10 Ejercicios de derivadas usando límites

Las derivadas pueden ser calculadas usando la definición de una derivada con límites. Esta definición consiste en usar el límite para encontrar la pendiente de una recta secante a dos puntos en la función, de modo que se aproxime al valor de la pendiente de la recta tangente.

A continuación, veremos 10 ejercicios resueltos de derivadas usando límites. Además, podrás poner a prueba tus habilidades con algunos ejercicios de práctica.

CÁLCULO
Fórmula de la derivada de una función usando límites

Relevante para

Resolver algunos ejercicios de derivadas con límites.

Ver ejercicios

CÁLCULO
Fórmula de la derivada de una función usando límites

Relevante para

Resolver algunos ejercicios de derivadas con límites.

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10 Ejercicios de derivadas usando límites resueltos

Cada uno de los siguientes ejercicios es resuelto aplicando la fórmula de una derivada usando límites. Intenta resolver los ejercicios tú mismo antes de mirar la respuesta.

EJERCICIO 1

Encuentra la derivada de $latex f(x)=8x$ usando límites.

Para encontrar la derivada de una función con límites, tenemos que usar la siguiente fórmula:

$$f'(x)=\lim _{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$

Entonces, usamos la función $latex f(x)=8x$ para reescribir al numerador y tenemos:

$$f'(x)=\lim _{h \to 0}\frac{8(x+h)-8x}{h}$$

$$f'(x)=\lim _{h \to 0}\frac{8x+8h-8x}{h}$$

$$f'(x)=\lim _{h \to 0}\frac{8h}{h}$$

Ahora, podemos simplificar la h del numerador con la h del denominador:

$$f'(x)=\lim _{h \to 0}(8)$$

Como ya no tenemos ninguna h, simplemente removemos el límite:

$latex f'(x)=8$

EJERCICIO 2

Usa límites para encontrar la derivada de $latex f(x)=x^2$.

Usamos la siguiente fórmula para encontrar la derivada:

$$f'(x)=\lim _{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$

Ahora, usamos $latex f(x)=x^2$ en el numerador y tenemos:

$$f'(x)=\lim _{h \to 0}\frac{(x+h)^2-x^2}{h}$$

$$f'(x)=\lim _{h \to 0}\frac{x^2+2hx+h^2-x^2}{h}$$

$$f'(x)=\lim _{h \to 0}\frac{2hx+h^2}{h}$$

Factorizando la h del numerador y simplificando con la h del denominador, tenemos:

$$f'(x)=\lim _{h \to 0}\frac{h(2x+h)}{h}$$

$$f'(x)=\lim _{h \to 0}(2x+h)$$

Podemos resolver el límite al sustituir $latex h=0$ en la expresión:

$latex f'(x)=2x+0$

$latex f'(x)=2x$

EJERCICIO 3

Calcula la derivada de $latex f(x)=4x^2+5$ usando límites.

Usamos la fórmula de una derivada por límites:

$$f'(x)=\lim _{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$

Para resolver, usamos la función $latex f(x)=4x^2+5$ en el numerador de la fórmula:

$$f'(x)=\lim _{h \to 0}\frac{(4(x+h)^2+5)-(4x^2+5)}{h}$$

$$f'(x)=\lim _{h \to 0}\frac{4(x^2+2hx+h^2)+5-4x^2-5}{h}$$

$$f'(x)=\lim _{h \to 0}\frac{4x^2+8hx+4h^2+5-4x^2-5}{h}$$

$$f'(x)=\lim _{h \to 0}\frac{8hx+4h^2}{h}$$

Podemos factorizar la h del numerador y simplificar con la h del denominador:

$$f'(x)=\lim _{h \to 0}\frac{h(8x+4h)}{h}$$

$$f'(x)=\lim _{h \to 0}(8x+4h)$$

Para resolver el límite, sustituimos $latex h=0$ en la expresión:

$latex f'(x)=8x+4(0)$

$latex f'(x)=8x$

EJERCICIO 4

Determina la derivada de $latex f(x)=3x^2+5x$ usando límites.

Empezamos con la siguiente fórmula:

$$f'(x)=\lim _{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$

Ahora, usamos la función $latex f(x)=3x^2+5x$ en el numerador y tenemos:

$$f'(x)=\lim _{h \to 0}\frac{(3(x+h)^2+5(x+h))-(3x^2+5x)}{h}$$

$$f'(x)=\lim _{h \to 0}\frac{3(x^2+2hx+h^2)+5x+5h-3x^2-5x}{h}$$

$$f'(x)=\lim _{h \to 0}\frac{3x^2+6hx+3h^2+5x+5h-3x^2-5x}{h}$$

$$f'(x)=\lim _{h \to 0}\frac{6hx+3h^2+5h}{h}$$

Al factorizar la h del numerador y simplificando con el denominador, tenemos:

$$f'(x)=\lim _{h \to 0}\frac{h(6x+3h+5)}{h}$$

$$f'(x)=\lim _{h \to 0}(6x+3h+5)$$

Para resolver el límite, usamos $latex h=0$ y tenemos:

$latex f'(x)=6x+3(0)+5$

$latex f'(x)=6x+5$

EJERCICIO 5

Encuentra la derivada de $latex f(x)=4x^2-7x$ usando límites.

Tenemos la siguiente fórmula:

$$f'(x)=\lim _{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$

Entonces, usamos a la función $latex f(x)=4x^2-7x$ en el numerador para reescribirlo:

$$f'(x)=\lim _{h \to 0}\frac{(4(x+h)^2-7(x+h))-(4x^2-7x)}{h}$$

$$f'(x)=\lim _{h \to 0}\frac{4(x^2+2hx+h^2)-7x-7h-4x^2+7x}{h}$$

$$f'(x)=\lim _{h \to 0}\frac{4x^2+8hx+4h^2-7x-7h-4x^2+7x}{h}$$

$$f'(x)=\lim _{h \to 0}\frac{8hx+4h^2-7h}{h}$$

Podemos factorizar la h del numerador para simplificar con la h del denominador y tenemos:

$$f'(x)=\lim _{h \to 0}\frac{h(8x+4h-7)}{h}$$

$$f'(x)=\lim _{h \to 0}(8x+4h-7)$$

Finalmente, resolvemos el límite, usando $latex h=0$ y tenemos:

$latex f'(x)=8x+4(0)-7$

$latex f'(x)=8x-7$

EJERCICIO 6

Encuentra la derivada de la función $latex f(x)=6x-x^2$.

Empezamos con la fórmula de derivadas por límites:

$$f'(x)=\lim _{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$

Ahora, usamos la función $latex f(x)=6x-x^2$ en el numerador y tenemos:

$$f'(x)=\lim _{h \to 0}\frac{(6(x+h)-(x+h)^2)-(6x-x^2)}{h}$$

$$f'(x)=\lim _{h \to 0}\frac{6x+6h-(x^2+2hx+h^2)-6x+x^2}{h}$$

$$f'(x)=\lim _{h \to 0}\frac{6x+6h-x^2-2hx-h^2-6x+x^2}{h}$$

$$f'(x)=\lim _{h \to 0}\frac{6h-2hx-h^2}{h}$$

Factorizamos la h del numerador para simplificar con la h del denominador:

$$f'(x)=\lim _{h \to 0}\frac{h(6-2x-h)}{h}$$

$$f'(x)=\lim _{h \to 0}(6-2x-h)$$

Usamos el valor $latex h=0$ en la expresión para resolver el límite:

$latex f'(x)=6-2x-0$

$latex f'(x)=6-2x$

EJERCICIO 7

Encuentra la derivada de $latex f(x)=x^3$ usando límites.

Empezamos con la siguiente fórmula:

$$f'(x)=\lim _{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$

Usando la función $latex f(x)=x^3$ en el numerador, tenemos:

$$f'(x)=\lim _{h \to 0}\frac{(x+h)^3-x^3}{h}$$

$$f'(x)=\lim _{h \to 0}\frac{x^3+3x^2h+3xh^2+h^3-x^3}{h}$$

$$f'(x)=\lim _{h \to 0}\frac{3x^2h+3xh^2+h^3}{h}$$

Ahora, podemos factorizar la h del numerador para simplificar con el denominador:

$$f'(x)=\lim _{h \to 0}\frac{h(3x^2+3xh+h^2)}{h}$$

$$f'(x)=\lim _{h \to 0}(3x^2+3xh+h^2)$$

Usando la sustitución $latex h=0$, podemos resolver el límite:

$latex f'(x)=3x^2+3x(0)+0^2$

$latex f'(x)=3x^2$

EJERCICIO 8

Usa límites para encontrar la derivada de $latex f(x)=x^3+4x$

Tenemos la fórmula

$$f'(x)=\lim _{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$

Entonces, usamos la función $latex f(x)=x^3+4x$ en el numerador y tenemos:

$$f'(x)=\lim _{h \to 0}\frac{((x+h)^3+4(x+h))-(x^3+4x)}{h}$$

$$f'(x)=\lim _{h \to 0}\frac{x^3+3x^2h+3xh^2+h^3+4x+4h-x^3-4x}{h}$$

$$f'(x)=\lim _{h \to 0}\frac{3x^2h+3xh^2+h^3+4h}{h}$$

Ahora, vamos a factorizar la h del numerador para simplificar:

$$f'(x)=\lim _{h \to 0}\frac{h(3x^2+3xh+h^2+4)}{h}$$

$$f'(x)=\lim _{h \to 0}(3x^2+3xh+h^2+4)$$

Para resolver el límite, usamos la sustitución $latex h=0$:

$latex f'(x)=3x^2+3x(0)+0^2+4$

$latex f'(x)=3x^2+4$

EJERCICIO 9

Usa límites para encontrar la derivada de $latex f(x)=\frac{1}{x}$.

Vamos a usar la fórmula:

$$f'(x)=\lim _{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$

Entonces, usando la función $latex f(x)=\frac{1}{x}$ para reescribir el numerador, tenemos:

$$f'(x)=\lim _{h \to 0}\frac{\frac{1}{x+h}-\frac{1}{x}}{h}$$

Para simplificar al numerador, podemos usar el denominador común $latex (x+h)x$ para combinar y restar las fracciones:

$$f'(x)=\lim _{h \to 0}\frac{\frac{x-(x+h)}{x(x+h)}}{h}$$

$$f'(x)=\lim _{h \to 0}\frac{\frac{x-x-h}{x^2+xh)}}{h}$$

$$f'(x)=\lim _{h \to 0}\frac{\frac{-h}{x^2+xh)}}{h}$$

Ahora, reescribir a la fracción y simplificamos a la h del numerador y del denominador:

$$f'(x)=\lim _{h \to 0}\frac{-h}{h(x^2+xh)}$$

$$f'(x)=\lim _{h \to 0}\frac{-1}{x^2+xh}$$

Por último, vamos a resolver el límite sustituyendo $latex h=0$ en la expresión:

$$ f'(x)=\frac{-1}{x^2+x(0)}$$

$$f'(x)=-\frac{1}{x^2}$$

EJERCICIO 10

Usa límites para encontrar la derivada de la función raíz cuadrada, $latex f(x)=\sqrt{x}$.

Tenemos la fórmula:

$$f'(x)=\lim _{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$

Usamos la función raíz cuadrada, $latex f(x)=\sqrt{x}$, para reescribir al numerador:

$$f'(x)=\lim _{h \to 0}\frac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}{h}$$

La expresión del numerador puede ser simplificada al multiplicar tanto al numerador como al denominador por el conjugado del numerador:

$$f'(x)=\lim _{h \to 0}\frac{(\sqrt{x+h}-\sqrt{x})(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}{h(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}$$

$$f'(x)=\lim _{h \to 0}\frac{x+h-x}{h(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}$$

$$f'(x)=\lim _{h \to 0}\frac{h}{h(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}$$

Ahora, podemos simplificar la h del numerador con la h del denominador:

$$f'(x)=\lim _{h \to 0}\frac{1}{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}$$

Por último, podemos resolver el límite al sustituir $latex h=0$ en la expresión:

$$f'(x)=\lim _{h \to 0}\frac{1}{\sqrt{x+0}+\sqrt{x}}$$

$$f'(x)=\lim _{h \to 0}\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{x}}$$

$$f'(x)=\lim _{h \to 0}\frac{1}{2\sqrt{x}}$$


5 Ejercicios de derivadas usando límites para resolver

Usa la definición de una derivada usando límites para resolver los siguientes ejercicios.

¿Cuál es la derivada de $latex f(x)=9x$?

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Encuentra la derivada de $latex f(x)=6x^2.$.

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Encuentra la derivada de $latex f(x)=4x^2-3x$.

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Encuentra la derivada de $latex f(x)=7x^3$.

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Encuentra la derivada de $latex f(x)=-\frac{3}{x}$.

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Véase también

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