Las coordenadas polares son escritas de la forma (r, θ), en donde, r es la distancia y θ es el ángulo. Estas coordenadas pueden ser relacionadas con las coordenadas rectangulares o cartesianas usando trigonometría, un triángulo rectángulo y el teorema de Pitágoras. Resulta que usamos la función tangente para encontrar al ángulo y el teorema de Pitágoras para encontrar a la distancia, r.

A continuación, conoceremos las fórmulas que podemos usar para transformar de coordenadas rectangulares a polares. También, resolveremos algunos ejercicios de práctica para aplicar las fórmulas aprendidas.

TRIGONOMETRÍA
coordenadas rectangulares a polares

Relevante para

Aprender a transformar de coordenadas rectangulares a polares.

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coordenadas rectangulares a polares

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¿Cómo transformar de coordenadas rectangulares a coordenadas polares?

Recordamos que las coordenadas rectangulares son escritas de la forma (x, y) y las coordenadas polares son escritas de la forma (r, \theta), en donde, r es la distancia desde el origen hasta el punto y θ es el ángulo formado por la línea y el eje x. Estas coordenadas son relacionadas usando trigonometría.

Observemos el siguiente diagrama:

Coordenadas polares 1

Usando el triángulo rectángulo, podemos obtener relaciones para las coordenadas polares en términos de las coordenadas rectangulares. Observamos que las coordenadas en x forman la base del triángulo rectángulo y las coordenadas en y forman la altura.

Además, vemos que la distancia corresponde a la hipotenusa del triángulo. Entonces, podemos usar el teorema de Pitágoras para encontrar la longitud de la hipotenusa:

{{r}^2}={{x}^2}+{{y}^2}

r=\sqrt{{{x}^2}+{{y}^2}}

El ángulo θ puede ser encontrado usando la función tangente. Recordemos que la tangente de un ángulo es igual al lado opuesto dividido por el lado adyacente. El lado opuesto es el componente y y el lado adyacente es el componente x. Entonces, tenemos:

\theta={{\tan}^{-1}(\frac{y}{x})

Debido a que el rango de la función tangente inversa va desde -\frac{\pi}{2} hasta \frac{\pi}{2}, esto no cubre los cuatro cuadrantes del plano cartesiano, por lo que muchas veces, la calculadora puede dar el valor incorrecto de {{\tan}^{-1}}.

Esto depende en el cuadrante en el que se ubica el punto. Podemos usar lo siguiente para arreglar esto:

CuadranteValor de {{\tan}^{-1}}
IUsamos el valor de la calculadora
IISumamos 180° al valor de la calculadora
IIISumamos 180° al valor de la calculadora
IVSumamos 360° al valor de la calculadora

Ejercicios de coordenadas rectangulares a polares resueltos

Lo aprendido sobre la transformación de coordenadas rectangulares a coordenadas polares es usado para resolver los siguientes ejercicios. Intenta resolver los ejercicios tú mismo antes de mirar la respuesta.

EJERCICIO 1

Si es que tenemos las coordenadas rectangulares (3, 4), ¿cuál es su equivalente en coordenadas polares?

Tenemos los valores x=3, ~y=4. Usamos las fórmulas dadas arriba junto con estos valores para encontrar las coordenadas polares. Entonces, el valor de r es encontrado usando el teorema de Pitágoras:

r=\sqrt{{{x}^2}+{{y}^2}}

r=\sqrt{{{3}^2}+{{4}^2}}

r=\sqrt{9+16}

r=\sqrt{25}

r=5

Ahora, encontramos el valor de θ usando la tangente inversa:

\theta={{\tan}^{-1}}(\frac{y}{x})

\theta={{\tan}^{-1}}(\frac{4}{3})

\theta=0.93 rad

Tanto el componente en x como el componente en son positivos, por lo que el punto está en el primer cuadrante. Esto significa que el ángulo obtenido es el correcto.

Las coordenadas polares son (5, 0.93 rad).

EJERCICIO 2

Tenemos las coordenadas rectangulares (-1, 3). ¿Cuál es su equivalente en coordenadas polares?

Podemos observar los valores x=-1, ~y=3. Encontramos el valor de r usando el teorema de Pitágoras junto con los valores dados:

r=\sqrt{{{x}^2}+{{y}^2}}

r=\sqrt{{{(-1)}^2}+{{3}^2}}

r=\sqrt{1+9}

r=\sqrt{10}

Para encontrar el valor de θ, usamos la tangente inversa:

\theta={{\tan}^{-1}}(\frac{y}{x})

\theta={{\tan}^{-1}}(\frac{3}{-1})

\theta=-1.25 rad

El componente en x es negativo y el componente en es positivo, por lo que el punto está en el segundo cuadrante. Esto significa que tenemos que sumar π al ángulo obtenido. El ángulo correcto es \theta=-1.25+\pi=1.89 rad.

Las coordenadas polares son (\sqrt{10}, 1.89 rad).

EJERCICIO 3

Si es que tenemos las coordenadas cartesianas (-3, -9), ¿cuáles son las coordenadas polares?

Tenemos los valores x=-3, ~y=-9. El valor de r es encontrado usando el teorema de Pitágoras:

r=\sqrt{{{x}^2}+{{y}^2}}

r=\sqrt{{{(-3)}^2}+{{(-9)}^2}}

r=\sqrt{9+81}

r=\sqrt{90}

r=3\sqrt{10}

El valor de θ es:

\theta={{\tan}^{-1}}(\frac{y}{x})

\theta={{\tan}^{-1}}(\frac{-9}{-3})

\theta=1.25 rad

Tanto el componente en x como el componente en son negativos, por lo que el punto está en el tercer cuadrante. Esto significa que tenemos que sumar π al ángulo obtenido. El ángulo correcto es \theta=1.25+\pi=4.39 rad.

Las coordenadas polares son (3\sqrt{10}, 1.25 rad).

EJERCICIO 4

Un punto está definido por (4, -5) en coordenadas rectangulares. ¿Cómo podemos definir al punto en coordenadas polares?

Podemos extraer los valores x=4, ~y=-5. Usamos estos valores y el teorema de Pitágoras para encontrar el valor de r:

r=\sqrt{{{x}^2}+{{y}^2}}

r=\sqrt{{{4}^2}+{{(-5)}^2}}

r=\sqrt{16+25}

r=\sqrt{41}

Ahora, usamos la tangente inversa para encontrar el valor de θ:

\theta={{\tan}^{-1}}(\frac{y}{x})

\theta={{\tan}^{-1}}(\frac{4}{-5})

\theta=-0.67 rad

El componente en x es positivo y el componente en es negativo, por lo que el punto está en el cuarto cuadrante. Esto significa que tenemos que sumar 2π al ángulo obtenido. El ángulo correcto es \theta=-0.67+2\pi=5.61 rad.

Las coordenadas polares son (\sqrt{41}, -0.67 rad).

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Ejercicios de coordenadas rectangulares a polares para resolver

Resuelve los siguientes ejercicios usando las fórmulas vistas arriba para transformar de coordenadas rectangulares a polares. Si necesitas ayuda con esto, puedes mirar los ejercicios resueltos de arriba.

Si es que tenemos las coordenadas rectangulares (1, 3), ¿cuál es su equivalente en polares?

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Tenemos las coordenadas rectangulares (-4, 2). ¿Cuál es su equivalente en coordenadas polares?

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¿Cuáles son las coordenadas polares del punto rectangular (-3, -8)?

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Si es que tenemos las coordenadas rectangulares (5, -2), ¿cuál es su equivalente en polares?

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Véase también

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