Las coordenadas esféricas son escritas en la forma (ρ, θ, φ), en donde, ρ representa a la distancia desde el origen hasta el punto, θ representa al ángulo con respecto al eje x en el plano xy y φ representa al ángulo formado con respecto al eje z. Las coordenadas esféricas pueden resultar útiles al momento de graficar esferas u otras figuras tridimensionales representadas por ángulos. Este sistema de coordenadas es particularmente útil en el cálculo, ya que generalmente resulta más fácil obtener las derivadas o integrales usando este sistema cuando tenemos problemas relacionados a esferas o figuras similares.
A continuación, conoceremos las fórmulas que podemos usar para transformar de coordenadas cartesianas a esféricas. Luego, usaremos estas fórmulas para resolver algunos ejercicios de práctica.
TRIGONOMETRÍA
Relevante para…
Aprender a transformar de coordenadas cartesianas a esféricas.
TRIGONOMETRÍA
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Aprender a transformar de coordenadas cartesianas a esféricas.
¿Cómo transformar de coordenadas cartesianas a coordenadas esféricas?
Podemos transformar de coordenadas cartesianas a coordenadas esféricas usando triángulos rectángulos, trigonometría y el teorema de Pitágoras.
Las coordenadas cartesianas son escritas en la forma (x, y, z), mientras que las coordenadas esféricas tienen la forma (ρ, θ, φ). En esta forma, ρ es la distancia desde el origen hasta un punto tridimensional, θ es el ángulo formado en el plano xy con respecto al eje x y φ es el ángulo formado con respecto al eje z. Podemos mirar a estos componentes en el siguiente diagrama.
Podemos empezar encontrando la longitud de ρ en términos de x, y, z. Para esto, usamos al teorema de Pitágoras en tres dimensiones. Entonces, tenemos que ρ al cuadrado es igual a la suma de los cuadrados de x, y, z:
$latex {{\rho}^2}={{x}^2}+{{y}^2}+{{z}^2}$
| $latex \rho=\sqrt{{{x}^2}+{{y}^2}+{{z}^2}}$ |
El ángulo θ es el mismo al encontrado al transformar a coordenadas cilíndricas. Encontramos a este ángulo usando a la función tangente inversa. La tangente de un ángulo es igual al lado opuesto dividido por el lado adyacente.
En el diagrama, podemos ver que el lado opuesto es igual al componente y y el lado adycente es el componente x. Entonces, tenemos:
| $latex \theta=\tan^{-1}(\frac{y}{x})$ |
Sin embargo, debemos tener en cuenta que el ángulo θ dado por la calculadora a veces es incorrecto debido a que el rango de la función tangente inversa es $latex -\frac{\pi}{2}$ hasta $latex \frac{\pi}{2}$. Esto no cubre los cuatro cuadrantes del plano cartesiano, por lo que usamos la siguiente tabla para corregir esto:
| Cuadrante | Valor de $latex {{\tan}^{-1}}$ |
| I | Usamos el valor de la calculadora |
| II | Sumamos 180° al valor de la calculadora |
| III | Sumamos 180° al valor de la calculadora |
| IV | Sumamos 360° al valor de la calculadora |
Finalmente, tenemos al ángulo φ. Este es el ángulo formado por la línea y el eje z positivo. Este ángulo va desde 0 hasta π. Para encontrar a este ángulo, podemos usar la función coseno. El coseno es igual al lado adyacente dividido por la hipotenusa.
En el siguiente diagrama, vemos que el lado adyacente es igual al componente z y la hipotenusa es igual a ρ. Entonces, tenemos:
| $latex \phi={{\cos}^{-1}}(\frac{z}{\rho})$ |
Ejercicios de coordenadas cartesianas a esféricas resueltos
Los siguientes ejercicios pueden ser usados para entender el proceso de transformación de coordenadas cartesianas a coordenadas esféricas. Intenta resolver los ejercicios tú mismo antes de mirar la respuesta.
EJERCICIO 1
Tenemos al punto (2, 3, 4) en coordenadas cartesianas. ¿Cuál es su equivalencia en coordenadas esféricas?
Solución
Tenemos los valores $latex x=2, ~y=3,~z=4$. Usamos las fórmulas dadas arriba para encontrar a los valores de ρ, θ y φ. Para encontrar el valor de ρ, usamos el teorema de Pitágoras en tres dimensiones:
$latex \rho=\sqrt{{{x}^2}+{{y}^2}+{{z}^2}}$
$latex \rho=\sqrt{{{2}^2}+{{3}^2}+{{4}^2}}$
$latex \rho=\sqrt{4+9+16}$
$latex \rho=\sqrt{29}$
$latex \rho=5.39$
Encontramos a θ, usando la función tangente inversa:
$latex \theta={{\tan}^{-1}}(\frac{y}{x})$
$latex \theta={{\tan}^{-1}}(\frac{3}{2})$
$latex \theta=0.98$ rad
Los valores de x y y son positivos, por lo que el punto se ubica en el primer cuadrante. Entonces, el ángulo obtenido es correcto.
Para encontrar el valor de φ, usamos la función coseno inversa:
$latex \phi={{\cos}^{-1}}(\frac{z}{\rho})$
$latex \phi={{\cos}^{-1}}(\frac{4}{5.39})$
$latex \phi=0.73$ rad
Las coordenadas esféricas del punto son (5.39, 0.98, 0.73). Los ángulos están escritos en radianes.
EJERCICIO 2
El punto (4, 2, 5) está en coordenadas cartesianas. ¿Cuál es su equivalencia en coordenadas esféricas?
Solución
Podemos reconocer los valores $latex x=4, ~y=2,~z=5$. Vamos a encontrar a los valores de ρ, θ y φ usando las fórmulas vistas arriba junto con los valores dados. Empezamos con el valor de ρ:
$latex \rho=\sqrt{{{x}^2}+{{y}^2}+{{z}^2}}$
$latex \rho=\sqrt{{{4}^2}+{{2}^2}+{{5}^2}}$
$latex \rho=\sqrt{16+4+25}$
$latex \rho=\sqrt{45}$
$latex \rho=6.71$
Usamos la tangente inversa para encontrar a θ:
$latex \theta={{\tan}^{-1}}(\frac{y}{x})$
$latex \theta={{\tan}^{-1}}(\frac{2}{5})$
$latex \theta=0.38$ rad
Este valor es el correcto, ya que el punto se ubica en el primer cuadrante.
Usamos al coseno inverso para encontrar el valor de φ:
$latex \phi={{\cos}^{-1}}(\frac{z}{\rho})$
$latex \phi={{\cos}^{-1}}(\frac{5}{6.71})$
$latex \phi=0.73$ rad
Las coordenadas esféricas del punto son (6.71, 0.38, 0.73). Los ángulos están escritos en radianes.
EJERCICIO 3
Si es que tenemos las coordenadas cartesianas (-4, 4, 6), ¿cuál es su equivalencia en coordenadas esféricas?
Solución
Tenemos los valores $latex x=-4, ~y=4,~z=6$. Usamos las fórmulas de transformación junto con los valores dados para encontrar a los valores de ρ, θ y φ. El valor de ρ es encontrado usando el teorema de Pitágoras en tres dimensiones:
$latex \rho=\sqrt{{{x}^2}+{{y}^2}+{{z}^2}}$
$latex \rho=\sqrt{{{(-4)}^2}+{{4}^2}+{{6}^2}}$
$latex \rho=\sqrt{16+16+36}$
$latex \rho=\sqrt{68}$
$latex \rho=8.25$
Ahora, encontramos a θ, usando la función tangente inversa:
$latex \theta={{\tan}^{-1}}(\frac{y}{x})$
$latex \theta={{\tan}^{-1}}(\frac{4}{-4})$
$latex \theta=-0.78$ rad
El valor de x es negativo y el valor de y es positivo, por lo que el punto se ubica en el segundo cuadrante. Esto significa que tenemos que sumar 180° o π para encontrar el ángulo correcto. El ángulo correcto es $latex \theta=-0.78+\pi=2.36$ rad.
Para encontrar el valor de φ, usamos la función coseno inversa:
$latex \phi={{\cos}^{-1}}(\frac{z}{\rho})$
$latex \phi={{\cos}^{-1}}(\frac{6}{8.25})$
$latex \phi=0.76$ rad
Las coordenadas esféricas del punto son (8.25, 2.36, 0.76). Los ángulos están escritos en radianes.
EJERCICIO 4
Tenemos al punto (-2, -4, 5) en coordenadas cartesianas. ¿Cuál es su equivalencia en coordenadas esféricas?
Solución
Podemos reconocer los valores $latex x=-2, ~y=-4,~z=5$. Ahora, encontramos los valores de ρ, θ y φ usando las fórmulas de transformación. Para encontrar el valor de ρ, usamos el teorema de Pitágoras en tres dimensiones:
$latex \rho=\sqrt{{{x}^2}+{{y}^2}+{{z}^2}}$
$latex \rho=\sqrt{{{(-2)}^2}+{{(-4)}^2}+{{5}^2}}$
$latex \rho=\sqrt{4+16+25}$
$latex \rho=\sqrt{45}$
$latex \rho=6.71$
Encontramos a θ, usando la función tangente inversa:
$latex \theta={{\tan}^{-1}}(\frac{y}{x})$
$latex \theta={{\tan}^{-1}}(\frac{-4}{-2})$
$latex \theta=1.11$ rad
Tanto los valores de x como de y son negativos, por lo que el punto se ubica en el tercer cuadrante. Esto significa que tenemos que sumar 180° o π para obtener el ángulo correcto. Entonces, el ángulo correcto es $latex \theta=1.11+\pi=4.25$ rad.
Para encontrar el valor de φ, usamos la función coseno inversa:
$latex \phi={{\cos}^{-1}}(\frac{z}{\rho})$
$latex \phi={{\cos}^{-1}}(\frac{5}{6.71})$
$latex \phi=0.73$ rad
Las coordenadas esféricas del punto son (6.71, 1.11, 0.73). Los ángulos están escritos en radianes.
Ejercicios de coordenadas cartesianas a esféricas para resolver
Resuelve los siguientes ejercicios de práctica usando las fórmulas de transformación de coordenadas cartesianas a esféricas vistas arriba.
Véase también
¿Interesado en aprender más sobre coordenadas cartesianas y otros sistemas? Mira estas páginas:
Jefferson Huera Guzmán
Jefferson es el autor principal y administrador de Neurochispas.com. Los contenidos interactivos de Matemáticas y Física que he creado han ayudado a muchos estudiantes.
