Los sistemas de coordenadas son simplemente maneras de definir a un punto en el espacio. El sistema cartesiano de coordenadas, que tiene la forma (x, y), es el sistema de coordenadas más usado. Sin embargo, no siempre es el sistema de coordenadas más conveniente. Un sistema alterno es el sistema de coordenadas polares, el cual tiene la forma (r, θ). En este sistema, r representa a la distancia desde el origen hasta el punto y θ representa al ángulo formado con respecto al eje x.
A continuación, conoceremos cómo usar este sistema de coordenadas. También, aprenderemos a convertir de coordenadas cartesianas a polares y viceversa.
¿Qué son las coordenadas polares?
Las coordenadas polares son un sistema de coordenadas alterno al sistema cartesiano. Las coordenadas polares tienen la forma (r, θ), en donde, r es la distancia desde el origen hasta el punto y θ es el ángulo formado con respecto al eje x.
Este sistema de coordenadas puede resultar más conveniente en el cálculo de las ecuaciones de movimiento de varios sistemas mecánicos. Muchas veces tenemos objetos que se mueven en círculos y el uso de coordenadas polares puede simplificar las ecuaciones usadas.
Ejemplos de coordenadas polares
Un punto en coordenadas polares puede ser graficado al medir la distancia desde el origen y medir el ángulo desde el eje x. El siguiente diagrama representa al punto $latex (4, \frac{\pi}{3})$.
El valor de r puede ser tanto positivo como negativo. Por ejemplo, abajo tenemos a la gráfica de los puntos $latex (4, \frac{\pi}{3})$ y $latex (-4, \frac{\pi}{3})$.
Podemos ver que, si es que r es positivo, el punto está ubicado en el mismo cuadrante que el ángulo. Por otra parte, si es que r es negativo, el punto se ubica en el cuadrante opuesto al ángulo.
Una diferencia importante entre las coordenadas cartesianas y las coordenadas polares es que, en las coordenadas cartesianas existe un solo conjunto de coordenadas para cada punto.
Por otra parte, en las coordenadas polares, existe un número infinito de coordenadas para cada punto. Si es que sumamos o restamos 2π, obtenemos un ángulo equivalente. Por ejemplo, las siguientes coordenadas representan al mismo punto:
$latex (4, \frac{\pi}{3})=(4, -\frac{5\pi}{3})=(-4, \frac{4\pi}{3})=(-4, -\frac{2\pi}{3})$
Fórmulas de conversión de polar a cartesiano
Podemos obtener las fórmulas de conversión de polar a cartesiano usando el siguiente diagrama:
Usando el diagrama, fácilmente podemos ver que el componente x es encontrado usando el coseno del ángulo y el componente y es encontrado usando el seno del ángulo:
| $latex x=r~\cos(\theta)$ $latex y=r~\sin(\theta)$ |
EJERCICIO 1
Tenemos las coordenadas polares $latex (6, \frac{2\pi}{3})$. ¿Cuál es su equivalente en coordenadas cartesianas?
Solución
Tenemos los valores $latex r=6, ~\theta=\frac{2\pi}{3}$. Usando a estos valores junto con las fórmulas de conversión, tenemos:
$latex x=6 \cos(\frac{2\pi}{3})$
$latex x=-3$
$latex y=6 \sin(\frac{2\pi}{3})$
$latex y=5.2$
Las coordenadas cartesianas son (-3, 5.2).
EJERCICIO 2
Si es que tenemos las coordenadas polares $latex (5, \frac{5\pi}{4})$, ¿cuál es su equivalente en coordenadas cartesianas?
Solución
Reconocemos los valores $latex r=5, ~\theta=\frac{5\pi}{4}$. Tenemos que encontrar a los valores de x y y usando estos valores y las fórmulas dadas arriba:
$latex x=5 \cos(\frac{5\pi}{4})$
$latex x=-3.54$
$latex y=5 \sin(\frac{5\pi}{4})$
$latex y=3.54$
Las coordenadas cartesianas son (-3.54, 3.54).
Fórmulas de conversión de cartesiano a polar
Vamos a usar el mismo diagrama para obtener las fórmulas de conversión de cartesiano a polar:
Usando el triángulo rectángulo, podemos ver que r es igual a la hipotenusa y x, y son los catetos. Entonces, podemos usar el teorema de Pitágoras para encontrar el valor de r:
$latex {{r}^2}={{x}^2}+{{y}^2}$
| $latex r=\sqrt{{{x}^2}+{{y}^2}}$ |
Encontramos al ángulo θ usando la tangente inversa. La tangente de un ángulo es igual al lado opuesto dividido por el lado adyacente. En este caso, el lado opuesto es y y el lado adyacente es x. Entonces, tenemos:
| $latex \theta=\tan^{-1}(\frac{y}{x})$ |
Debemos tener cuidado con el ángulo, ya que la tangente inversa tiene un rango que va desde $latex -\frac{\pi}{2}$ hasta $latex \frac{\pi}{2}$. Debido a esto, la calculadora puede darnos un valor incorrecto.
Para corregir esto, sumamos 180° o π si es que el punto está en el segundo y tercer cuadrantes y sumamos 360° o 2π si es que el punto está en el cuarto cuadrante. Si es que el punto está en el primer cuadrante, simplemente usamos el ángulo dado por la calculadora.
EJERCICIO 1
Si es que tenemos al punto (3, 5) en coordenadas cartesianas, ¿cuáles son sus coordenadas polares?
Solución
Tenemos los valores $latex x=3,~y=5$. Usamos a estos valores junto con las fórmulas de conversión para obtener los valores de r y de θ. Entonces, el valor de r es:
$latex r=\sqrt{{{x}^2}+{{y}^2}}$
$latex r=\sqrt{{{3}^2}+{{5}^2}}$
$latex r=\sqrt{9+25}$
$latex r=\sqrt{34}$
$latex r=5.83$
El ángulo θ es:
$latex \theta={{\tan}^{-1}}(\frac{y}{x})$
$latex \theta={{\tan}^{-1}}(\frac{5}{3})$
$latex \theta=1.03$ rad
Las coordenadas del punto son (5.83, 1.03 rad).
EJERCICIO 2
Tenemos al punto (-2, -6) en coordenadas cartesianas. ¿Cuál es su equivalencia en coordenadas polares?
Solución
Reconocemos a los valores $latex x=-2,~y=-6$. Encontramos a los valores de r y de θ usando las fórmulas dadas arriba. Entonces, el valor de r es:
$latex r=\sqrt{{{x}^2}+{{y}^2}}$
$latex r=\sqrt{{{(-2)}^2}+{{(-6)}^2}}$
$latex r=\sqrt{4+36}$
$latex r=\sqrt{40}$
$latex r=6.32$
El ángulo θ es:
$latex \theta={{\tan}^{-1}}(\frac{y}{x})$
$latex \theta={{\tan}^{-1}}(\frac{-6}{-2})$
$latex \theta=1.25$ rad
En este caso, el componente x y el componente y son negativos, por lo que el punto está en el tercer cuadrante. Esto significa que tenemos que sumar π al ángulo dado. Entonces, el ángulo correcto es $latex \theta=1.25+\pi=4.39$ rad.
Las coordenadas del punto son (6.32, 4.39 rad).
Véase también
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Jefferson Huera Guzmán
Jefferson es el autor principal y administrador de Neurochispas.com. Los contenidos interactivos de Matemáticas y Física que he creado han ayudado a muchos estudiantes.
