Ángulo de inclinación y pendiente – Fórmula y Ejercicios

El ángulo de inclinación de una recta o el ángulo de la pendiente de la recta es el ángulo formado por la recta y su componente horizontal. Para obtener el valor de este ángulo, tenemos que usar trigonometría, específicamente la función tangente. El ángulo puede ser positivo o negativo dependiendo en la dirección en la que sea medido.

A continuación, conoceremos cómo calcular el ángulo de inclinación de una recta. Veremos su fórmula, algunas consideraciones importantes y varios ejercicios resueltos.

GEOMETRÍA
Fórmula del ángulo de inclinación de una recta

Relevante para

Aprender a encontrar el ángulo de inclinación de una recta.

Ver fórmula

GEOMETRÍA
Fórmula del ángulo de inclinación de una recta

Relevante para

Aprender a encontrar el ángulo de inclinación de una recta.

Ver fórmula

Fórmula del ángulo de la inclinación de una recta o de su pendiente

Para encontrar la fórmula del ángulo de la inclinación de una recta, vamos a usar el siguiente diagrama:

Diagrama del ángulo de inclinación de una recta

Podemos ver que el diagrama tiene un triángulo rectángulo ABC formado por los componentes horizontal y vertical de la recta. En el diagrama, θ es el ángulo formado por la recta AB y su componente horizontal.

Usando trigonometría y recordando que la tangente de un ángulo es igual al lado opuesto sobre el lado adyacente, tenemos $latex \tan(\theta)=\frac{BC}{AC}$.

Ahora, usando el diagrama, podemos observar que $latex \frac{BC}{AC}=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}$, lo cual es igual a la pendiente de la recta AB.

Entonces, tenemos lo siguiente:

$$\tan(\theta)=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}$$

$$\theta=\tan^{-1}\left(\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}\right)$$

Observaciones importantes:

  • Si es que $latex m$ es la pendiente de la recta AB, entonces, el ángulo de inclinación de la recta es igual a $latex \tan^{-1}(m)$.
  • Cuando el resultado de $latex \tan^{-1}(m)$ es negativo, el ángulo θ es medido desde la línea horizontal hasta la recta en dirección de las manecillas del reloj.

Ángulo de inclinación de una recta – Ejercicios resueltos

La fórmula del ángulo de inclinación de una recta es usada para resolver los siguientes ejercicios. Intenta resolver los ejercicios tú mismo antes de mirar la solución.

EJERCICIO 1

Encuentra el ángulo formado por la recta que tiene los puntos A=(-7, -5) y B=(5, -3) con respecto a la horizontal.

Obteniendo una gráfica simple, tenemos:

ejercicio 1 de ángulo de inclinacion de una recta

Para encontrar el ángulo θ, vamos a usar la fórmula del ángulo de inclinación de una recta:

$$\theta=\tan^{-1}\left(\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}\right)$$

$$=\tan^{-1}\left(\frac{-3-(-5)}{5-(-7)}\right)$$

$$=\tan^{-1}\left(\frac{-3+5}{5+7}\right)$$

$$=\tan^{-1}\left(\frac{2}{12}\right)$$

$$=\tan^{-1}\left(\frac{1}{6}\right)$$

$$\theta=9.46^{\circ}$$

EJERCICIO 2

Encuentra el ángulo de inclinación de la recta que tiene los puntos A=(5, -4) y B=(-6, 7).

Podemos encontrar el ángulo θ, al usar la fórmula del ángulo de inclinación de una recta con las coordenadas de los dos puntos dados:

$$\theta=\tan^{-1}\left(\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}\right)$$

$$=\tan^{-1}\left(\frac{7-(-4)}{-6-5}\right)$$

$$=\tan^{-1}\left(\frac{7+4}{-6-5}\right)$$

$$=\tan^{-1}\left(\frac{11}{-11}\right)$$

$$=\tan^{-1}\left(-1\right)$$

$$\theta=-45^{\circ}$$

EJERCICIO 3

Una recta pasa por los puntos A=(7, -2) y B=(3, -5). Encuentra el ángulo de la pendiente de AB.

Vamos a encontrar el ángulo θ usando la fórmula del ángulo de inclinación de una recta con las coordenadas de los puntos dados:

$$\theta=\tan^{-1}\left(\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}\right)$$

$$=\tan^{-1}\left(\frac{-5-(-2)}{3-7}\right)$$

$$=\tan^{-1}\left(\frac{-5+2}{3-7}\right)$$

$$=\tan^{-1}\left(\frac{-3}{-4}\right)$$

$$=\tan^{-1}\left(\frac{3}{4}\right)$$

$$\theta=36.9^{\circ}$$

EJERCICIO 4

Determina el ángulo de la pendiente de la recta que pasa por los puntos A=(6, 7) y B=(12, 7).

Usando las coordenadas de los puntos en la fórmula del ángulo de la pendiente, tenemos:

$$\theta=\tan^{-1}\left(\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}\right)$$

$$=\tan^{-1}\left(\frac{7-7}{12-6}\right)$$

$$=\tan^{-1}\left(\frac{0}{6}\right)$$

$$\theta=0^{\circ}$$

Obtuvimos un ángulo igual a 0°. Esto significa que la recta es horizontal.

Mirando las coordenadas en y de ambos puntos, vemos que son iguales. Esto solo sucede cuando una recta es horizontal.

EJERCICIO 5

Encuentra el ángulo de la pendiente de la recta que pasa por los puntos A=(3, 7) y B=(-6, 11).

Podemos encontrar el ángulo de la pendiente al usar la fórmula con las coordenadas de los puntos dados:

$$\theta=\tan^{-1}\left(\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}\right)$$

$$=\tan^{-1}\left(\frac{11-7}{-6-3}\right)$$

$$=\tan^{-1}\left(-\frac{4}{9}\right)$$

$$\theta=-24^{\circ}$$

EJERCICIO 6

Encuentra el ángulo formado por la recta que pasa por los puntos A=(5, -3) y B=(5, 2).

Para encontrar el ángulo θ, usamos las coordenadas de los puntos dados en la fórmula del ángulo de inclinación:

$$\theta=\tan^{-1}\left(\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}\right)$$

$$=\tan^{-1}\left(\frac{2-(-3)}{5-5}\right)$$

$$=\tan^{-1}\left(\frac{-2-3}{5-5}\right)$$

$$=\tan^{-1}\left(\frac{-5}{0}\right)$$

$$=\tan^{-1}\left(\text{infinito}\right)$$

$$\theta=90^{\circ}$$

En este caso, obtuvimos -5/0, lo cual es igual a infinito. Mirando a las coordenadas de x de ambos puntos, vemos que ambas son igual a 5. Esto solo sucede cuando tenemos una recta vertical.

Una recta vertical es perpendicular con la horizontal, por lo que el ángulo es igual a 90°.

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Ángulo de inclinación de una recta – Ejercicios para resolver

Usa la fórmula del ángulo de inclinación de la pendiente de una recta para resolver los siguientes ejercicios.

Encuentra el ángulo de inclinación de la recta que pasa por A=(5, 2) y B=(7, 10).

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¿Cuál es el ángulo de inclinación de la recta que pasa por A=(-3, -2) y B=(4, 8)?

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Encuentra el ángulo de inclinación de la recta que tiene los puntos A=(3, 7) y B=(2, 5).

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¿Cuál es el ángulo de la pendiente de la recta que tiene los puntos A=(3, -3) y B=(5, -4)?

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Encuentra el ángulo de inclinación de la recta que pasa por A=(7, -2) y B=(-3, 5).

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Véase también

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