Ejercicios de la regla de la potencia de derivadas

Empezamos escribiendo la fórmula de la regla de la potencia:

$latex f'(x^n) = nx^{n-1}$

En este caso, tenemos el exponente $latex n=4$. Entonces, usando la regla de la potencia, tenemos:

$$\frac{d}{dx} (x^n) = \frac{d}{dx} (x^4)$$

$$\frac{d}{dx} (x^4) = 4 \cdot x^{4-1}$$

Al simplificar esto, tenemos:

$$\frac{d}{dx} (x^4) = 4 x^3$$

$$f'(x)= 4 x^3$$

Vamos a resolver usando la fórmula de la regla de la potencia de derivadas:

$latex f'(x^n) = nx^{n-1}$

Podemos identificar el exponente $latex n=3$. Entonces, al aplicar la regla de la potencia, tenemos:

$$\frac{d}{dx} (x^n) = \frac{d}{dx} (x^3)$$

$$\frac{d}{dx} (4x^3) = 3 \cdot (4x^{3-1})$$

Cuando simplificamos la expresión, tenemos:

$$\frac{d}{dx} (4x^3) = 12 x^2$$

$$f'(x)= 12 x^2$$

La fórmula de la regla de la potencia de derivadas es:

$latex f'(x^n) = nx^{n-1}$

En este caso, tenemos el exponente $latex n=8$. Al aplicar la regla de la potencia, tenemos:

$$\frac{d}{dx} (x^n) = \frac{d}{dx} (7x^8)$$

$$\frac{d}{dx} (7x^8) = 8 \cdot (7x^{8-1})$$

Cuando simplificamos esta expresión, tenemos:

$$\frac{d}{dx} (7x^8) = 56 x^7$$

$$f'(x)= 56 x^7$$

Empezamos escribiendo la fórmula de la regla de la potencia:

$latex f'(x^n) = nx^{n-1}$

En este caso, tenemos un exponente negativo $latex n=-5$. Sin embargo, simplemente tenemos que aplicar la regla de la potencia como en los casos anteriores:

$$\frac{d}{dx} (x^n) = \frac{d}{dx} (3x^{-5})$$

$$\frac{d}{dx} (3x^{-5}) = -5 \cdot (3x^{-5-1})$$

Cuando simplificamos la expresión, tenemos:

$$\frac{d}{dx} (3x^{-5}) = -15 x^{-6}$$

$$f'(x)= -15 x^{-6}$$

Podemos usar las leyes de los exponentes para escribir de la siguiente forma:

$$f'(x) = -\frac{15}{x^6}$$

Vamos a usar la regla de la potencia de derivadas:

$latex f'(x^n) = nx^{n-1}$

Vemos que el exponente es $latex n=-6$. Entonces, al usar la regla de la potencia con esta función, tenemos:

$$\frac{d}{dx} (x^n) = \frac{d}{dx} (-5x^{-6})$$

$$\frac{d}{dx} (-5x^{-6}) = -6 \cdot (-5x^{-6-1})$$

Cuando simplificamos, tenemos:

$$\frac{d}{dx} (-5x^{-6}) = 30 x^{-7}$$

$$f'(x)= 30 x^{-7}$$

Podemos escribir de la siguiente forma para simplificar:

$$f'(x) = \frac{30}{x^7}$$

La fórmula de la regla de la potencia es:

$latex f'(x^n) = nx^{n-1}$

En este caso, tenemos a una variable en el denominador. Entonces, podemos usar las leyes de los exponentes para escribir de la siguiente manera:

$latex f(x)=x^{-5}$

Entonces, vemos que tenemos el exponente $latex n=-5$. Al usar la regla de la potencia, tenemos:

$$\frac{d}{dx} (x^n) = \frac{d}{dx} (x^{-5})$$

$$\frac{d}{dx} (x^{-5}) = -5 \cdot x^{-5-1}$$

Al simplificar esto, tenemos:

$$\frac{d}{dx} (x^{-5}) = -5 x^{-6}$$

$$f'(x)= -5 x^{-6}$$

Usamos las leyes de los exponentes nuevamente para escribir de la siguiente forma:

$$f'(x) = -\frac{5}{x^6}$$

Empezamos escribiendo la fórmula de la regla de la potencia:

$latex f'(x^n) = nx^{n-1}$

Usamos las leyes de los exponentes para escribir así:

$latex f(x)=\frac{2}{3} x^{-2}$

Ahora, tenemos el exponente $latex n=-2$. Al usar la regla de la potencia, tenemos:

$$\frac{d}{dx} (x^n) = \frac{d}{dx} (\frac{2}{3} x^{-2})$$

$$\frac{d}{dx} (\frac{2}{3} x^{-2}) = -2 \cdot (\frac{2}{3} x^{-2-1})$$

Al simplificar esto, tenemos:

$$\frac{d}{dx} (\frac{2}{3} x^{-2}) = -\frac{4}{3} x^{-3}$$

$$f'(x)= -\frac{4}{3} x^{-3}$$

Finalmente, podemos escribir de la siguiente forma:

$$f'(x)= -\frac{4}{3x^3}$$

La regla de la potencia es:

$latex f'(x^n) = nx^{n-1}$

En este caso, tenemos el exponente $latex n=\frac{1}{3}$. Cuando usamos la regla de la potencia, tenemos:

$$\frac{d}{dx} (x^n) = \frac{d}{dx} (x^{\frac{1}{3}})$$

$$\frac{d}{dx} (x^{\frac{1}{3}}) = \frac{1}{3} \cdot (x^{\frac{1}{3}-1})$$

Al simplificar esto, tenemos:

$$\frac{d}{dx} (x^{\frac{1}{3}}) = \frac{1}{3} x^{-\frac{2}{3}}$$

$$f'(x)= \frac{1}{3} x^{-\frac{2}{3}}$$

Usando las leyes de los exponentes, podemos escribir de la siguiente forma:

$$f'(x)= \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$$

$$f'(x)= \frac{1}{3 \sqrt[3]{x^2}}$$

Tenemos la siguiente regla:

$latex f'(x^n) = nx^{n-1}$

Podemos usar las leyes de los exponentes para reescribir al radical:

$$ \sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}$$

Ahora, vemos que el exponente es $latex n = \frac{1}{2}$. Entonces, usando la regla de la potencia en la función, tenemos:

$$\frac{d}{dx} (x^n) = \frac{d}{dx} (x^{\frac{1}{2}})$$

$$\frac{d}{dx} (x^{\frac{1}{2}}) = \frac{1}{2} \cdot ( x^{\frac{1}{2}-1})$$

Simplificando, tenemos:

$$f'(x) = \frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}}$$

Usando las leyes de los exponentes, escribimos de la siguiente forma:

$$f'(x) = \frac{1}{2x^{\frac{1}{2}}}$$

$$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$$

Tenemos la siguiente regla:

$latex f'(x^n) = nx^{n-1}$

Usamos las leyes de los exponentes para escribir a la función así:

$$ \frac{1}{\sqrt{x}}=x^{-\frac{1}{2}}$$

El exponente de la función es $latex n = -\frac{1}{2}$. Entonces, al aplicar la regla de la potencia en la función, tenemos:

$$\frac{d}{dx} (x^n) = \frac{d}{dx} (x^{-\frac{1}{2}})$$

$$\frac{d}{dx} (x^{-\frac{1}{2}}) = -\frac{1}{2} \cdot ( x^{-\frac{1}{2}-1})$$

Al simplificar, tenemos:

$$f'(x) = -\frac{1}{2} x^{-\frac{3}{2}}$$

Podemos usar las leyes de los exponentes nuevamente para escribir:

$$f'(x) = -\frac{1}{2x^{\frac{3}{2}}}$$

$$f'(x) = -\frac{1}{2\sqrt{x^3}}$$