Coordenadas Rectangulares a Polares

Las coordenadas polares son escritas de la forma (r, θ), en donde, r es la distancia y θ es el ángulo. Estas coordenadas pueden ser relacionadas con las coordenadas rectangulares o cartesianas usando trigonometría, un triángulo rectángulo y el teorema de Pitágoras. Resulta que usamos la función tangente para encontrar al ángulo y el teorema de Pitágoras para encontrar a la distancia, r.

A continuación, conoceremos las fórmulas que podemos usar para transformar de coordenadas rectangulares a polares. También, resolveremos algunos ejercicios de práctica para aplicar las fórmulas aprendidas.

TRIGONOMETRÍA

Relevante para…

Aprender a transformar de coordenadas rectangulares a polares.

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TRIGONOMETRÍA

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¿Cómo transformar de coordenadas rectangulares a coordenadas polares?

Recordamos que las coordenadas rectangulares son escritas de la forma $(x, y)$ y las coordenadas polares son escritas de la forma $(r, \theta)$ , en donde, r es la distancia desde el origen hasta el punto y θ es el ángulo formado por la línea y el eje x. Estas coordenadas son relacionadas usando trigonometría.

Observemos el siguiente diagrama:

Usando el triángulo rectángulo, podemos obtener relaciones para las coordenadas polares en términos de las coordenadas rectangulares. Observamos que las coordenadas en x forman la base del triángulo rectángulo y las coordenadas en y forman la altura.

Además, vemos que la distancia r corresponde a la hipotenusa del triángulo. Entonces, podemos usar el teorema de Pitágoras para encontrar la longitud de la hipotenusa:

${{r}^2}={{x}^2}+{{y}^2}$

El ángulo θ puede ser encontrado usando la función tangente. Recordemos que la tangente de un ángulo es igual al lado opuesto dividido por el lado adyacente. El lado opuesto es el componente y y el lado adyacente es el componente x. Entonces, tenemos:

Debido a que el rango de la función tangente inversa va desde $-\frac{\pi}{2}$ hasta $\frac{\pi}{2}$ , esto no cubre los cuatro cuadrantes del plano cartesiano, por lo que muchas veces, la calculadora puede dar el valor incorrecto de ${{\tan}^{-1}}$ .

Esto depende en el cuadrante en el que se ubica el punto. Podemos usar lo siguiente para arreglar esto:

Cuadrante	Valor de ${{\tan}^{-1}}$
I	Usamos el valor de la calculadora
II	Sumamos 180° al valor de la calculadora
III	Sumamos 180° al valor de la calculadora
IV	Sumamos 360° al valor de la calculadora

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Ejercicios de coordenadas rectangulares a polares resueltos

Lo aprendido sobre la transformación de coordenadas rectangulares a coordenadas polares es usado para resolver los siguientes ejercicios. Intenta resolver los ejercicios tú mismo antes de mirar la respuesta.

EJERCICIO 1

Si es que tenemos las coordenadas rectangulares (3, 4), ¿cuál es su equivalente en coordenadas polares?

Solución

Tenemos los valores $x=3, ~y=4$ . Usamos las fórmulas dadas arriba junto con estos valores para encontrar las coordenadas polares. Entonces, el valor de r es encontrado usando el teorema de Pitágoras:

$r=\sqrt{{{x}^2}+{{y}^2}}$

$r=\sqrt{{{3}^2}+{{4}^2}}$

$r=\sqrt{9+16}$

$r=\sqrt{25}$

$r=5$

Ahora, encontramos el valor de θ usando la tangente inversa:

$\theta={{\tan}^{-1}}(\frac{y}{x})$

$\theta={{\tan}^{-1}}(\frac{4}{3})$

$\theta=0.93$ rad

Tanto el componente en x como el componente en y son positivos, por lo que el punto está en el primer cuadrante. Esto significa que el ángulo obtenido es el correcto.

Las coordenadas polares son (5, 0.93 rad).

EJERCICIO 2

Tenemos las coordenadas rectangulares (-1, 3). ¿Cuál es su equivalente en coordenadas polares?

Solución

Podemos observar los valores $x=-1, ~y=3$ . Encontramos el valor de r usando el teorema de Pitágoras junto con los valores dados:

$r=\sqrt{{{x}^2}+{{y}^2}}$

$r=\sqrt{{{(-1)}^2}+{{3}^2}}$

$r=\sqrt{1+9}$

$r=\sqrt{10}$

Para encontrar el valor de θ, usamos la tangente inversa:

$\theta={{\tan}^{-1}}(\frac{y}{x})$

$\theta={{\tan}^{-1}}(\frac{3}{-1})$

$\theta=-1.25$ rad

El componente en x es negativo y el componente en y es positivo, por lo que el punto está en el segundo cuadrante. Esto significa que tenemos que sumar π al ángulo obtenido. El ángulo correcto es $\theta=-1.25+\pi=1.89$ rad.

Las coordenadas polares son ( $\sqrt{10}$ , 1.89 rad).

EJERCICIO 3

Si es que tenemos las coordenadas cartesianas (-3, -9), ¿cuáles son las coordenadas polares?

Solución

Tenemos los valores $x=-3, ~y=-9$ . El valor de r es encontrado usando el teorema de Pitágoras:

$r=\sqrt{{{x}^2}+{{y}^2}}$

$r=\sqrt{{{(-3)}^2}+{{(-9)}^2}}$

$r=\sqrt{9+81}$

$r=\sqrt{90}$

$r=3\sqrt{10}$

El valor de θ es:

$\theta={{\tan}^{-1}}(\frac{y}{x})$

$\theta={{\tan}^{-1}}(\frac{-9}{-3})$

$\theta=1.25$ rad

Tanto el componente en x como el componente en y son negativos, por lo que el punto está en el tercer cuadrante. Esto significa que tenemos que sumar π al ángulo obtenido. El ángulo correcto es $\theta=1.25+\pi=4.39$ rad.

Las coordenadas polares son ( $3\sqrt{10}$ , 1.25 rad).

EJERCICIO 4

Un punto está definido por (4, -5) en coordenadas rectangulares. ¿Cómo podemos definir al punto en coordenadas polares?

Solución

Podemos extraer los valores $x=4, ~y=-5$ . Usamos estos valores y el teorema de Pitágoras para encontrar el valor de r:

$r=\sqrt{{{x}^2}+{{y}^2}}$

$r=\sqrt{{{4}^2}+{{(-5)}^2}}$

$r=\sqrt{16+25}$

$r=\sqrt{41}$

Ahora, usamos la tangente inversa para encontrar el valor de θ:

$\theta={{\tan}^{-1}}(\frac{y}{x})$

$\theta={{\tan}^{-1}}(\frac{4}{-5})$

$\theta=-0.67$ rad

El componente en x es positivo y el componente en y es negativo, por lo que el punto está en el cuarto cuadrante. Esto significa que tenemos que sumar 2π al ángulo obtenido. El ángulo correcto es $\theta=-0.67+2\pi=5.61$ rad.

Las coordenadas polares son ( $\sqrt{41}$ , -0.67 rad).

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Ejercicios de coordenadas rectangulares a polares para resolver

Resuelve los siguientes ejercicios usando las fórmulas vistas arriba para transformar de coordenadas rectangulares a polares. Si necesitas ayuda con esto, puedes mirar los ejercicios resueltos de arriba.