Cómo resolver derivadas usando límites

La derivada de una función es definida como el límite, el cual encuentra a la pendiente de la recta tangente a una función. Entonces, podemos encontrar una ecuación al recordar que la pendiente de una recta es encontrada al dividir al cambio en y sobre el cambio en x. Esto significa que podemos usar límites para calcular las derivadas de funciones.

A continuación, aprenderemos cómo calcular derivadas de funciones usando límites. Conoceremos una fórmula y la aplicaremos para resolver algunos ejercicios.

CÁLCULO
Fórmula de la derivada de una función usando límites

Relevante para

Aprender a resolver derivadas usando límites.

Ver fórmula

CÁLCULO
Fórmula de la derivada de una función usando límites

Relevante para

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Fórmula para resolver derivadas usando límites

Para calcular la derivada de una función usando límites, podemos usar la siguiente fórmula:

$$f'(x)=\lim _{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$

Esta fórmula tiene las siguientes partes importantes:

  • $latex f(x+h)$. Esto significa que tenemos que evaluar a la función dada usando la entrada $latex x+h$.
  • $latex f(x)$. Esta es la función original en términos de x.
  • h en el denominador. Este valor debe permanecer igual hasta que evaluemos el límite o hasta que sea simplificado.
  • $latex \lim _{h \to 0}$ es el límite. Generalmente, lo resolvemos al sustituir por 0 a todas las h que encontremos.

Entonces, para aplicar esta fórmula, tenemos que empezar encontrando la expresión $latex f(x+h)$ en el numerador. Luego, sustraímos la función original $latex f(x)$.

Generalmente, podremos simplificar la h del denominador con la h del numerador. Por último, usamos $latex h=0$ para resolver el límite (esto funcionará en la mayoría de casos, pero no en todos).


Resolver derivadas usando límites – Ejercicios resueltos

La fórmula de derivadas usando límites es aplicada para resolver los siguientes ejercicios. Cada ejercicio tiene su respectiva solución, pero intenta resolver los ejercicios tú mismo.

EJERCICIO 1

Usa límites para encontrar la derivada de $latex f(x)=5x$.

La fórmula para la derivada de una función usando límites es:

$$f'(x)=\lim _{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$

Ahora, usamos la función $latex f(x)=5x$ para reescribir al numerador. Entonces, tenemos:

$$f'(x)=\lim _{h \to 0}\frac{5(x+h)-5x}{h}$$

$$f'(x)=\lim _{h \to 0}\frac{5x+5h-5x}{h}$$

$$f'(x)=\lim _{h \to 0}\frac{5h}{h}$$

Podemos simplificar la h del numerador con la h del denominador

$$f'(x)=\lim _{h \to 0}(5)$$

Dado que no tenemos ninguna h, simplemente removemos el límite:

$latex f'(x)=5$

EJERCICIO 2

Encuentra la derivada de $latex f(x)=x^2$ usando límites.

Empezamos escribiendo la fórmula de las derivadas con límites:

$$f'(x)=\lim _{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$

Ahora, reescribimos al numerador usando $latex f(x)=x^2$. Entonces, tenemos:

$$f'(x)=\lim _{h \to 0}\frac{(x+h)^2-x^2}{h}$$

$$f'(x)=\lim _{h \to 0}\frac{x^2+2hx+h^2-x^2}{h}$$

$$f'(x)=\lim _{h \to 0}\frac{2hx+h^2}{h}$$

Podemos factorizar la h del numerador y simplificar con el denominador:

$$f'(x)=\lim _{h \to 0}\frac{h(2x+h)}{h}$$

$$f'(x)=\lim _{h \to 0}(2x+h)$$

Finalmente, resolvemos el límite al sustituir $latex h=0$ en la expresión:

$latex f'(x)=2x+0$

$latex f'(x)=2x$

EJERCICIO 3

Encuentra la derivada de $latex f(x)=2x^2+3$ usando límites.

Tenemos la siguiente fórmula:

$$f'(x)=\lim _{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$

Entonces, usamos la función $latex f(x)=2x^2+3$ para reescribir al numerador. Entonces, tenemos:

$$f'(x)=\lim _{h \to 0}\frac{(2(x+h)^2+3)-(2x^2+3)}{h}$$

$$f'(x)=\lim _{h \to 0}\frac{2(x^2+2hx+h^2)+3-2x^2-3}{h}$$

$$f'(x)=\lim _{h \to 0}\frac{2x^2+4hx+2h^2+3-2x^2-3}{h}$$

$$f'(x)=\lim _{h \to 0}\frac{4hx+2h^2}{h}$$

Factorizando la h del numerador y simplificando con la h del denominador, tenemos:

$$f'(x)=\lim _{h \to 0}\frac{h(4x+2h)}{h}$$

$$f'(x)=\lim _{h \to 0}(4x+2h)$$

Finalmente, resolvemos el límite al sustituir $latex h=0$ en la expresión:

$latex f'(x)=4x+2(0)$

$latex f'(x)=4x$

EJERCICIO 4

Usa límites para encontrar la derivada de $latex f(x)=3x^2+5x$.

Empezamos escribiendo la fórmula para encontrar derivadas usando límites:

$$f'(x)=\lim _{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$

Ahora, usamos la función $latex f(x)=3x^2+5x$ en el numerador y tenemos:

$$f'(x)=\lim _{h \to 0}\frac{(3(x+h)^2+5(x+h))-(3x^2+5x)}{h}$$

$$f'(x)=\lim _{h \to 0}\frac{3(x^2+2hx+h^2)+5x+5h-3x^2-5x}{h}$$

$$f'(x)=\lim _{h \to 0}\frac{3x^2+6hx+3h^2+5x+5h-3x^2-5x}{h}$$

$$f'(x)=\lim _{h \to 0}\frac{6hx+3h^2+5h}{h}$$

Factorizamos la h del numerador para simplificar con la h del denominador:

$$f'(x)=\lim _{h \to 0}\frac{h(6x+3h+5)}{h}$$

$$f'(x)=\lim _{h \to 0}(6x+3h+5)$$

Finalmente, resolvemos el límite al sustituir $latex h=0$ en la expresión:

$latex f'(x)=6x+3(0)+5$

$latex f'(x)=6x+5$

EJERCICIO 5

Encuentra la derivada de $latex f(x)=\frac{1}{x}$ usando límites.

Tenemos la fórmula:

$$f'(x)=\lim _{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$

Usando la función $latex f(x)=\frac{1}{x}$ en el numerador, tenemos:

$$f'(x)=\lim _{h \to 0}\frac{\frac{1}{x+h}-\frac{1}{x}}{h}$$

Podemos usar el denominador común $latex (x+h)x$ para restar las fracciones del numerador:

$$f'(x)=\lim _{h \to 0}\frac{\frac{x-(x+h)}{x(x+h)}}{h}$$

$$f'(x)=\lim _{h \to 0}\frac{\frac{x-x-h}{x^2+xh)}}{h}$$

$$f'(x)=\lim _{h \to 0}\frac{\frac{-h}{x^2+xh)}}{h}$$

Podemos reescribir a la fracción y simplificar a la h del numerador y del denominador:

$$f'(x)=\lim _{h \to 0}\frac{-h}{h(x^2+xh)}$$

$$f'(x)=\lim _{h \to 0}\frac{-1}{x^2+xh}$$

Finalmente, resolvemos el límite al sustituir $latex h=0$ en la expresión:

$$ f'(x)=\frac{-1}{x^2+x(0)}$$

$$f'(x)=-\frac{1}{x^2}$$

EJERCICIO 6

Determina la derivada de $latex f(x)=\sqrt{x}$ usando límites.

Tenemos la fórmula:

$$f'(x)=\lim _{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$

Ahora, reescribimos al numerador usando la función $latex f(x)=\sqrt{x}$. Entonces, tenemos:

$$f'(x)=\lim _{h \to 0}\frac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}{h}$$

Podemos multiplicar tanto al numerador como al denominador por el conjugado del numerador:

$$f'(x)=\lim _{h \to 0}\frac{(\sqrt{x+h}-\sqrt{x})(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}{h(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}$$

$$f'(x)=\lim _{h \to 0}\frac{x+h-x}{h(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}$$

$$f'(x)=\lim _{h \to 0}\frac{h}{h(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}$$

Simplificamos la h del numerador con la h del denominador:

$$f'(x)=\lim _{h \to 0}\frac{1}{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}$$

Finalmente, resolvemos el límite al sustituir $latex h=0$ en la expresión:

$$f'(x)=\lim _{h \to 0}\frac{1}{\sqrt{x+0}+\sqrt{x}}$$

$$f'(x)=\lim _{h \to 0}\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{x}}$$

$$f'(x)=\lim _{h \to 0}\frac{1}{2\sqrt{x}}$$

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Resolver derivadas usando límites – Ejercicios para resolver

Usa la fórmula para calcular derivadas de funciones usando límites para resolver los siguientes ejercicios.

Encuentra la derivada de $latex f(x)=7x$.

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¿Cuál es la derivada de $latex f(x)=7x^2.$.

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Encuentra la derivada de $latex f(x)=4x^2-3x$.

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Encuentra la derivada de $latex f(x)=5x^3$.

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Encuentra la derivada de $latex f(x)=-\frac{3}{x}$.

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Véase también

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