Las coordenadas esféricas tienen la forma (ρ, θ, φ), en donde, ρ es la distancia desde el origen hasta el punto, θ es el ángulo en el plano xy con respecto al eje x y φ es el ángulo con respecto al eje z. Estas coordenadas pueden ser transformadas a coordenadas cartesianas usando triángulos rectángulos y trigonometría. Usamos las funciones seno y coseno para encontrar los componentes verticales y horizontales y obtener expresiones para x, y, z en términos de ρ, θ, φ.

A continuación, derivaremos las fórmulas que podemos usar para transformar de coordenadas esféricas a cartesianas. Luego, aplicaremos estas fórmulas al resolver algunos ejercicios de práctica.

TRIGONOMETRÍA
coordenadas esfericas y coordenadas cartesianas

Relevante para

Aprender a transformar de coordenadas esféricas a cartesianas.

Ver ejercicios

TRIGONOMETRÍA
coordenadas esfericas y coordenadas cartesianas

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Aprender a transformar de coordenadas esféricas a cartesianas.

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¿Cómo transformar de coordenadas esféricas a coordenadas cartesianas?

Las coordenadas esféricas tienen la forma (ρ, θ, φ). En esta forma, ρ representa a la distancia desde el origen hasta el punto, θ representa al ángulo en el plano xy con respecto al eje x y φ representa al ángulo con respecto al eje z. Por otra parte, las coordenadas cartesianas tridimensionales tienen la forma (x, y, z).

coordenadas esfericas y coordenadas cartesianas

Para transformar de coordenadas esféricas a cartesianas, tenemos que usar triángulos rectángulos y trigonometría. Para facilitar la derivación de las fórmulas de transformación, podemos empezar transformando de coordenadas esféricas a cilíndricas y luego, podremos transformar de coordenadas cilíndricas a cartesianas.

Entonces, usamos el siguiente diagrama:

diagrma de coordenadas esfericas y cartesianas

Sabemos que el ángulo entre el eje z y ρ es igual a φ. Usando un poco de geometría, también sabemos que φ es el ángulo entre ρ y el lado vertical del triángulo. Luego, usando trigonometría, tenemos:

z=\rho \cos(\phi)

r=\rho \sin(\phi)

También tenemos \theta= \theta. Estas son las fórmulas que nos permiten convertir de coordenadas esféricas a cilíndricas. Ahora, podemos usar las fórmulas de transformación de coordenadas cilíndricas a cartesianas:

x=r~\cos(\theta)

y=r~\sin(\theta)

z=z~~~~~

Usando estos dos conjuntos de ecuaciones, podemos obtener las fórmulas de transformación de coordenadas esféricas a cartesianas:

x=\rho \sin(\phi)\cos(\theta)

y=\rho \sin(\phi)\sin(\theta)

z=\rho \cos(\phi)~~

Ejercicios de coordenadas esféricas a cartesianas resueltos

Los siguientes ejercicios son resueltos usando las fórmulas de conversión de coordenadas esféricas a cartesianas. Cada ejercicio tiene su respectiva solución, pero es recomendable que intentes resolver los ejercicios tú mismo antes de mirar la respuesta.

EJERCICIO 1

Tenemos al punto (10, \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}) en coordenadas esféricas. ¿Cuál es su equivalencia en coordenadas cartesianas?

Tenemos los valores \rho=10,~\theta=\frac{\pi}{4},~\phi=\frac{\pi}{4}. Ahora, usamos estos valores junto con las fórmulas vistas arriba para encontrar los valores de x y y. Entonces, el valor de x es:

x=\rho~\sin(\phi)\cos(\theta)

x=10~\sin(\frac{\pi}{4})\cos(\frac{\pi}{4})

x=14.14

El valor de y es:

y=\rho~\sin(\phi)\sin(\theta)

y=10~\sin(\frac{\pi}{4})\sin(\frac{\pi}{4})

y=14.14

El valor de z es:

z=\rho~\cos(\phi)

z=10~\cos(\frac{\pi}{4})

z=7.07

Las coordenadas cartesianas del punto son (14.14, 14.14, 7.07).

EJERCICIO 2

El punto (5, \frac{3\pi}{2}, \frac{\pi}{3}) está en coordenadas esféricas. ¿Cuál es su equivalencia en coordenadas cartesianas?

Podemos reconocer los valores \rho=5,~\theta=\frac{3\pi}{2},~\phi=\frac{\pi}{3}. Encontramos los valores de x, usando las fórmulas vistas arriba. Empezamos con el valor de x:

x=\rho~\sin(\phi)\cos(\theta)

x=5~\sin(\frac{\pi}{3})\cos(\frac{3\pi}{2})

x=0

El valor de y es:

y=\rho~\sin(\phi)\sin(\theta)

y=5~\sin(\frac{\pi}{3})\sin(\frac{3\pi}{2})

y=-4.33

El valor de z es:

z=\rho~\cos(\phi)

z=10~\cos(\frac{\pi}{3})

z=5

Las coordenadas cartesianas del punto son (0, -4.33, 5).

EJERCICIO 3

Si es que tenemos las coordenadas esféricas (8, \frac{2\pi}{5}, \frac{\pi}{5}), ¿cuál es su equivalencia en coordenadas cartesianas?

Podemos observar los valores \rho=8,~\theta=\frac{2\pi}{5},~\phi=\frac{\pi}{5}. Encontramos los valores de x, y, z al usar las fórmulas de transformación. Entonces, el valor de x es:

x=\rho~\sin(\phi)\cos(\theta)

x=8~\sin(\frac{\pi}{5})\cos(\frac{2\pi}{5})

x=1.45

El componente y es:

y=\rho~\sin(\phi)\sin(\theta)

y=8~\sin(\frac{\pi}{5})\sin(\frac{2\pi}{5})

y=4.47

El componente z es:

z=\rho~\cos(\phi)

z=8~\cos(\frac{\pi}{5})

z=6.47

Las coordenadas cartesianas del punto son (1.45, 4.47, 6.47).

EJERCICIO 4

Tenemos al punto (10, \frac{\pi}{4}, \frac{4\pi}{3}) en coordenadas esféricas. ¿Cuál es su equivalencia en coordenadas cartesianas?

Reconocemos los valores \rho=10,~\theta=\frac{\pi}{4},~\phi=\frac{4\pi}{3}. Usando estos valores junto con las fórmulas de transformación, vamos a encontrar los componentes x, z. Entonces, el componente x es:

x=\rho~\sin(\phi)\cos(\theta)

x=10~\sin(\frac{4\pi}{3})\cos(\frac{\pi}{4})

x=-6.12

El componente y es:

y=\rho~\sin(\phi)\sin(\theta)

y=10~\sin(\frac{4\pi}{3})\sin(\frac{\pi}{4})

y=-6.12

El componente z es:

z=\rho~\cos(\phi)

z=10~\cos(\frac{4\pi}{3})

z=-5

Las coordenadas cartesianas del punto son (-6.12, -6.12, -5).

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Ejercicios de coordenadas esféricas a cartesianas para resolver

Usa las fórmulas de transformación vistas arriba para resolver los siguientes ejercicios y convertir las coordenadas esféricas a coordenadas cartesianas. Si necesitas ayuda con esto, puedes mirar los ejercicios resueltos de arriba.

Si es que tenemos las coordenadas esféricas (4, \frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{5}), ¿cuál es su equivalente en coordenadas cartesianas?

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Tenemos las coordenadas esféricas (6, \frac{5\pi}{3}, \frac{\pi}{4}). ¿Cuál es su equivalente en coordenadas cartesianas?

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¿Cuál es el equivalente en coordenadas cartesianas de las coordenadas esféricas (2, \frac{6\pi}{5}, \frac{2\pi}{5})?

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Si es que tenemos las coordenadas esféricas (6, \frac{3\pi}{4}, \frac{\pi}{2}), ¿cuál es su equivalente en coordenadas cartesianas?

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Véase también

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