Los sistemas de coordenadas son simplemente maneras de definir a un punto en el espacio. El sistema cartesiano de coordenadas, que tiene la forma (x, y), es el sistema de coordenadas más usado. Sin embargo, no siempre es el sistema de coordenadas más conveniente. Un sistema alterno es el sistema de coordenadas polares, el cual tiene la forma (r, θ). En este sistema, r representa a la distancia desde el origen hasta el punto y θ representa al ángulo formado con respecto al eje x.

A continuación, conoceremos cómo usar este sistema de coordenadas. También, aprenderemos a convertir de coordenadas cartesianas a polares y viceversa.

TRIGONOMETRÍA
grafica de punto en varias coordenadas polares

Relevante para

Aprender sobre las coordenadas polares con ejemplos.

Ver ejemplos

TRIGONOMETRÍA
grafica de punto en varias coordenadas polares

Relevante para

Aprender sobre las coordenadas polares con ejemplos.

Ver ejemplos

¿Qué son las coordenadas polares?

Las coordenadas polares son un sistema de coordenadas alterno al sistema cartesiano. Las coordenadas polares tienen la forma (r, θ), en donde, r es la distancia desde el origen hasta el punto y θ es el ángulo formado con respecto al eje x.

Coordenadas polares 1

Este sistema de coordenadas puede resultar más conveniente en el cálculo de las ecuaciones de movimiento de varios sistemas mecánicos. Muchas veces tenemos objetos que se mueven en círculos y el uso de coordenadas polares puede simplificar las ecuaciones usadas.


Ejemplos de coordenadas polares

Un punto en coordenadas polares puede ser graficado al medir la distancia desde el origen y medir el ángulo desde el eje x. El siguiente diagrama representa al punto (4, \frac{\pi}{3}).

grafica de punto en coordenadas polares 1

El valor de r puede ser tanto positivo como negativo. Por ejemplo, abajo tenemos a la gráfica de los puntos (4, \frac{\pi}{3}) y (-4, \frac{\pi}{3}).

grafica de punto en coordenadas polares con r negativo

Podemos ver que, si es que r es positivo, el punto está ubicado en el mismo cuadrante que el ángulo. Por otra parte, si es que r es negativo, el punto se ubica en el cuadrante opuesto al ángulo.

Una diferencia importante entre las coordenadas cartesianas y las coordenadas polares es que, en las coordenadas cartesianas existe un solo conjunto de coordenadas para cada punto.

Por otra parte, en las coordenadas polares, existe un número infinito de coordenadas para cada punto. Si es que sumamos o restamos 2π, obtenemos un ángulo equivalente. Por ejemplo, las siguientes coordenadas representan al mismo punto:

(4, \frac{\pi}{3})=(4, -\frac{5\pi}{3})=(-4, \frac{4\pi}{3})=(-4, -\frac{2\pi}{3})

grafica de punto en varias coordenadas polares

Fórmulas de conversión de polar a cartesiano

Podemos obtener las fórmulas de conversión de polar a cartesiano usando el siguiente diagrama:

Coordenadas polares 1

Usando el diagrama, fácilmente podemos ver que el componente x es encontrado usando el coseno del ángulo y el componente y es encontrado usando el seno del ángulo:

x=r~\cos(\theta)

y=r~\sin(\theta)

EJERCICIO 1

Tenemos las coordenadas polares (6, \frac{2\pi}{3}). ¿Cuál es su equivalente en coordenadas cartesianas?

Tenemos los valores r=6, ~\theta=\frac{2\pi}{3}. Usando a estos valores junto con las fórmulas de conversión, tenemos:

x=6 \cos(\frac{2\pi}{3})

x=-3

y=6 \sin(\frac{2\pi}{3})

y=5.2

Las coordenadas cartesianas son (-3, 5.2).

EJERCICIO 2

Si es que tenemos las coordenadas polares (5, \frac{5\pi}{4}), ¿cuál es su equivalente en coordenadas cartesianas?

Reconocemos los valores r=5, ~\theta=\frac{5\pi}{4}. Tenemos que encontrar a los valores de x y y usando estos valores y las fórmulas dadas arriba:

x=5 \cos(\frac{5\pi}{4})

x=-3.54

y=5 \sin(\frac{5\pi}{4})

y=3.54

Las coordenadas cartesianas son (-3.54, 3.54).


Fórmulas de conversión de cartesiano a polar

Vamos a usar el mismo diagrama para obtener las fórmulas de conversión de cartesiano a polar:

Coordenadas polares 1

Usando el triángulo rectángulo, podemos ver que r es igual a la hipotenusa y x, y son los catetos. Entonces, podemos usar el teorema de Pitágoras para encontrar el valor de r:

{{r}^2}={{x}^2}+{{y}^2}

r=\sqrt{{{x}^2}+{{y}^2}}

Encontramos al ángulo θ usando la tangente inversa. La tangente de un ángulo es igual al lado opuesto dividido por el lado adyacente. En este caso, el lado opuesto es y y el lado adyacente es x. Entonces, tenemos:

\theta={{\tan}^{-1}(\frac{y}{x})

Debemos tener cuidado con el ángulo, ya que la tangente inversa tiene un rango que va desde -\frac{\pi}{2} hasta \frac{\pi}{2}. Debido a esto, la calculadora puede darnos un valor incorrecto.

Para corregir esto, sumamos 180° o π si es que el punto está en el segundo y tercer cuadrantes y sumamos 360° o 2π si es que el punto está en el cuarto cuadrante. Si es que el punto está en el primer cuadrante, simplemente usamos el ángulo dado por la calculadora.

EJERCICIO 1

Si es que tenemos al punto (3, 5) en coordenadas cartesianas, ¿cuáles son sus coordenadas polares?

Tenemos los valores x=3,~y=5. Usamos a estos valores junto con las fórmulas de conversión para obtener los valores de r y de θ. Entonces, el valor de r es:

r=\sqrt{{{x}^2}+{{y}^2}}

r=\sqrt{{{3}^2}+{{5}^2}}

r=\sqrt{9+25}

r=\sqrt{34}

r=5.83

El ángulo θ es:

\theta={{\tan}^{-1}}(\frac{y}{x})

\theta={{\tan}^{-1}}(\frac{5}{3})

\theta=1.03 rad

Las coordenadas del punto son (5.83, 1.03 rad).

Únete a nuestros cursos interactivos o practica con nuestros generadores de problemas

EJERCICIO 2

Tenemos al punto (-2, -6) en coordenadas cartesianas. ¿Cuál es su equivalencia en coordenadas polares?

Reconocemos a los valores x=-2,~y=-6. Encontramos a los valores de r y de θ usando las fórmulas dadas arriba. Entonces, el valor de r es:

r=\sqrt{{{x}^2}+{{y}^2}}

r=\sqrt{{{(-2)}^2}+{{(-6)}^2}}

r=\sqrt{4+36}

r=\sqrt{40}

r=6.32

El ángulo θ es:

\theta={{\tan}^{-1}}(\frac{y}{x})

\theta={{\tan}^{-1}}(\frac{-6}{-2})

\theta=1.25 rad

En este caso, el componente x y el componente y son negativos, por lo que el punto está en el tercer cuadrante. Esto significa que tenemos que sumar π al ángulo dado. Entonces, el ángulo correcto es \theta=1.25+\pi=4.39 rad.

Las coordenadas del punto son (6.32, 4.39 rad).


Véase también

¿Interesado en aprender más sobre coordenadas polares y otros sistemas? Mira estas páginas:

Aprende matemáticas con nuestros recursos adicionales en varios temas diferentes

Conoce Más