Derivadas e integrales de funciones exponenciales

La función y=e^x es llamada la función exponencial. La derivada de la función exponencial e^x es igual a e^x. Esto también significa que la integral de e^x es e^x. Funciones exponenciales compuestas pueden ser derivadas con la regla de la cadena.

A continuación, conoceremos por qué la derivada de e^x es e^x. Además, aprenderemos a resolver funciones exponenciales compuestas con algunos ejercicios.

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Fórmulas de derivadas e integrales de funcion exponencial

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¿Por qué la derivada de e^x es e^x?

La derivada de la función exponencial e^x es e^x porque la pendiente de la curva e^x es igual a e^x.

Podemos visualizar esta idea al considerar a la gráfica de la función $latex y=2^x$ que se muestra a continuación:

Diagrama de 2^x para derivadas de funciones exponenciales

Los puntos $latex P(x,~y)$ y $latex Q(x+\delta x,~y+\delta y)$ son dos puntos cercamos que se ubican en la curva $latex y=2^x$. Entonces, tenemos:

$latex y+\delta y=2^{x+\delta x}$

$latex \delta y=2^{x+\delta x}-y$

$latex =2^{x+\delta x}-2^x$

$latex \delta y=2^x(2^{\delta x}-1)$

Si es que dividimos ambos lados de esta ecuación por $latex \delta x$, tenemos:

$$\frac{\delta y}{\delta x}=2^x\left(\frac{2^{\delta x}-1}{\delta x}\right)$$

Considerando que $latex \frac{dy}{dx}=\lim_{\delta x \to 0}\left[\frac{\delta y}{\delta x}\right]$, tenemos:

$$\frac{dy}{dx}=\lim_{\delta x \to 0}\left[ 2^x\left(\frac{2^{\delta x}-1}{\delta x}\right)\right]$$

$$=2^x \times \lim_{\delta x \to 0}\left(\frac{2^{\delta x}-1}{\delta x}\right)$$

Tomando valores muy pequeños de $latex \delta x$ y usando una calculadora, tenemos:

$$\lim_{\delta x \to 0}\left(\frac{2^{\delta x}-1}{\delta x}\right)\approx 0.693$$

Esto significa que la derivada de $latex 2^x$ es:

$$\dfrac{d}{dx}(2^x)\approx 0.693 \times 2^x$$

Si es que realizamos lo mismo para $latex 3^x$, tenemos:

$$\frac{d}{dx}(3^x)=3^x \times \lim_{\delta x \to 0}\left(\frac{3^{\delta x}-1}{\delta x}\right)$$

Tomando valores muy pequeños de $latex \delta x$ y usando una calculadora, tenemos:

$$\lim_{\delta x \to 0}\left(\frac{3^{\delta x}-1}{\delta x}\right)\approx 1.099$$

$$\dfrac{d}{dx}(3^x)\approx 1.099 \times 3^x$$

Podemos observar que para $latex y=2^x$, la pendiente de la curva ($latex \frac{dy}{dx}$) es menos de $latex y=2^x$ y en el caso de $latex y=3^x$, la pendiente es mayor que $latex y=3^x$.

Existe una función exponencial $latex y=a^x$ en la que su pendiente es igual a $latex y=a^x$. Este valor es $latex a=2.71828$ y es denotado por el símbolo $latex e$.

Ejercicios resueltos de derivadas e integrales de funciones exponenciales

EJERCICIO 1

Encuentra la derivada de la función $latex y=e^{3x}$.

Solución

Sabemos que la derivada de la función $latex y=e^x$ es $latex \frac{dy}{dx}=e^x$.

Entonces, usamos la regla de la cadena para derivar:

$$\frac{dy}{dx}=e^{2x}(2x)^{\prime}$$

$$\frac{dy}{dx}=2 e^{2x}$$

EJERCICIO 2

¿Cuál es la derivada de la función $latex y=5e^{\frac{1}{x}}$?

Solución

Usando la regla de la cadena, tenemos:

$$\frac{dy}{dx}=5e^{\frac{1}{x}}\left(\frac{1}{x}\right)^{\prime}$$

$$=5e^{\frac{1}{x}}\left(-\frac{1}{x^2}\right)$$

$$\frac{dy}{dx}=-\frac{5}{x^2}e^{\frac{1}{x}}$$

EJERCICIO 3

Encuentra la derivada de la siguiente función:

$$y=\frac{2}{3+e^{3x}}$$

Solución

Podemos escribir a la función de la siguiente forma:

$latex y=2(3+e^{3x})^{-1}$

Ahora, usamos la regla de la cadena:

$$\dfrac{dy}{dx}=-2(3+e^{3x})^{-2}(3+e^{3x})^{\prime}$$

$$=-2(3+e^{3x})^{-2}(3e^{3x})$$

$$\dfrac{dy}{dx}=\frac{-6e^{3x}}{(3+e^{3x})^2}$$

EJERCICIO 4

Resuelve la siguiente integral:

$$\int 2e^{-x} dx$$

Solución

Para resolver esta integral, observamos que la derivada de $latex e^{-x}$ es $latex -e^{-x}$. Entonces, tenemos:

$$\int 2e^{-x} dx =-2e^{-x}+c$$

EJERCICIO 5

Encuentra el resultado de la siguiente integral:

$$\int (1-e^{-3x})^2 dx$$

Solución

Podemos empezar por expandir la expresión del paréntesis para obtener:

$$\int (1-e^{-3x})^2 dx = \int (1-2e^{-3x}+e^{-6x}) dx$$

Entonces, tenemos:

$$\int (1-e^{-3x})^2 dx = x+\frac{2}{3}e^{-3x}-\frac{e^{-6x}}{6}+c$$

EJERCICIO 6

Encuentra la derivada de la siguiente función:

$latex y=x^2e^x$

Solución

En este caso, podemos usar la regla del producto de derivadas y tenemos:

$$\dfrac{dy}{dx}=x^2(e^x)^{\prime}+e^x(x^2)^{\prime}$$

$$=x^2e^x+2xe^x$$

$$\dfrac{dy}{dx}=xe^x(x+2)$$