Las coordenadas polares son definidas usando la distancia, r, y al ángulo, θ. Por otra parte las coordenadas rectangulares, también conocidas como coordenadas cartesianas, son definidas por x y por y. Podemos encontrar ecuaciones que relacionen a estas coordenadas usando un triángulo rectángulo y las funciones trigonométricas seno y coseno.
A continuación, conoceremos las fórmulas que podemos usar para transformar de coordenadas polares a rectangulares. Luego, aplicaremos estas fórmulas al resolver algunos ejercicios de práctica.
TRIGONOMETRÍA
Relevante para…
Aprender a transformar de coordenadas polares a rectangulares.
TRIGONOMETRÍA
Relevante para…
Aprender a transformar de coordenadas polares a rectangulares.
¿Cómo transformar de coordenadas polares a coordenadas rectangulares?
Las coordenadas polares tienen la forma $latex (r, \theta)$, en donde, r es la distancia del punto desde el origen y θ es el ángulo formado por la línea y el eje x. Las coordenadas rectangulares o coordenadas cartesianas tienen la forma $latex (x, y)$.
Para transformar de coordenadas polares a coordenadas rectangulares, usamos trigonometría y relacionamos a estas dos coordenadas.
Consideremos el siguiente diagrama:
Claramente, vemos que podemos encontrar las coordenadas x usando la función coseno y podemos encontrar las coordenadas en y usando la función seno. Entonces, tenemos las fórmulas:
| $latex x=r~\cos(\theta)$ $latex y=r~\sin(\theta)$ |
Ejercicios de coordenadas polares a rectangulares resueltos
Los siguientes ejercicios son resueltos aplicando las fórmulas de transformación de coordenadas polares a coordenadas rectangulares. Intenta resolver los ejercicios tú mismo antes de mirar la respuesta.
EJERCICIO 1
Si es que tenemos a un punto con las coordenadas polares $latex (5, \frac{\pi}{3})$, ¿cuáles son sus coordenadas rectangulares?
Solución
Podemos observar los valores $latex r=5$ y $latex \theta=\frac{\pi}{3}$. Usamos las fórmulas encontradas anteriormente para convertir a coordenadas rectangulares. Entonces, el valor de x es encontrado usando la función coseno:
$latex x=r~\cos(\theta)$
$latex x=5~\cos(\frac{\pi}{3})$
$latex x=5(0.5)$
$latex x=2.5$
El valor de y es encontrado usando la función seno:
$latex y=r~\sin(\theta)$
$latex y=5~\sin(\frac{\pi}{3})$
$latex y=5(0.866)$
$latex y=4.33$
Entonces, las coordenadas rectangulares son (2.5, 4.33).
EJERCICIO 2
Un punto tiene las coordenadas polares $latex (12, \frac{4\pi}{3})$. ¿Cuáles son sus coordenadas rectangulares?
Solución
Empezamos reconociendo a los valores $latex r=12$ y $latex \theta=\frac{4\pi}{3}$. Convertimos estas coordenadas aplicando las fórmulas vistas arriba. Entonces, encontramos al valor de x usando la función coseno:
$latex x=r~\cos(\theta)$
$latex x=12~\cos(\frac{4\pi}{3})$
$latex x=12(-0.5)$
$latex x=-6$
Ahora, encontramos al valor de y usando la función seno:
$latex y=r~\sin(\theta)$
$latex y=12~\sin(\frac{4\pi}{3})$
$latex y=12(-0.866)$
$latex y=-10.4$
Entonces, las coordenadas rectangulares son (-6, -10.4).
EJERCICIO 3
¿Cuáles son las coordenadas rectangulares del punto $latex (11, \frac{5\pi}{4})$ que está escrito en coordenadas polares?
Solución
De las coordenadas dadas, tenemos los valores $latex r=11$ y $latex \theta=\frac{5\pi}{4}$. Sustituimos a estos valores en las fórmulas de transformación para encontrar las coordenadas rectangulares. Entonces, el valor de x es encontrado usando la función coseno:
$latex x=r~\cos(\theta)$
$latex x=11~\cos(\frac{5\pi}{4})$
$latex x=11(-0.707)$
$latex x=-7.78$
El valor de y es encontrado usando la función seno:
$latex y=r~\sin(\theta)$
$latex y=11~\sin(\frac{5\pi}{4})$
$latex y=11(-0.707)$
$latex y=-7.78$
Entonces, las coordenadas rectangulares son (-7.78, -7.78).
EJERCICIO 4
Si es que un punto tiene las coordenadas polares $latex (20, \frac{\pi}{5})$, ¿cuáles son sus coordenadas rectangulares?
Solución
Tenemos los valores $latex r=20$ y $latex \theta=\frac{\pi}{5}$. Encontramos al valor de x al usar la función coseno y sustituir estos valores:
$latex x=r~\cos(\theta)$
$latex x=20~\cos(\frac{\pi}{5})$
$latex x=20(0.809)$
$latex x=16.18$
Encontramos al valor de y usando la función seno:
$latex y=r~\sin(\theta)$
$latex y=20~\sin(\frac{\pi}{5})$
$latex y=20(0.588)$
$latex y=11.76$
Entonces, las coordenadas rectangulares son (16.18, 11.76).
Ejercicios de coordenadas polares a rectangulares para resolver
Practica lo aprendido sobre la transformación de coordenadas polares a rectangulares al resolver los siguientes ejercicios. Si necesitas ayuda con esto, puedes mirar los ejercicios resueltos de arriba.
Véase también
¿Interesado en aprender más sobre coordenadas polares y otros sistemas? Mira estas páginas:
Jefferson Huera Guzmán
Jefferson es el autor principal y administrador de Neurochispas.com. Los contenidos interactivos de Matemáticas y Física que he creado han ayudado a muchos estudiantes.
