los siguientes ejemplos, podemos aplicar lo aprendido sobre las relaciones uno a uno y muchos a uno para determinar qué tipo de relación son las siguientes funciones.

EJEMPLO 1

Determina si es que la función $latex f(x)=\frac{x}{2}+2$ es una función uno a uno o muchos a uno.

Solución: La gráfica de la función f es la siguiente:

gráfica de funcion uno a uno

Podemos ver que la gráfica de $latex f(x)=\frac{x}{2}+2$ es una línea recta. Además, vemos claramente que la función es uno a uno, ya que cada valor de x está relacionado con un solo valor de y.

EJEMPLO 2

Determina si es que la función $latex f(x)=x^2+1$ es una función uno a uno o muchos a uno.

Solución: Dado que tenemos $latex f(-1)=(-1)^2+1=2$ y $latex f(1)=1^2+1=2$, sabemos que la función no es uno a uno. Su gráfica es:

gráfica de funcion muchos a uno

Mirando la gráfica de la función, vemos que esta función es muchos a uno, específicamente, dos a uno.

EJEMPLO 3

¿Es la función $latex f(x)=(x^4+1)^2-3$ una función uno a uno o muchos a uno?

Solución: Una forma de determinar si una función es muchos a uno es usando la prueba $latex f(-1)=f(1)$. Entonces, tenemos:

$latex f(1)=(1^4+1)^2-3$

$latex =(2)^2-3$

$latex =4-3$

$latex =1$

$latex f(-1)=((-1)^4+1)^2-3$

$latex =(2)^2-3$

$latex =4-3$

$latex =1$

Vemos que $latex f(-1)=f(1)$ es verdadero. Esto significa que la función es muchos a uno.

Nota: Ten en cuenta que la prueba $latex f(-1)=f(1)$ funciona solo cuando la función es simétrica con respecto al eje y.


Véase también

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