Un sistema de coordenadas es definido como una manera de definir y ubicar a un punto en el espacio. El sistema de coordenadas tridimensional más usado es el sistema cartesiano, el cual tiene la forma (x, y, z). Sin embargo, existen sistemas alternos que pueden resultar más convenientes dependiendo en la situación. Uno de estos sistemas es el sistema de coordenadas esféricas. Este sistema tiene la forma (ρ, θ, φ), en donde, ρ es a la distancia desde el origen hasta el punto, θ es el ángulo formado con respecto al eje x y φ es el ángulo formado con respecto al eje z.
A continuación, conoceremos más detalles sobre este sistema de coordenadas. También, conoceremos las fórmulas usadas para convertir de coordenadas cartesianas a esféricas y viceversa.
¿Qué son las coordenadas esféricas?
Las coordenadas esféricas son un sistema de coordenadas tridimensional. Este sistema tiene la forma (ρ, θ, φ), en donde, ρ es la distancia desde el origen hasta el punto, θ es el ángulo formado con respecto al eje x y φ es el ángulo formado con respecto al eje z.
El sistema de coordenadas esféricas es útil cuando queremos graficar figuras esféricas o figuras que están definidas a base de ángulos. Este sistema de coordenadas es principalmente conveniente en el cálculo.
Muchas veces encontrar las derivadas o integrales de figuras esféricas puede resultar más fácil usando este sistema, ya que podemos describir a las figuras usando ecuaciones más simples y convenientes.
Ejemplos de coordenadas esféricas
Para graficar a un punto que está representado en coordenadas esféricas, podemos empezar ubicándolo con respecto a su distancia desde el origen y su ángulo con respecto al eje x. Luego, lo ubicamos con respecto al ángulo que forma desde el eje z. El siguiente diagrama representa al punto $latex (3, \frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{4})$.
Podemos ver que, el ángulo φ es medido desde el eje z positivo. Este ángulo va desde 0 hasta π. Por otra parte, el ángulo θ no tiene ninguna restricción. Esto significa que en realidad, tenemos varias formas de representar a un punto en coordenadas esféricas.
Esto se debe a que, si es que sumamos o restamos 2π o un múltiplo de 2π, obtenemos un ángulo equivalente. Por ejemplo, los ángulos $latex \frac{\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}$ son equivalentes.
Fórmulas de conversión de esféricas a cartesianas
Usemos el siguiente diagrama para derivar las fórmulas de conversión de coordenadas esféricas a coordenadas cartesianas:
Podemos usar triángulos rectángulos y trigonometría para obtener ecuaciones para ρ, θ, φ en términos de x, y, z. La derivación de estas ecuaciones resulta más fácil si es que empezamos transformando de coordenadas esféricas a cilíndricas y luego, de coordenadas cilíndricas a cartesianas. Entonces, usamos el siguiente diagrama:
Podemos encontrar a r y z usando la función seno y coseno respectivamente:
$latex z=\rho \cos(\phi)$
$latex r=\rho \sin(\phi)$
El tercer componente aquí es $latex \theta$. Ahora, usamos las fórmulas de transformación de coordenadas cilíndricas a cartesianas:
$latex x=r~\cos(\theta)$
$latex y=r~\sin(\theta)$
$latex z=z~~~~~$
Si es que usamos estos dos conjuntos de ecuaciones, tenemos:
| $latex x=\rho \sin(\phi)\cos(\theta)$ $latex y=\rho \sin(\phi)\sin(\theta)$ $latex z=\rho \cos(\phi)~~$ |
EJERCICIO 1
Si es que tenemos las coordenadas esféricas $latex (3, \frac{2\pi}{3}, \frac{\pi}{4})$, ¿cuál es su equivalente en coordenadas cartesianas?
Solución
Podemos observar los valores $latex \rho=3,~\theta=\frac{2\pi}{3},~\phi=\frac{\pi}{4}$. Usamos los valores junto con las fórmulas vistas arriba para encontrar el valor de x:
$latex x=\rho~\sin(\phi)\cos(\theta)$
$latex x=3~\sin(\frac{\pi}{4})\cos(\frac{2\pi}{3})$
$latex x=-1.06$
El valor de y es:
$latex y=\rho~\sin(\phi)\sin(\theta)$
$latex y=3~\sin(\frac{\pi}{4})\sin(\frac{2\pi}{3})$
$latex y=1.84$
El valor de z es:
$latex z=\rho~\cos(\phi)$
$latex z=3~\cos(\frac{\pi}{4})$
$latex z=2.12$
Las coordenadas cartesianas del punto son (-1.06, 1.84, 2.12).
EJERCICIO 2
Tenemos las coordenadas esféricas $latex (6, \frac{5\pi}{3}, \frac{\pi}{2})$. ¿Cuál es su equivalente en coordenadas cartesianas?
Solución
Podemos extraer los valores $latex \rho=6,~\theta=\frac{5\pi}{3},~\phi=\frac{\pi}{2}$. Entonces, usamos las fórmulas junto con estos valores para encontrar el valor de x:
$latex x=\rho~\sin(\phi)\cos(\theta)$
$latex x=6~\sin(\frac{\pi}{2})\cos(\frac{5\pi}{3})$
$latex x=3$
El valor de y es:
$latex y=\rho~\sin(\phi)\sin(\theta)$
$latex y=6~\sin(\frac{\pi}{2})\sin(\frac{5\pi}{3})$
$latex y=-5.2$
El valor de z es:
$latex z=\rho~\cos(\phi)$
$latex z=6~\cos(\frac{\pi}{2})$
$latex z=0$
Las coordenadas cartesianas del punto son (3, -5.2, 0).
Fórmulas de conversión de cartesianas a esféricas
Para derivar las fórmulas de conversión de coordenadas cartesianas a coordenadas esféricas, usamos el mismo diagrama:
El componente ρ puede ser encontrado en términos de x, y, z usando el teorema de Pitágoras en tres dimensiones. Entonces, tenemos:
$latex {{\rho}^2}={{x}^2}+{{y}^2}+{{z}^2}$
| $latex \rho=\sqrt{{{x}^2}+{{y}^2}+{{z}^2}}$ |
El ángulo θ es encontrado usando el mismo proceso de coordenadas cilíndricas. Usamos a la tangente inversa, en donde, y es el lado opuesto del ángulo y x es el lado adyacente. Entonces, tenemos:
| $latex \theta=\tan^{-1}(\frac{y}{x})$ |
Algo que debemos considerar es que, muchas veces el ángulo dado por la calculadora no es el correcto. Esto es debido a que la función tangente inversa tiene un rango que va desde $latex -\frac{\pi}{2}$ hasta $latex \frac{\pi}{2}$, por lo que no cubre los cuatro cuadrantes.
Para corregir esto, sumamos 180° o π si es que el punto está en el segundo o tercer cuadrante y sumamos 360° o 2π si es que el punto está en el cuarto cuadrante. Si es que el punto está en el primer cuadrante, el valor dado por la calculadora sí es correcto.
Para encontrar al ángulo φ, podemos usar la función coseno. Vemos que el lado adyacente a este ángulo es el lado z y la hipotenusa es igual a ρ. Entonces, tenemos:
| $latex \phi={{\cos}^{-1}}(\frac{z}{\rho})$ |
EJERCICIO 1
El punto (2, 3, 4) está escrito en coordenadas cartesianas. ¿Cuál es su equivalente en coordenadas esféricas?
Solución
Podemos observar los valores $latex x=2, ~y=3,~z=4$. Encontramos los valores de ρ, θ y φ, usando las fórmulas derivadas. Entonces, el valor de ρ es:
$latex \rho=\sqrt{{{x}^2}+{{y}^2}+{{z}^2}}$
$latex \rho=\sqrt{{{2}^2}+{{3}^2}+{{4}^2}}$
$latex \rho=\sqrt{4+9+16}$
$latex \rho=\sqrt{29}$
$latex \rho=5.39$
Ahora, usamos la tangente inversa para encontrar a θ:
$latex \theta={{\tan}^{-1}}(\frac{y}{x})$
$latex \theta={{\tan}^{-1}}(\frac{3}{2})$
$latex \theta=0.98$ rad
Este valor es el correcto, ya que el punto está en el primer cuadrante (los valores de x y y son positivos).
Usamos al coseno inverso para encontrar el valor de φ, :
$latex \phi={{\cos}^{-1}}(\frac{z}{\rho})$
$latex \phi={{\cos}^{-1}}(\frac{4}{5.39})$
$latex \phi=0.73$ rad
Las coordenadas esféricas del punto son (5.39, 0.98 rad, 0.73 rad).
EJERCICIO 2
Si es que el punto (-2, -4, 5) está en coordenadas cartesianas, ¿cuál es su equivalencia en coordenadas polares?
Solución
Tenemos los valores $latex x=-2, ~y=-4,~z=5$. Usamos las ecuaciones obtenidas junto con estos valores para encontrar las coordenadas esféricas. El valor de ρ es:
$latex \rho=\sqrt{{{x}^2}+{{y}^2}+{{z}^2}}$
$latex \rho=\sqrt{{{(-2)}^2}+{{(-4)}^2}+{{5}^2}}$
$latex \rho=\sqrt{4+16+25}$
$latex \rho=\sqrt{45}$
$latex \rho=6.71$
El valor de θ es:
$latex \theta={{\tan}^{-1}}(\frac{y}{x})$
$latex \theta={{\tan}^{-1}}(\frac{-4}{-2})$
$latex \theta=1.11$ rad
En este caso, tanto el componente x como el componente y son negativos. Esto significa que el punto se ubica en el tercer cuadrante y tenemos que sumar 180° o π para obtener el ángulo correcto. Entonces, el ángulo correcto es $latex \theta=1.11+\pi=4.25$ rad.
El valor de φ es:
$latex \phi={{\cos}^{-1}}(\frac{z}{\rho})$
$latex \phi={{\cos}^{-1}}(\frac{5}{6.71})$
$latex \phi=0.73$ rad
Las coordenadas esféricas del punto son (6.71, 1.11 rad, 0.73 rad).
Véase también
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Jefferson Huera Guzmán
Jefferson es el autor principal y administrador de Neurochispas.com. Los contenidos interactivos de Matemáticas y Física que he creado han ayudado a muchos estudiantes.
