Coordenadas Polares a Rectangulares

Las coordenadas polares son definidas usando la distancia, r, y al ángulo, θ. Por otra parte las coordenadas rectangulares, también conocidas como coordenadas cartesianas, son definidas por y por y. Podemos encontrar ecuaciones que relacionen a estas coordenadas usando un triángulo rectángulo y las funciones trigonométricas seno y coseno.

A continuación, conoceremos las fórmulas que podemos usar para transformar de coordenadas polares a rectangulares. Luego, aplicaremos estas fórmulas al resolver algunos ejercicios de práctica.

TRIGONOMETRÍA
Coordenadas polares 1

Relevante para

Aprender a transformar de coordenadas polares a rectangulares.

Ver ejercicios

TRIGONOMETRÍA
Coordenadas polares 1

Relevante para

Aprender a transformar de coordenadas polares a rectangulares.

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¿Cómo transformar de coordenadas polares a coordenadas rectangulares?

Las coordenadas polares tienen la forma $latex (r, \theta)$, en donde, r es la distancia del punto desde el origen y θ es el ángulo formado por la línea y el eje x. Las coordenadas rectangulares o coordenadas cartesianas tienen la forma $latex (x, y)$.

Para transformar de coordenadas polares a coordenadas rectangulares, usamos trigonometría y relacionamos a estas dos coordenadas.

Consideremos el siguiente diagrama:

Coordenadas polares 1

Claramente, vemos que podemos encontrar las coordenadas x usando la función coseno y podemos encontrar las coordenadas en usando la función seno. Entonces, tenemos las fórmulas:

$latex x=r~\cos(\theta)$

$latex y=r~\sin(\theta)$

Ejercicios de coordenadas polares a rectangulares resueltos

Los siguientes ejercicios son resueltos aplicando las fórmulas de transformación de coordenadas polares a coordenadas rectangulares. Intenta resolver los ejercicios tú mismo antes de mirar la respuesta.

EJERCICIO 1

Si es que tenemos a un punto con las coordenadas polares $latex (5, \frac{\pi}{3})$, ¿cuáles son sus coordenadas rectangulares?

Podemos observar los valores $latex r=5$ y $latex \theta=\frac{\pi}{3}$. Usamos las fórmulas encontradas anteriormente para convertir a coordenadas rectangulares. Entonces, el valor de x es encontrado usando la función coseno:

$latex x=r~\cos(\theta)$

$latex x=5~\cos(\frac{\pi}{3})$

$latex x=5(0.5)$

$latex x=2.5$

El valor de y es encontrado usando la función seno:

$latex y=r~\sin(\theta)$

$latex y=5~\sin(\frac{\pi}{3})$

$latex y=5(0.866)$

$latex y=4.33$

Entonces, las coordenadas rectangulares son (2.5, 4.33).

EJERCICIO 2

Un punto tiene las coordenadas polares $latex (12, \frac{4\pi}{3})$. ¿Cuáles son sus coordenadas rectangulares?

Empezamos reconociendo a los valores $latex r=12$ y $latex \theta=\frac{4\pi}{3}$. Convertimos estas coordenadas aplicando las fórmulas vistas arriba. Entonces, encontramos al valor de x usando la función coseno:

$latex x=r~\cos(\theta)$

$latex x=12~\cos(\frac{4\pi}{3})$

$latex x=12(-0.5)$

$latex x=-6$

Ahora, encontramos al valor de y usando la función seno:

$latex y=r~\sin(\theta)$

$latex y=12~\sin(\frac{4\pi}{3})$

$latex y=12(-0.866)$

$latex y=-10.4$

Entonces, las coordenadas rectangulares son (-6, -10.4).

EJERCICIO 3

¿Cuáles son las coordenadas rectangulares del punto $latex (11, \frac{5\pi}{4})$ que está escrito en coordenadas polares?

De las coordenadas dadas, tenemos los valores $latex r=11$ y $latex \theta=\frac{5\pi}{4}$. Sustituimos a estos valores en las fórmulas de transformación para encontrar las coordenadas rectangulares. Entonces, el valor de x es encontrado usando la función coseno:

$latex x=r~\cos(\theta)$

$latex x=11~\cos(\frac{5\pi}{4})$

$latex x=11(-0.707)$

$latex x=-7.78$

El valor de y es encontrado usando la función seno:

$latex y=r~\sin(\theta)$

$latex y=11~\sin(\frac{5\pi}{4})$

$latex y=11(-0.707)$

$latex y=-7.78$

Entonces, las coordenadas rectangulares son (-7.78, -7.78).

EJERCICIO 4

Si es que un punto tiene las coordenadas polares $latex (20, \frac{\pi}{5})$, ¿cuáles son sus coordenadas rectangulares?

Tenemos los valores $latex r=20$ y $latex \theta=\frac{\pi}{5}$. Encontramos al valor de x al usar la función coseno y sustituir estos valores:

$latex x=r~\cos(\theta)$

$latex x=20~\cos(\frac{\pi}{5})$

$latex x=20(0.809)$

$latex x=16.18$

Encontramos al valor de y usando la función seno:

$latex y=r~\sin(\theta)$

$latex y=20~\sin(\frac{\pi}{5})$

$latex y=20(0.588)$

$latex y=11.76$

Entonces, las coordenadas rectangulares son (16.18, 11.76).


Ejercicios de coordenadas polares a rectangulares para resolver

Practica lo aprendido sobre la transformación de coordenadas polares a rectangulares al resolver los siguientes ejercicios. Si necesitas ayuda con esto, puedes mirar los ejercicios resueltos de arriba.

Si es que tenemos las coordenadas polares $latex (9, \frac{3\pi}{5})$, ¿cuál es su equivalente en coordenadas rectangulares?

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Un punto tiene las coordenadas polares $latex (15, \frac{4\pi}{5})$, ¿cuál es su equivalente en coordenadas rectangulares?

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¿Cuáles son las coordenadas rectangulares del punto $latex (13, \frac{5\pi}{3})$ escrito en coordenadas polares?

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Si es que tenemos las coordenadas polares $latex (21, \frac{6\pi}{5})$, ¿cuál es su equivalente en coordenadas rectangulares?

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Véase también

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