El ángulo de inclinación de una recta o el ángulo de la pendiente de la recta es el ángulo formado por la recta y su componente horizontal. Para obtener el valor de este ángulo, tenemos que usar trigonometría, específicamente la función tangente. El ángulo puede ser positivo o negativo dependiendo en la dirección en la que sea medido.
A continuación, conoceremos cómo calcular el ángulo de inclinación de una recta. Veremos su fórmula, algunas consideraciones importantes y varios ejercicios resueltos.
Fórmula del ángulo de la inclinación de una recta o de su pendiente
Para encontrar la fórmula del ángulo de la inclinación de una recta, vamos a usar el siguiente diagrama:
Podemos ver que el diagrama tiene un triángulo rectángulo ABC formado por los componentes horizontal y vertical de la recta. En el diagrama, θ es el ángulo formado por la recta AB y su componente horizontal.
Usando trigonometría y recordando que la tangente de un ángulo es igual al lado opuesto sobre el lado adyacente, tenemos $latex \tan(\theta)=\frac{BC}{AC}$.
Ahora, usando el diagrama, podemos observar que $latex \frac{BC}{AC}=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}$, lo cual es igual a la pendiente de la recta AB.
Entonces, tenemos lo siguiente:
$$\tan(\theta)=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}$$
$$\theta=\tan^{-1}\left(\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}\right)$$
Observaciones importantes:
- Si es que $latex m$ es la pendiente de la recta AB, entonces, el ángulo de inclinación de la recta es igual a $latex \tan^{-1}(m)$.
- Cuando el resultado de $latex \tan^{-1}(m)$ es negativo, el ángulo θ es medido desde la línea horizontal hasta la recta en dirección de las manecillas del reloj.
Ángulo de inclinación de una recta – Ejercicios resueltos
La fórmula del ángulo de inclinación de una recta es usada para resolver los siguientes ejercicios. Intenta resolver los ejercicios tú mismo antes de mirar la solución.
EJERCICIO 1
Encuentra el ángulo formado por la recta que tiene los puntos A=(-7, -5) y B=(5, -3) con respecto a la horizontal.
Solución
Obteniendo una gráfica simple, tenemos:
Para encontrar el ángulo θ, vamos a usar la fórmula del ángulo de inclinación de una recta:
$$\theta=\tan^{-1}\left(\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}\right)$$
$$=\tan^{-1}\left(\frac{-3-(-5)}{5-(-7)}\right)$$
$$=\tan^{-1}\left(\frac{-3+5}{5+7}\right)$$
$$=\tan^{-1}\left(\frac{2}{12}\right)$$
$$=\tan^{-1}\left(\frac{1}{6}\right)$$
$$\theta=9.46^{\circ}$$
EJERCICIO 2
Encuentra el ángulo de inclinación de la recta que tiene los puntos A=(5, -4) y B=(-6, 7).
Solución
Podemos encontrar el ángulo θ, al usar la fórmula del ángulo de inclinación de una recta con las coordenadas de los dos puntos dados:
$$\theta=\tan^{-1}\left(\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}\right)$$
$$=\tan^{-1}\left(\frac{7-(-4)}{-6-5}\right)$$
$$=\tan^{-1}\left(\frac{7+4}{-6-5}\right)$$
$$=\tan^{-1}\left(\frac{11}{-11}\right)$$
$$=\tan^{-1}\left(-1\right)$$
$$\theta=-45^{\circ}$$
EJERCICIO 3
Una recta pasa por los puntos A=(7, -2) y B=(3, -5). Encuentra el ángulo de la pendiente de AB.
Solución
Vamos a encontrar el ángulo θ usando la fórmula del ángulo de inclinación de una recta con las coordenadas de los puntos dados:
$$\theta=\tan^{-1}\left(\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}\right)$$
$$=\tan^{-1}\left(\frac{-5-(-2)}{3-7}\right)$$
$$=\tan^{-1}\left(\frac{-5+2}{3-7}\right)$$
$$=\tan^{-1}\left(\frac{-3}{-4}\right)$$
$$=\tan^{-1}\left(\frac{3}{4}\right)$$
$$\theta=36.9^{\circ}$$
EJERCICIO 4
Determina el ángulo de la pendiente de la recta que pasa por los puntos A=(6, 7) y B=(12, 7).
Solución
Usando las coordenadas de los puntos en la fórmula del ángulo de la pendiente, tenemos:
$$\theta=\tan^{-1}\left(\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}\right)$$
$$=\tan^{-1}\left(\frac{7-7}{12-6}\right)$$
$$=\tan^{-1}\left(\frac{0}{6}\right)$$
$$\theta=0^{\circ}$$
Obtuvimos un ángulo igual a 0°. Esto significa que la recta es horizontal.
Mirando las coordenadas en y de ambos puntos, vemos que son iguales. Esto solo sucede cuando una recta es horizontal.
EJERCICIO 5
Encuentra el ángulo de la pendiente de la recta que pasa por los puntos A=(3, 7) y B=(-6, 11).
Solución
Podemos encontrar el ángulo de la pendiente al usar la fórmula con las coordenadas de los puntos dados:
$$\theta=\tan^{-1}\left(\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}\right)$$
$$=\tan^{-1}\left(\frac{11-7}{-6-3}\right)$$
$$=\tan^{-1}\left(-\frac{4}{9}\right)$$
$$\theta=-24^{\circ}$$
EJERCICIO 6
Encuentra el ángulo formado por la recta que pasa por los puntos A=(5, -3) y B=(5, 2).
Solución
Para encontrar el ángulo θ, usamos las coordenadas de los puntos dados en la fórmula del ángulo de inclinación:
$$\theta=\tan^{-1}\left(\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}\right)$$
$$=\tan^{-1}\left(\frac{2-(-3)}{5-5}\right)$$
$$=\tan^{-1}\left(\frac{-2-3}{5-5}\right)$$
$$=\tan^{-1}\left(\frac{-5}{0}\right)$$
$$=\tan^{-1}\left(\text{infinito}\right)$$
$$\theta=90^{\circ}$$
En este caso, obtuvimos -5/0, lo cual es igual a infinito. Mirando a las coordenadas de x de ambos puntos, vemos que ambas son igual a 5. Esto solo sucede cuando tenemos una recta vertical.
Una recta vertical es perpendicular con la horizontal, por lo que el ángulo es igual a 90°.
Ángulo de inclinación de una recta – Ejercicios para resolver
Usa la fórmula del ángulo de inclinación de la pendiente de una recta para resolver los siguientes ejercicios.
Véase también
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Jefferson Huera Guzmán
Jefferson es el autor principal y administrador de Neurochispas.com. Los contenidos interactivos de Matemáticas y Física que he creado han ayudado a muchos estudiantes.
