Coordenadas Polares a Rectangulares

Las coordenadas polares son definidas usando la distancia, r, y al ángulo, θ. Por otra parte las coordenadas rectangulares, también conocidas como coordenadas cartesianas, son definidas por x y por y. Podemos encontrar ecuaciones que relacionen a estas coordenadas usando un triángulo rectángulo y las funciones trigonométricas seno y coseno.

A continuación, conoceremos las fórmulas que podemos usar para transformar de coordenadas polares a rectangulares. Luego, aplicaremos estas fórmulas al resolver algunos ejercicios de práctica.

TRIGONOMETRÍA
Coordenadas polares 1

Relevante para…

Aprender a transformar de coordenadas polares a rectangulares.

Ver ejercicios

TRIGONOMETRÍA
Coordenadas polares 1

Relevante para…

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¿Cómo transformar de coordenadas polares a coordenadas rectangulares?

Las coordenadas polares tienen la forma (r, \theta), en donde, r es la distancia del punto desde el origen y θ es el ángulo formado por la línea y el eje x. Las coordenadas rectangulares o coordenadas cartesianas tienen la forma (x, y).

Para transformar de coordenadas polares a coordenadas rectangulares, usamos trigonometría y relacionamos a estas dos coordenadas.

Consideremos el siguiente diagrama:

Coordenadas polares 1

Claramente, vemos que podemos encontrar las coordenadas x usando la función coseno y podemos encontrar las coordenadas en y usando la función seno. Entonces, tenemos las fórmulas:

x=r~\cos(\theta)

y=r~\sin(\theta)

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Ejercicios de coordenadas polares a rectangulares resueltos

Los siguientes ejercicios son resueltos aplicando las fórmulas de transformación de coordenadas polares a coordenadas rectangulares. Intenta resolver los ejercicios tú mismo antes de mirar la respuesta.

EJERCICIO 1

Si es que tenemos a un punto con las coordenadas polares (5, \frac{\pi}{3}), ¿cuáles son sus coordenadas rectangulares?

Podemos observar los valores r=5 y \theta=\frac{\pi}{3}. Usamos las fórmulas encontradas anteriormente para convertir a coordenadas rectangulares. Entonces, el valor de x es encontrado usando la función coseno:

x=r~\cos(\theta)

x=5~\cos(\frac{\pi}{3})

x=5(0.5)

x=2.5

El valor de y es encontrado usando la función seno:

y=r~\sin(\theta)

y=5~\sin(\frac{\pi}{3})

y=5(0.866)

y=4.33

Entonces, las coordenadas rectangulares son (2.5, 4.33).

EJERCICIO 2

Un punto tiene las coordenadas polares (12, \frac{4\pi}{3}). ¿Cuáles son sus coordenadas rectangulares?

Empezamos reconociendo a los valores r=12 y \theta=\frac{4\pi}{3}. Convertimos estas coordenadas aplicando las fórmulas vistas arriba. Entonces, encontramos al valor de x usando la función coseno:

x=r~\cos(\theta)

x=12~\cos(\frac{4\pi}{3})

x=12(-0.5)

x=-6

Ahora, encontramos al valor de y usando la función seno:

y=r~\sin(\theta)

y=12~\sin(\frac{4\pi}{3})

y=12(-0.866)

y=-10.4

Entonces, las coordenadas rectangulares son (-6, -10.4).

EJERCICIO 3

¿Cuáles son las coordenadas rectangulares del punto (11, \frac{5\pi}{4}) que está escrito en coordenadas polares?

De las coordenadas dadas, tenemos los valores r=11 y \theta=\frac{5\pi}{4}. Sustituimos a estos valores en las fórmulas de transformación para encontrar las coordenadas rectangulares. Entonces, el valor de x es encontrado usando la función coseno:

x=r~\cos(\theta)

x=11~\cos(\frac{5\pi}{4})

x=11(-0.707)

x=-7.78

El valor de y es encontrado usando la función seno:

y=r~\sin(\theta)

y=11~\sin(\frac{5\pi}{4})

y=11(-0.707)

y=-7.78

Entonces, las coordenadas rectangulares son (-7.78, -7.78).

EJERCICIO 4

Si es que un punto tiene las coordenadas polares (20, \frac{\pi}{5}), ¿cuáles son sus coordenadas rectangulares?

Tenemos los valores r=20 y \theta=\frac{\pi}{5}. Encontramos al valor de x al usar la función coseno y sustituir estos valores:

x=r~\cos(\theta)

x=20~\cos(\frac{\pi}{5})

x=20(0.809)

x=16.18

Encontramos al valor de y usando la función seno:

y=r~\sin(\theta)

y=20~\sin(\frac{\pi}{5})

y=20(0.588)

y=11.76

Entonces, las coordenadas rectangulares son (16.18, 11.76).

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Ejercicios de coordenadas polares a rectangulares para resolver

Practica lo aprendido sobre la transformación de coordenadas polares a rectangulares al resolver los siguientes ejercicios. Si necesitas ayuda con esto, puedes mirar los ejercicios resueltos de arriba.

Si es que tenemos las coordenadas polares (9, \frac{3\pi}{5}), ¿cuál es su equivalente en coordenadas rectangulares?

Escoge una respuesta

Un punto tiene las coordenadas polares (15, \frac{4\pi}{5}), ¿cuál es su equivalente en coordenadas rectangulares?

Escoge una respuesta

¿Cuáles son las coordenadas rectangulares del punto (13, \frac{5\pi}{3}) escrito en coordenadas polares?

Escoge una respuesta

Si es que tenemos las coordenadas polares (21, \frac{6\pi}{5}), ¿cuál es su equivalente en coordenadas rectangulares?

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Véase también

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