10 Ejercicios de la regla de la potencia de derivadas

La regla de la potencia de derivadas nos permite encontrar la derivada de una función de una forma más simple que cuando usamos límites. La regla de la potencia es principalmente usada cuando tenemos variables elevadas a un exponente numérico, como $latex x^2, ~x^{-5}, ~x^{\frac{1}{2}}$, etc.

A continuación, resolveremos 10 ejercicios de derivadas con la regla de la potencia. Además, exploraremos 5 problemas para practicar la aplicación de esta regla.

CÁLCULO
Fórmula de la regla de la potencia de derivadas

Relevante para

Resolver algunos ejercicios de derivadas con la regla de la potencia.

Ver ejercicios

CÁLCULO
Fórmula de la regla de la potencia de derivadas

Relevante para

Resolver algunos ejercicios de derivadas con la regla de la potencia.

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10 Ejercicios de la regla de la potencia de derivadas resueltos

Cada uno de los siguientes ejercicios tiene su respectiva solución, en donde aplicamos la regla de la potencia para encontrar las derivadas de las funciones dadas.

EJERCICIO 1

Encuentra la derivada de $latex f(x)=x^4$.

Empezamos escribiendo la fórmula de la regla de la potencia:

$latex f'(x^n) = nx^{n-1}$

En este caso, tenemos el exponente $latex n=4$. Entonces, usando la regla de la potencia, tenemos:

$$\frac{d}{dx} (x^n) = \frac{d}{dx} (x^4)$$

$$\frac{d}{dx} (x^4) = 4 \cdot x^{4-1}$$

Al simplificar esto, tenemos:

$$\frac{d}{dx} (x^4) = 4 x^3$$

$$f'(x)= 4 x^3$$

EJERCICIO 2

¿Cuál es la derivada de la función $latex f(x)=4x^3$?

Vamos a resolver usando la fórmula de la regla de la potencia de derivadas:

$latex f'(x^n) = nx^{n-1}$

Podemos identificar el exponente $latex n=3$. Entonces, al aplicar la regla de la potencia, tenemos:

$$\frac{d}{dx} (x^n) = \frac{d}{dx} (x^3)$$

$$\frac{d}{dx} (4x^3) = 3 \cdot (4x^{3-1})$$

Cuando simplificamos la expresión, tenemos:

$$\frac{d}{dx} (4x^3) = 12 x^2$$

$$f'(x)= 12 x^2$$

EJERCICIO 3

Encuentra la derivada de la función $latex f(x)=7x^8$.

La fórmula de la regla de la potencia de derivadas es:

$latex f'(x^n) = nx^{n-1}$

En este caso, tenemos el exponente $latex n=8$. Al aplicar la regla de la potencia, tenemos:

$$\frac{d}{dx} (x^n) = \frac{d}{dx} (7x^8)$$

$$\frac{d}{dx} (7x^8) = 8 \cdot (7x^{8-1})$$

Cuando simplificamos esta expresión, tenemos:

$$\frac{d}{dx} (7x^8) = 56 x^7$$

$$f'(x)= 56 x^7$$

EJERCICIO 4

Encuentra la derivada de la función $latex f(x)=3x^{-5}$.

Empezamos escribiendo la fórmula de la regla de la potencia:

$latex f'(x^n) = nx^{n-1}$

En este caso, tenemos un exponente negativo $latex n=-5$. Sin embargo, simplemente tenemos que aplicar la regla de la potencia como en los casos anteriores:

$$\frac{d}{dx} (x^n) = \frac{d}{dx} (3x^{-5})$$

$$\frac{d}{dx} (3x^{-5}) = -5 \cdot (3x^{-5-1})$$

Cuando simplificamos la expresión, tenemos:

$$\frac{d}{dx} (3x^{-5}) = -15 x^{-6}$$

$$f'(x)= -15 x^{-6}$$

Podemos usar las leyes de los exponentes para escribir de la siguiente forma:

$$f'(x) = -\frac{15}{x^6}$$

EJERCICIO 5

¿Cuál es la derivada de la función $latex f(x)=-5x^{-6}$?

Vamos a usar la regla de la potencia de derivadas:

$latex f'(x^n) = nx^{n-1}$

Vemos que el exponente es $latex n=-6$. Entonces, al usar la regla de la potencia con esta función, tenemos:

$$\frac{d}{dx} (x^n) = \frac{d}{dx} (-5x^{-6})$$

$$\frac{d}{dx} (-5x^{-6}) = -6 \cdot (-5x^{-6-1})$$

Cuando simplificamos, tenemos:

$$\frac{d}{dx} (-5x^{-6}) = 30 x^{-7}$$

$$f'(x)= 30 x^{-7}$$

Podemos escribir de la siguiente forma para simplificar:

$$f'(x) = \frac{30}{x^7}$$

EJERCICIO 6

¿Cuál es la derivada de $latex f(x)=\frac{1}{x^5}$?

La fórmula de la regla de la potencia es:

$latex f'(x^n) = nx^{n-1}$

En este caso, tenemos a una variable en el denominador. Entonces, podemos usar las leyes de los exponentes para escribir de la siguiente manera:

$latex f(x)=x^{-5}$

Entonces, vemos que tenemos el exponente $latex n=-5$. Al usar la regla de la potencia, tenemos:

$$\frac{d}{dx} (x^n) = \frac{d}{dx} (x^{-5})$$

$$\frac{d}{dx} (x^{-5}) = -5 \cdot x^{-5-1}$$

Al simplificar esto, tenemos:

$$\frac{d}{dx} (x^{-5}) = -5 x^{-6}$$

$$f'(x)= -5 x^{-6}$$

Usamos las leyes de los exponentes nuevamente para escribir de la siguiente forma:

$$f'(x) = -\frac{5}{x^6}$$

EJERCICIO 7

Determina la derivada de $latex f(x)=\frac{2}{3x^2}$.

Empezamos escribiendo la fórmula de la regla de la potencia:

$latex f'(x^n) = nx^{n-1}$

Usamos las leyes de los exponentes para escribir así:

$latex f(x)=\frac{2}{3} x^{-2}$

Ahora, tenemos el exponente $latex n=-2$. Al usar la regla de la potencia, tenemos:

$$\frac{d}{dx} (x^n) = \frac{d}{dx} (\frac{2}{3} x^{-2})$$

$$\frac{d}{dx} (\frac{2}{3} x^{-2}) = -2 \cdot (\frac{2}{3} x^{-2-1})$$

Al simplificar esto, tenemos:

$$\frac{d}{dx} (\frac{2}{3} x^{-2}) = -\frac{4}{3} x^{-3}$$

$$f'(x)= -\frac{4}{3} x^{-3}$$

Finalmente, podemos escribir de la siguiente forma:

$$f'(x)= -\frac{4}{3x^3}$$

EJERCICIO 8

Encuentra la derivada de la función $latex f(x)=x^{\frac{1}{3}}$

La regla de la potencia es:

$latex f'(x^n) = nx^{n-1}$

En este caso, tenemos el exponente $latex n=\frac{1}{3}$. Cuando usamos la regla de la potencia, tenemos:

$$\frac{d}{dx} (x^n) = \frac{d}{dx} (x^{\frac{1}{3}})$$

$$\frac{d}{dx} (x^{\frac{1}{3}}) = \frac{1}{3} \cdot (x^{\frac{1}{3}-1})$$

Al simplificar esto, tenemos:

$$\frac{d}{dx} (x^{\frac{1}{3}}) = \frac{1}{3} x^{-\frac{2}{3}}$$

$$f'(x)= \frac{1}{3} x^{-\frac{2}{3}}$$

Usando las leyes de los exponentes, podemos escribir de la siguiente forma:

$$f'(x)= \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$$

$$f'(x)= \frac{1}{3 \sqrt[3]{x^2}}$$

EJERCICIO 9

Encuentra la derivada de $latex f(x)=\sqrt{x}$.

Tenemos la siguiente regla:

$latex f'(x^n) = nx^{n-1}$

Podemos usar las leyes de los exponentes para reescribir al radical:

$$ \sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}$$

Ahora, vemos que el exponente es $latex n = \frac{1}{2}$. Entonces, usando la regla de la potencia en la función, tenemos:

$$\frac{d}{dx} (x^n) = \frac{d}{dx} (x^{\frac{1}{2}})$$

$$\frac{d}{dx} (x^{\frac{1}{2}}) = \frac{1}{2} \cdot ( x^{\frac{1}{2}-1})$$

Simplificando, tenemos:

$$f'(x) = \frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}}$$

Usando las leyes de los exponentes, escribimos de la siguiente forma:

$$f'(x) = \frac{1}{2x^{\frac{1}{2}}}$$

$$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$$

EJERCICIO 10

Encuentra la derivada de $latex f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}$.

Tenemos la siguiente regla:

$latex f'(x^n) = nx^{n-1}$

Usamos las leyes de los exponentes para escribir a la función así:

$$ \frac{1}{\sqrt{x}}=x^{-\frac{1}{2}}$$

El exponente de la función es $latex n = -\frac{1}{2}$. Entonces, al aplicar la regla de la potencia en la función, tenemos:

$$\frac{d}{dx} (x^n) = \frac{d}{dx} (x^{-\frac{1}{2}})$$

$$\frac{d}{dx} (x^{-\frac{1}{2}}) = -\frac{1}{2} \cdot ( x^{-\frac{1}{2}-1})$$

Al simplificar, tenemos:

$$f'(x) = -\frac{1}{2} x^{-\frac{3}{2}}$$

Podemos usar las leyes de los exponentes nuevamente para escribir:

$$f'(x) = -\frac{1}{2x^{\frac{3}{2}}}$$

$$f'(x) = -\frac{1}{2\sqrt{x^3}}$$


5 Ejercicios de regla de la potencia de derivadas para resolver

Aplica la regla de la potencia para encontrar las derivadas de las siguientes funciones.

¿Cuál es la derivada de $latex f(x)=5x^3$?

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Encuentra la derivada de $latex f(x)=-5x^4$.

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¿Cuál es la derivada de $latex f(x)=\frac{4}{x^5}$?

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Encuentra la derivada de la función $latex f(x)=\frac{3}{4x^2}$.

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¿Cuál es la derivada de $latex f(x)=3x^{\frac{1}{3}}$?

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Véase también

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