Las funciones compuestas son funciones obtenidas al usar los valores de salida de una función como los valores de entrada de otra. Es decir, si es que tenemos dos funciones f y g, una función compuesta sería h=g(f(x)). Básicamente, una función es aplicada al resultado de otra función.
A continuación, aprenderemos todo lo relacionado con las funciones compuestas. Veremos su definición y algunos ejemplos de cómo resolver funciones compuestas.
Definición de las funciones compuestas
Consideremos a las dos funciones $latex f(x)=2x+5$ y $latex g(x)=x-3$, en donde el dominio de f es {1, 2, 3, 4} y el dominio de g es igual al rango de f. Podemos ilustrar esto usando el siguiente diagrama de mapeo:
La tercera función mostrada en el diagrama, la cual tiene el dominio {1, 2, 3, 4} y el rango {4, 6, 8, 10}, es llamada la función compuesta. Esta función es denotada por $latex g(f(x))$ o $latex (g \circ f)(x)$.
Podemos obtener una sola expresión o «regla» para la función compuesta $latex g(f(x))$ en términos de x.
Para esto, observamos que la función f es más cercana a la variable x, ya que f es la primera función que opera en el conjunto {1, 2, 3, 4}. Entonces, podemos escribir:
$latex g(f(x))=g(2x+5)$
$latex =(2x+5)-3$
$latex g(f(x))=2x+2$
La composición de las funciones es $latex g(f(x))=2x+2$ y tiene el dominio {1, 2, 3, 4} y el rango {4, 5, 8, 10}.
Orden de funciones en una composición de funciones
El orden de las funciones es muy importante en una composición de funciones, ya que $latex f(g(x))$ no es igual a $latex g(f(x))$.
Tomando el mismo ejemplo mostrado arriba, si es que la función g fuera la primera en operar en el conjunto {1, 2, 3, 4} y luego la función f operara en el rango de g, tendríamos el siguiente diagrama de mapeo:
En este caso, la función compuesta $latex f(g(x))$ tiene el dominio {1, 2, 3, 4} y el rango {1, 3, 5, 7}. La función $latex f(g(x))$ puede ser escrita de la siguiente forma:
$latex f(g(x))=f(x-3)$
$latex =2(x-3)+5$
$latex =2x-6+5$
$latex f(g(x))=2x-1$
La composición de las funciones es $latex f(g(x))=2x-1$ y tiene el dominio {1, 2, 3, 4} y el rango {1, 3, 5, 7}.
Ejemplos de funciones compuestas
Los siguientes son algunos ejemplos comunes de funciones compuestas. Cada ejemplo tiene una solución detallada, pero intenta resolver los problemas tú mismo antes de mirar la respuesta.
EJEMPLO 1
Si es que tenemos las funciones $latex f(x)=2x+5$ y $latex g(x)=x+6$, encuentra el valor de $latex f(g(2))$.
Solución
Para resolver esto, tenemos que empezar evaluando $latex g(2)$. Entonces, tenemos:
$latex g(2)=(2)+6$
$latex g(2)=8$
Ahora, usamos el valor obtenido como entrada en la función f. Es decir, tenemos:
$latex f(g(2))=f(8)$
$latex =2(8)+5$
$latex f(g(2))=21$
EJEMPLO 2
Encuentra el valor de $latex g(f(3))$ si es que tenemos $latex f(x)=x^2-5$ y $latex g(x)=2x-7$.
Solución
En este caso, tenemos que empezar evaluando $latex f(3)$. Entonces, tenemos:
$latex f(3)=(3)^2-5$
$latex f(3)=4$
Ahora, vamos a usar el valor de f obtenido en la función g:
$latex g(f(3))=g(4)$
$latex =2(4)-4$
$latex g(f(3))=4$
EJEMPLO 3
Encuentra la función compuesta $latex h(x)=f(g(x))$ si es que tenemos $latex f(x)=3x+4$ y $latex g(x)=5x-6$.
Solución
Para encontrar la composición $latex f(g(x))$, tenemos que usar a la función $latex g(x)$ como entrada de la función $latex f(x)$. Entonces, tenemos:
$latex h(x)=f(g(x))$
$latex =f(5x-6)$
$latex =3(5x-6)+4$
$latex =15x-18+4$
$latex h(x)=15x-14$
EJEMPLO 4
Si es que tenemos las funciones $latex f(x)=2x^2-3$ y $latex g(x)=3x+4$, encuentra la función compuesta $latex h(x)=g(f(x))$
Solución
Podemos encontrar la composición de funciones $latex g(f(x))$ al usar a la función $latex f(x)$ como la entrada de $latex g(x)$. Entonces, tenemos:
$latex h(x)=g(f(x))$
$latex =g(2x^2-3)$
$latex =3(2x^2-3)+4$
$latex =6x^2-9+4$
$latex h(x)=6x^2-5$
EJEMPLO 5
Encuentra el valor de $latex f(g(5))$ si es que tenemos las funciones $latex f(x)=x^2+x$ y $latex g(x)=4x-10$.
Solución
Para encontrar el valor de $latex f(g(5))$, tenemos que empezar evaluando $latex g(5)$. Entonces, tenemos:
$latex g(5)=4(5)-10$
$latex g(5)=10$
Ahora, vamos a usar el valor de g(5) en la función f:
$latex f(g(5))=f(10)$
$latex =(10)^2+10$
$latex f(g(5))=110$
EJEMPLO 6
Tenemos las funciones $latex f(x)=-x^2+5x-10$ y $latex g(x)=x+2$. Encuentra la composición $latex h(x)=f(g(x))$.
Solución
Para encontrar la composición $latex f(g(x))$, usamos a la función $latex g(x)$ como la entrada de la función $latex f(x)$. Entonces, tenemos:
$latex h(x)=f(g(x))$
$latex =f(x+2)$
$latex =-(x+2)^2+5(x+2)-10$
$latex =-x^2-4x-4+5x+10-10$
$latex h(x)=-x^2+x-4$
Funciones compuestas – Ejercicios para resolver
Resuelve los siguientes ejercicios aplicando todo lo aprendido sobre las funciones compuestas. Puedes usar los ejemplos resueltos de arriba como guía.
Véase también
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Jefferson Huera Guzmán
Jefferson es el autor principal y administrador de Neurochispas.com. Los contenidos interactivos de Matemáticas y Física que he creado han ayudado a muchos estudiantes.
