Regla de la Potencia – Fórmula, Demostración y Ejemplos

La regla de la potencia es una de las fórmulas principales y más utilizadas en Cálculo Diferencial (o Cálculo I). Se aplica comúnmente para derivar una sola variable, un conjunto de polinomios o una función con un exponente numérico. Esta fórmula se puede demostrar aplicando el teorema del binomio a través de límites. La diferenciación logarítmica también se puede usar para demostrar la regla de la potencia.

En este artículo, exploraremos todo sobre la regla de potencia. Cubriremos su definición, fórmula, demostraciones y aplicaciones. También veremos algunos ejemplos y problemas de práctica para aplicar los principios de la regla de la potencia.

CÁLCULO
Fórmula de la regla de la potencia de derivadas

Relevante para

Aprender sobre la regla de la potencia de las derivadas.

Ver fórmula

CÁLCULO
Fórmula de la regla de la potencia de derivadas

Relevante para

Aprender sobre la regla de la potencia de las derivadas.

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La regla de la potencia y su fórmula

¿Qué es la regla de la potencia?

La regla de la potencia establece que la derivada de una variable elevada a un exponente numérico es igual al valor del exponente numérico multiplicado por la variable elevada a la cantidad del exponente numérico restado por uno.

Otras formas y casos de la regla de la potencia, como el caso de polinomios y funciones elevadas a un exponente numérico o la fórmula general de la regla de la potencia, también se utilizan por eficiencia y conveniencia.

Estos casos especiales de la regla de la potencia dependen de los principios de otras reglas de derivadas, como la suma/diferencia de derivadas para polinomios o la regla de la cadena para funciones elevadas a un exponente numérico.

Comencemos con la forma básica de la regla de la potencia.

A) La fórmula básica de la regla de la potencia para una sola variable elevada a un exponente numérico n

La fórmula de la regla de la potencia es:

$$\frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1}$$

donde

  • $latex n =$ el valor numérico del exponente limitado solo a números reales
  • $latex x =$ la variable que se eleva a un exponente numérico $latex n$

y $latex \frac{d}{dx}(x^n)$ también se puede denotar con $latex y’$, $latex F'(x)$, $latex f'(x)$, u otras letras usadas para denotar funciones con el símbolo del apóstrofe.


Casos especiales y formas de la fórmula de la regla de la potencia

B) La regla de la potencia en polinomios

Las funciones polinómicas son la suma/diferencia de términos algebraicos con diferentes exponentes. Así, la fórmula de la regla de potencias que se utilizará en funciones polinómicas estará respaldada por la suma/diferencia de derivadas.

En este caso especial, la regla de la potencia se expresa como la derivada de un polinomio con términos algebraicos de diferentes exponentes, que es igual a la suma de las derivadas de cada término.

Cada término se obtendrá utilizando la fórmula básica de la regla de la potencia para todos los términos con variables o la derivada de constantes en caso de que el último término sea una constante. Para ilustrar mejor, la fórmula es:

$latex f'(x^{n_k} + … + x^{n_2} + x^{n_1} + c) = {n_k} x^{{n_k}-1} + … + {n_2} x^{{n_2}-1} + {n_1} x^{{n_1}-1} + 0$

en donde

  • $latex n_k$ = el exponente del término algebraico con el exponente de mayor grado en el polinomio
  • $latex n_{\texttt{\#}}$ = los exponentes de los otros términos algebraicos en el polinomio
  • $latex c$ = constante, que si se deriva, es igual a cero

C) La regla de la potencia en cantidades de funciones y funciones trascendentales elevadas a un exponente numérico n

Este caso especial de la regla de la potencia, comúnmente llamada «fórmula general de la regla de la potencia», a menudo se confunde con la fórmula de la regla de la cadena. Sin embargo, esto también se puede considerar como un caso especial de la fórmula de la regla de la cadena, ya que ambas reglas dependen de los principios de cada una al derivar una función trascendental que se eleva a un exponente numérico $latex n$.

Para recapitular brevemente, las funciones trascendentales son funciones que no se pueden expresar como una combinación finita de las operaciones aritméticas algebraicas de suma, resta, multiplicación o división. Ejemplos de estas son funciones trigonométricas, funciones logarítmicas, sus funciones inversas si existen, etc.

Cuando se eleva a un exponente numérico $latex n$, la regla de la potencia se aplica con la fórmula de la regla de la cadena. La regla de la potencia se usa como la derivada de la función exterior f de la función compuesta $latex f(g(x))$. Para ilustrar, la fórmula es

$$f'(u^n) = n(u)^{n-1} \cdot u’$$

en donde

  • $latex u$ puede ser una cantidad de funciones o una función trascendental
  • $latex u’ =$ la derivada de la cantidad de funciones o el método de la derivada de la función trascendental
  • $latex n =$ el exponente numérico de la cantidad de funciones o la función trascendental

Puede visitar nuestro artículo Fórmula, prueba y ejemplos de la regla de la cadena para obtener más información sobre las diferencias entre las reglas de potencia y las de la cadena.


Demostraciones de la regla de la potencia

Demostración de la regla de la potencia usando el teorema del binomio

La regla de la potencia se puede demostrar y derivar usando el teorema del binomio. Entonces, podemos obtener una expresión usando el teorema del binomio y sustituirla en la definición de límite de una derivada.

Al manipular y simplificar la expresión, podemos demostrar la regla de la potencia. Puedes ver una demostración detallada usando el teorema del binomio en este artículo.

Demostración de la regla de la potencia mediante diferenciación logarítmica

A diferencia de la demostración de la regla de la potencia usando el teorema del binomio, demostrar esta regla mediante la diferenciación logarítmica es en realidad el método más corto para probar la fórmula de la regla de la potencia, considerando que tienes fundamentos de la diferenciación logarítmica.

Puedes consultar nuestro artículo sobre Demostraciones de la regla de la potencia para aprender cómo podemos probar la regla de la potencia mediante diferenciación logarítmica.


Cuándo usar la fórmula de la regla de la potencia

A) Para derivar una única variable elevada a un exponente numérico n

Esta forma de la de regla de la potencia

$$\frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1}$$

se puede utilizar para las siguientes condiciones:

✔️ Elevada a un exponente numérico positivo:

$latex y = x^n$
donde $latex x$ es una variable y $latex n$
es el exponente numérico positivo

✔️ Elevada a un exponente negativo (función racional en forma exponencial):

$latex y = \frac{1}{x^n}$
$latex y = x^{-n}$
donde $latex x$ es una variable y $latex n$
es el exponente numérico negativo

  ✔️ Elevada a un exponente racional (función radical en forma exponencial):

$latex y = \sqrt[n_2]{x^{n_1}}$
$latex y = x^{\frac{n_1}{n_2}}$
donde $latex x$ es una variable y $latex \frac{n_1}{n_2} = n$
o el exponente numérico racional $latex n$

y no se puede usar para derivar:

  ❌ Elevada a un exponente variable:

$latex y = x^x$

  ❌ Elevada a cualquier tipo de función:

$latex y = x^{f(x)}$

B) Polinomios

Esta forma de la de regla de la potencia

$$f'(x^{n_k} + … + x^{n_2} + x^{n_1} + c)= {n_k} x^{{n_k}-1} + … + {n_2} x^{{n_2}-1} + {n_1} x^{{n_1}-1} + 0$$

se puede utilizar para las siguientes condiciones, por ejemplo:

✔️ $latex y = x^{n_k} + … + x^{n_2} + x^{n_1} + c$

o por ejemplo,

✔️ $latex y = x^{n_k} + … + x^3 + x^2 + x + c$

siempre que ninguno de los términos algebraicos se eleve a una variable o una función.

C) Funciones trascendentales elevadas a un exponente numérico n

Esta forma de la regla de la potencia

$latex f'(u^n) = n(u)^{n-1} \cdot u’$

se puede utilizar para las siguientes condiciones:

✔️ $latex y = u^n$

donde $latex u$ puede ser una cantidad de funciones o una función trascendental y $latex n$ es su exponente numérico. Tales ejemplos son, pero no se limitan a:

✔️ $latex y = (x^{n_k} + … + x^{n_2} + x^{n_1} + c)^n$

✔️ $latex y = \sin^{n}{x}$

✔️ $latex y = (\ln{x})^n$

Todo exponente de cualquier cantidad de funciones o función trascendental no debe ser una variable o cualquier otro tipo de función.

❌ $latex y = u^x$
❌ $latex y = u^{f(x)}$

En el caso de las funciones exponenciales, que también es una función trascendental, una función exponencial naturalmente lleva un exponente variable. Cuando una función exponencial $latex a^x$ se eleva a un exponente numérico $latex n$, se puede usar la misma fórmula de regla de potencia. Tales formas son:

✔️ $latex y = (a^x)^n$
✔️ $latex y = a^{nx}$
donde $latex a$ es un número real

Sin embargo, una función exponencial $latex a^x$ elevada a otra variable $latex x$ o cualquier otro tipo de función $latex f(x)$, no usará la fórmula de la regla de la potencia. Tales formas son:

❌ $latex y = (a^x)^x$
❌ $latex y = a^{x^2}$
donde $latex a$ es un número real


Cómo usar la regla de la potencia para encontrar derivadas, un tutorial paso a paso

Supongamos que tenemos que derivar

$latex f(x) = x^2$

Como puedes observar, esta función dada es una variable elevada a una potencia de 2. Pero para derivar este problema, podemos usar la regla de la potencia como se muestra en los siguientes pasos:

Paso 1: Siempre se recomienda identificar el caso para determinar la forma apropiada de la fórmula de la regla de potencia que podemos usar. En este caso, se trata de una única variable elevada a un exponente numérico.

Paso 2: Escribimos la forma de la fórmula de la regla de potencia apropiada para este caso:

$latex f'(x^n) = nx^{n-1}$

Paso 3: Si la forma original del problema dado es racional o radical, aplicamos las leyes de los exponentes y convertimos a la forma exponencial. En este caso, podemos omitir este paso ya que nuestro problema ya está en forma exponencial.

Paso 4: Determina el exponente de la variable. En este caso, nuestro exponente es 2. Por lo tanto,

$latex n = 2$

Paso 5: Aplica la fórmula de la regla de la potencia para derivar el problema:

$$\frac{d}{dx} (x^n) = \frac{d}{dx} (x^2)$$

$$\frac{d}{dx} (x^n) = nx^{n-1}$$

$$\frac{d}{dx} (x^n) = 2 \cdot x^{2-1}$$

Paso 6: Simplifica algebraicamente y aplica las identidades trigonométricas necesarias, así como otras reglas funcionales a la ecuación derivada, siempre que corresponda.

$$\frac{d}{dx} (x^n) = 2 \cdot x^{2-1}$$

$$\frac{d}{dx} (x^n) = 2x^{1}$$

$$\frac{d}{dx} (x^n) = 2x$$

Paso 7: Si crees que la ecuación derivada no se puede simplificar más, declárala como tu respuesta final:

$latex f'(x) = 2x$

Para propósitos de formalidad, se recomienda usar $latex f'(x), y’,$ o $latex \frac{d}{dx}(f(x))$ como símbolo de derivada en el lado izquierdo de la respuesta final en lugar de $latex (x^n)’$ o $latex \frac{d}{dx}(x^n)$.


Regla de potencia – Ejemplos con respuestas

Cada uno de los siguientes ejemplos tiene su respectiva solución detallada. Se recomienda que intentes resolver los problemas tu mismo antes de mirar la solución para que puedas practicar y dominar completamente este tema.

EJEMPLO 1

Deriva la función: $latex f(x) = -12x^{-13}$.

Paso 1: Primero identifiquemos el caso para determinar la mejor apropiada de la fórmula de la regla de potencia que podemos usar. En este caso, se trata de una única variable elevada a un exponente numérico.

Paso 2: Escribimos la forma de la fórmula de la regla de potencia apropiada para este caso:

$latex f'(x^n) = nx^{n-1}$

Paso 3: Como el problema dado ya está en forma exponencial, no necesitamos aplicar la ley de los exponentes antes de derivar el problema.

Paso 4: Determina el exponente de la variable. En este caso, nuestro exponente es -13. Entonces,

$latex n = -13$

Paso 5: Aplica la fórmula de la regla de la potencia para derivar el problema:

$$\frac{d}{dx} (x^n) = \frac{d}{dx} (-12x^{-13})$$

$$ \frac{d}{dx} (x^n) = nx^{n-1}$$

$$\frac{d}{dx} (x^n) = -12 \cdot (-13 \cdot x^{-13-1})$$

Paso 6: Simplifica algebraicamente:

$$\frac{d}{dx} (x^n) = -12 \cdot (-13 \cdot x^{-13-1})$$

$$\frac{d}{dx} (x^n) = -12 \cdot (-13x^{-14})$$

$$\frac{d}{dx} (x^n) = 156x^{-14}$$

Dado que el exponente es negativo, podemos aplicar las leyes de los exponentes para simplificarlo aún más en forma racional, aunque esto es opcional:

$$\frac{d}{dx} (x^n) = \frac{156}{x^{14}}$$

Paso 7: Si crees que la ecuación derivada no se puede simplificar más, declárala como la respuesta final:

$$f'(x) = \frac{156}{x^{14}}$$

EJEMPLO 2

Encuentra la derivada de $latex f(x) = 6x^3-21x^2-100x+625$.

Paso 1: En este caso, tenemos un polinomio.

Paso 2: Escribmos la forma de la fórmula de la regla de potencia apropiada para este caso:

$$f'(x^{n_k} + … + x^{n_2} + x^{n_1} + c)$$

$$= {n_k} x^{{n_k}-1} + … + {n_2} x^{{n_2}-1} + {n_1} x^{{n_1}-1} + 0$$

Paso 3: Como todos los términos del problema dado ya están en forma exponencial, no necesitamos aplicar las leyes de los exponentes antes de derivar el problema.

Paso 4: Determina el exponente para cada término del polinomio. Tenemos,

$$f(x) = 6x^{n_3} – 21x^{n_2} – 100x^{n_1} + 625$$

y si es que

$$f(x) = 6x^3-21x^2-100x+625$$

tenemos

$latex n_1 = 1$
$latex n_2 = 2$
$latex n_3 = 3$

Paso 5: Aplica la fórmula de la regla de la potencia para derivar el problema:

$$\frac{d}{dx} (6x^3-21x^2-100x+625) = 6 \cdot {n_3} x^{{n_3}-1}– 21 \cdot {n_2} x^{{n_2}-1}- 100 \cdot {n_1} x^{{n_1}-1} + 0$$

$$= 6 \cdot 3x^{3-1} – 21 \cdot 2x^{2-1} – 100 \cdot 1x^{1-1} + 0$$

Paso 6: Simplifica algebraicamente:

$$6 \cdot 3x^{3-1} – 21 \cdot 2x^{2-1} – 100 \cdot 1x^{1-1} + 0=18x^2 – 42x – 100$$

Paso 7: Si crees que la ecuación derivada no se puede simplificar más, declárala como tu respuesta final:

$latex f'(x) = 18x^2 – 42x – 100$

EJEMPLO 3

Deriva $$f(x) = x^{12} – 3 \sqrt{x} + \frac{5}{x^8} – \frac{9}{\sqrt[3]{x^2}}$$

Paso 1: En este caso, tenemos un polinomio.

Paso 2: Escribimos la forma de la fórmula de la regla de poder apropiada para este caso:

$$f'(x^{n_k} + … + x^{n_2} + x^{n_1} + c)$$

$$= {n_k} x^{{n_k}-1} + … + {n_2} x^{{n_2}-1} + {n_1} x^{{n_1}-1} + 0$$

Paso 3: Algunos de los términos no están en forma exponencial, por lo tanto, necesitamos aplicar las leyes de los exponentes para los términos que están en forma radical, racional o ambas:

$$f(x) = x^{12} – 3 \sqrt{x} + \frac{5}{x^8} – \frac{9}{\sqrt[3]{x^2}}$$

$$f(x) = x^{12} – 3x^{\frac{1}{2}} + 5x^{-8} – 9x^{-\frac{2}{3}}$$

Paso 4: Determina el exponente para cada término del polinomio. Tenemos,

$$f(x) = x^{n_4} – 3x^{n_3} + 5x^{n_2} – 9x^{n_1}$$

y si es que

$$f(x) = x^{12} – 3x^{\frac{1}{2}} + 5x^{-8} – 9x^{-\frac{2}{3}}$$

tenemos

$latex n_1 = -\frac{2}{3}$
$latex n_2 = -8$
$latex n_3 = \frac{1}{2}$
$latex n_4 = 12$

Paso 5: Aplica la fórmula de la regla de la potencia para derivar el problema:

$$x^{12} – 3x^{\frac{1}{2}} + 5x^{-8} – 9x^{-\frac{2}{3}} = {n_4}x^{n_4 – 1} – 3 \cdot ({n_3}x^{n_3 – 1}) + 5 \cdot ({n_2}x^{n_2 – 1}) – 9 \cdot ({n_1}x^{n_1 – 1})$$

$$ = 12x^{12-1} – 3 \cdot \left(\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} – 1} \right) + 5 \cdot (-8x^{-8 – 1}) – 9 \cdot \left(-\frac{2}{3} x^{-\frac{2}{3} – 1} \right)$$

Paso 6: Simplifica algebraicamente:

$$12x^{12-1} – 3 \cdot \left(\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} – 1} \right) + 5 \cdot (-8x^{-8 – 1}) – 9 \cdot \left(-\frac{2}{3} x^{-\frac{2}{3} – 1} \right) = 12x^{11} – \frac{3}{2} x^{-\frac{1}{2}} – 40x^{-9} + 6x^{-\frac{5}{3}}$$

Dado que algunos de los términos tienen exponentes negativos o racionales, podemos aplicar las leyes de los exponentes para simplificar aún más:

$$12x^{11} – \frac{3}{2} x^{-\frac{1}{2}} – 40x^{-9} + 6x^{-\frac{5}{3}} = 12x^{11} – \frac{3}{2 \sqrt{x}} – \frac{40}{x^9} + \frac{6}{\sqrt[3]{x^5}}$$

Paso 7: Si crees que la ecuación derivada no se puede simplificar más, declárala como la respuesta final:

$$f'(x) = 12x^{11} – \frac{3}{2 \sqrt{x}} – \frac{40}{x^9} + \frac{6}{\sqrt[3]{x^5}}$$

EJEMPLO 4

¿Cuál es la derivada de $latex f(x) = e^{12x}$?

Paso 1: En este caso, tenemos una función trascendental, en concreto, una función exponencial.

Paso 2: Escribimos la forma de la fórmula de la regla de la potencia apropiada para este caso:

$latex f'(u^n) = nu^{n-1} \cdot u’$

Paso 3: Si bien, la función exponencial ya está en forma exponencial, en el caso especial de esta función, es importante aplicar las leyes del exponente para extraer el exponente de la función:

$latex f(x) = e^{12x}$
$latex f(x) = (e^x)^{12}$

Paso 4: Determina el exponente de la función exponencial. En este caso, nuestro exponente es 12. Por lo tanto,

$latex n = 12$

Paso 5: Aplica la fórmula de la regla de la potencia para derivar el problema:

$$\frac{d}{dx} (u^n) = \frac{d}{dx} ((e^x)^{12})$$

$$\frac{d}{dx} (u^n) = nu^{n-1} \cdot u’$$

$$\frac{d}{dx} (u^n) = 12 \cdot (e^x)^{12-1} \cdot e^x$$

Paso 6: Simplifica algebraicamente:

$$\frac{d}{dx} (u^n) = 12 \cdot (e^x)^{12-1} \cdot e^x$$

$$\frac{d}{dx} (u^n) = 12(e^x)^{12-1+1}$$

$$\frac{d}{dx} (u^n) = 12(e^x)^{12}$$

Aplicando las leyes de los exponentes para simplificar aún más, tenemos

$$\frac{d}{dx} (u^n) = 12e^{12x}$$

Paso 7: La respuesta final es:

$latex f'(x) = 12e^{12x}$

EJEMPLO 5

Deriva: $latexf(x) = 2 \sinh^{2}{(x)}$.

Paso 1: En este caso, tenemos una función trascendental, en concreto, una función hiperbólica.

Paso 2: Escribimos la forma de la fórmula de la regla de potencia apropiada para este caso:

$latex f'(u^n) = nu^{n-1} \cdot u’$

Paso 3: Aunque la función dada ya está en forma exponencial, aún podemos reescribirla si eso disminuye la confusión.

$latex f(x) = 2 \sinh^{2}{(x)}$
$latex f(x) = 2(\sinh{(x)})^2$

Paso 4: Determina el exponente de la función hiperbólica. En este caso, nuestro exponente es 2. Por lo tanto,

$latex n = 2$

Paso 5: Aplica la fórmula de la regla de la potencia para derivar el problema:

$$\frac{d}{dx} (u^n) = \frac{d}{dx} (2(\sinh{(x)})^2)$$

$$\frac{d}{dx} (u^n) = nu^{n-1} \cdot u’$$

$$\frac{d}{dx} (u^n) = 2 \cdot (2 \cdot (\sinh{(x)})^{2-1} \cdot \cosh{(x)})$$

Paso 6: Simplifica algebraicamente y aplica identidades hiperbólicas aplicables:

$$\frac{d}{dx} (u^n) = 2 \cdot (2 \cdot (\sinh{(x)})^{2-1} \cdot \cosh{(x)})$$

$$\frac{d}{dx} (u^n) = 2 \cdot (2 \sinh{(x)} \cosh{(x)})$$

$$\frac{d}{dx} (u^n) = 2 \sinh{(2x)}$$

Paso 7: La respuesta final es:

$latex f'(x) = 2 \sinh{(2x)}$


Regla de la potencia – Problemas de práctica

Resuelve los siguientes problemas de diferenciación y prueba tus conocimientos sobre este tema. Usa la fórmula de la regla de potencia detallada arriba para resolver los ejercicios.

Encuentra la derivada de $latex f(x) = \frac{2}{3} x^{\frac{5}{2}}$

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¿Cuál es la derivada de $latex f(x) = \frac{3 \sqrt[3]{x^2}}{2} – \frac{2}{3 \sqrt{x^3}}$?

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Deriva $latex f(x) = \big(\cot^{-1}{(x)} \big)^2$

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Encuentra la derivada de $latex f(x) = e^{x^3}$

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