Regla de la Potencia – Ejercicios Resueltos y para Resolver

Los ejercicios de derivación que involucran las variables o funciones elevadas a un exponente numérico se pueden resolver usando la fórmula de la regla de la potencia. Esta fórmula nos permite derivar variables como, $latex x^n$, donde $latex n$ es un número real positivo, negativo o racional.

En casos especiales de funciones como las funciones polinómicas y trascendentales elevadas a un exponente numérico, la regla de la potencia se apoya en otra regla de la derivada. Aquí, veremos el resumen de la regla de la potencia. Además, exploraremos varios ejercicios con respuestas para comprender la aplicación de la fórmula de la regla de potencia.

CÁLCULO
Fórmula de la regla de la potencia de derivadas

Relevante para

Explorar la regla de la potencia de las derivadas con ejemplos.

Ver ejercicios

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Fórmula de la regla de la potencia de derivadas

Relevante para

Explorar la regla de la potencia de las derivadas con ejercicios.

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Resumen de la regla de la potencia

La regla de la potencia es una herramienta muy útil para derivar una variable o una función elevada a un exponente numérico. Es una regla que establece que la derivada de una variable elevada a un exponente numérico es igual al valor del exponente numérico multiplicado por la variable elevada a la cantidad del exponente numérico restado por uno.

Esto nos da la fórmula de la regla de potencia en diferentes casos como:

A) Variable única x elevada a un exponente numérico n

La fórmula es:

$latex f'(x^n) = nx^{n-1}$

Puedes usar esta forma de la fórmula de la regla de potencia para derivar funciones como:

✔️ $latex y = x^n$

✔️ $latex y = \frac{1}{x^n} = x^{-n}$

✔️ $latex y = \sqrt[n_2]{n_1} = x^{\frac{n_1}{n_2}}$

en donde

$latex n = $ cualquier número real
$latex \frac{n_1}{n_2} = n$, solo para funciones radicales

y no en las funciones

❌ $latex y = x^x$
❌ $latex y = x^{f(x)}$

B) Polinomios

Las funciones polinómicas son la suma/diferencia de términos algebraicos con diferentes exponentes. Así, la fórmula de la regla de potencias que se utilizará en funciones polinómicas estará respaldada por la suma/diferencia de derivadas. Cada término algebraico del polinomio utilizará la fórmula básica de la regla de la potencia.

Luego, la suma/diferencia de derivadas se aplicará a toda la función polinomial. Para ilustrar, la fórmula es:

$latex f'(x^{n_k} + … + x^{n_2} + x^{n_1} + c) = {n_k} x^{{n_k}-1} + … + {n_2} x^{{n_2}-1} + {n_1} x^{{n_1}-1} + 0$

donde

  • $latex n_k$ = el exponente del término algebraico con el mayor grado de exponente en el polinomio
  • $latex n_{\texttt{\#}}$ = los exponentes de los otros términos algebraicos en el polinomio
  • $latex c$ = constante, que si se deriva, es igual a cero

C) Funciones trascendentales elevadas a un exponente numérico n

Las funciones trascendentales son funciones que no pueden expresarse como una combinación finita de las operaciones aritméticas algebraicas de suma, resta, multiplicación o división. Algunos ejemplos de estas funciones son las funciones trigonométricas, las funciones logarítmicas, sus funciones inversas si existen, etc.

Cuando se eleva a un exponente numérico $latex n$, la regla de la potencia se aplica con la fórmula de la regla de la cadena. La regla de la potencia se usa como la derivada de la función exterior f de la función compuesta $latex f(g(x)$. Para ilustrar, la fórmula es

$latex f'(u^n) = nu^{n-1} \cdot u’$

donde

  • $latex u =$ cualquier función trascendental
  • $latex u’ =$ el método de la derivada de la función trascendental
  • $latex n =$ el exponente numérico de la función trascendental

Regla de potencia – Ejercicios resueltos

Usando la fórmula detallada anteriormente, podemos derivar varias variables, polinomios o funciones trascendentales elevadas a un exponente numérico. Cada uno de los siguientes ejemplos tiene su respectiva solución detallada.

EJERCICIO 1

Encuentra la derivada de $latex f(x) = x^{12}$.

Lo primero que debemos hacer es identificar el caso y escribir la forma apropiada de la fórmula de la regla de potencia. Dado que esta es una sola variable elevada a un exponente numérico, podemos escribir esta forma de fórmula de regla de potencia para nuestra referencia:

$latex f'(x^n) = nx^{n-1}$

Luego, determinemos el exponente de nuestra variable. En este caso, nuestro exponente es 12. Por lo tanto,

$latex n = 12$

Ahora podemos aplicar la fórmula de la regla de la potencia para derivar el problema:

$latex \frac{d}{dx} (x^n) = \frac{d}{dx} (x^{12})$

$latex \frac{d}{dx} (x^n) = nx^{n-1}$

$latex \frac{d}{dx} (x^n) = 12 \cdot x^{12-1}$

Simplificando algebraicamente, tenemos

$latex \frac{d}{dx} (x^n) = 12 \cdot x^{11}$

Y la respuesta final es:

$latex f'(x) = 12x^{11}$

EJERCICIO 2

¿Cuál es la derivada de $latex f(x) = x^{10}-5x^6+2x^5-3x^2+10$?

En primer lugar, necesitamos identificar el caso y escribir la forma apropiada de la fórmula de la regla de potencia. Dado que este es un polinomio con diferentes términos algebraicos elevados a diferentes exponentes numéricos, tenemos:

$$f'(x^{n_k} + … + x^{n_2} + x^{n_1} + c) = {n_k} x^{{n_k}-1} + … + {n_2} x^{{n_2}-1} + {n_1} x^{{n_1}-1} + 0$$

Ahora podemos aplicar la fórmula de la regla de la potencia para derivar el problema:

$$\frac{d}{dx} (x^{n_k} + … + x^{n_2} + x^{n_1} + c) =\frac{d}{dx} (x^{10}-5x^6+2x^5-3x^2+10)$$

$$= 10x^{10-1} – 5 \cdot (6x^{6-1}) + 2 \cdot (5x^{5-1})– 3 \cdot (2x^{2-1}) + 0$$

Simplificando algebraicamente, tenemos

$$\frac{d}{dx} (f(x)) = 10x^9 – 5(6x^5) + 2(5x^4) – 3(2x)$$

$$= 10x^9 – 30x^5 + 10x^4 – 6x$$

Y la respuesta final es:

$$f'(x) = 10x^9 – 30x^5 + 10x^4 – 6x$$

EJERCICIO 3

Encuentra la derivada de $latex f(x) = \frac{3}{x^{15}}$.

Primero identifiquemos el caso y escribamos la forma apropiada de la fórmula de la regla de potencia. Dado que esta es una función racional simple, podemos aplicar las leyes de los exponentes para transformar la forma racional en su forma exponencial.

Al hacer esto, tendremos una sola variable elevada a un exponente numérico negativo. Luego, escribimos esta forma de fórmula de regla de poder para nuestra referencia:

$latex f'(x^n) = nx^{n-1}$

Ahora, pasemos la función de forma racional a exponencial aplicando las leyes de los exponentes:

$latex f(x) = \frac{3}{x^{15}}$

$latex f(x) = 3x^{-15}$

Ahora, podemos aplicar la fórmula de la regla de la potencia para derivar el problema:

$$\frac{d}{dx} (x^n) = \frac{d}{dx} (3x^{-15})$$

$$\frac{d}{dx} (x^n) = nx^{n-1}$$

$$\frac{d}{dx} (x^n) = 3 \cdot (-15x^{(-15)-1})$$

Simplificando algebraicamente, tenemos

$$\frac{d}{dx} (x^n) = -45x^{-16}$$

Transformando la ecuación derivada de vuelta a la forma racional aplicando las leyes de los exponentes, tenemos

$$\frac{d}{dx} (x^n) = \frac{-45}{x^{16}}$$

Y la respuesta final es:

$$f'(x) = -\frac{45}{x^{16}}$$

EJERCICIO 4

¿Cuál es la derivada de $latex f(x) = 7 \sqrt[29]{x^{11}}$?

Como esta es una función radical, podemos aplicar las leyes de los exponentes para transformar la forma radical en su forma exponencial. Al hacer esto, tendremos una sola variable elevada a un exponente numérico racional.

Entonces, escribimos esta forma de fórmula de regla de poder para nuestra referencia:

$latex f'(x^n) = nx^{n-1}$

Ahora, pasemos la función de forma radical a exponencial:

$latex f(x) = 7 \sqrt[29]{x^{11}}$

$latex f(x) = 7 x^{\frac{11}{29}}$

Luego, determinemos el exponente de nuestra variable. En este caso, nuestro exponente es $latex \frac{11}{29}$. Por eso,

Ahora podemos aplicar la fórmula de la regla de la potencia para derivar el problema:

$$\frac{d}{dx} (x^n) = \frac{d}{dx} (7x^{\frac{11}{29}})$$

$$\frac{d}{dx} (x^n) = nx^{n-1}$$

$$\frac{d}{dx} (x^n) = 7 \cdot \left[ \left(\frac{11}{29} \right) \cdot x^{\left(\frac{11}{29} \right)-1} \right]$$

Simplificando algebraicamente, tenemos

$$\frac{d}{dx} (x^n) = 7 \cdot \left(\frac{11}{29} x^{-\frac{18}{29}} \right)$$

$$\frac{d}{dx} (x^n) = \frac{77}{29} x^{-\frac{18}{29}} $$

Aplicando las leyes de los exponentes, tenemos

$$ \frac{d}{dx} (x^n) = \frac{77}{29x^{\frac{18}{29}}}$$

Y la respuesta final es:

$$f'(x) = \frac{77}{29 \hspace{2.3 pt} \sqrt[29]{x^{18}}}$$
en forma radical

EJERCICIO 5

Encuentra la derivada de $latex f'(x) = \frac{1}{\sqrt{x^5}}$.

Como se trata de un híbrido de funciones racionales y radicales, podemos aplicar las leyes de los exponentes para transformar esta función en su forma exponencial.

Al hacer esto, tendremos una sola variable elevada a un exponente numérico racional negativo. Entonces, escribimos esta forma de fórmula de regla de poder para nuestra referencia:

$latex f'(x^n) = nx^{n-1}$

Ahora, pasemos la función de forma radical a exponencial:

$latex f(x) = \frac{1}{\sqrt{x^5}}$

$latex f(x) = x^{-\frac{5}{2}}$

Luego, determinemos el exponente de nuestra variable. En este caso, nuestro exponente es $latex -\frac{5}{2}$. Por eso,

Ahora, podemos aplicar la fórmula de la regla de la potencia para derivar el problema:

$$\frac{d}{dx} (x^n) = \frac{d}{dx} (x^{-\frac{5}{2}})$$

$$\frac{d}{dx} (x^n) = nx^{n-1}$$

$$\frac{d}{dx} (x^n) = \left(-\frac{5}{2} \right) \cdot x^{\left(-\frac{5}{2} \right)-1}$$

Simplificando algebraicamente, tenemos

$$\frac{d}{dx} (x^n) = -\frac{5}{2} x^{-\frac{7}{2}}$$

Aplicando las leyes de los exponentes, tenemos

$$\frac{d}{dx} (x^n) = -\frac{5}{2x^{\frac{7}{2}}}$$

Y la respuesta final es:

$$f'(x) = -\frac{5}{2 \hspace{2.3 pt} \sqrt{x^7}}$$
en forma radical

EJERCICIO 6

¿Cuál es la derivada de $latex f(x) = \sin^{2}{(x)}$?

Dado que esta es una función trascendental, específicamente una función trigonométrica elevada a un exponente numérico, podemos escribir esta forma de fórmula de regla de potencia para nuestra referencia:

$latex f'(u^n) = nu^{n-1} \cdot u’$

Identifiquemos la función trascendental y el exponente numérico del problema dado:

Tenemos

$latex u = \sin{x}$

$latex n = 2$

Ahora podemos aplicar la fórmula de la regla de la potencia para derivar el problema:

$$\frac{d}{dx} (u^n) = \frac{d}{dx} ((\sin{(x)})^2)$$

$$\frac{d}{dx} (u^n) = nu^{n-1} \cdot u’$$

$$\frac{d}{dx} (u^n) = 2 \cdot (\sin{(x)})^{2-1} \cdot \cos{(x)}$$

Simplificando algebraicamente y aplicando identidades trigonométricas aplicables, tenemos

$$\frac{d}{dx} (u^n) = 2 \sin{(x)} \cos{(x)}$$

$$\frac{d}{dx} (u^n) = \sin{(2x)}$$

Y la respuesta final es:

$latex f'(x) = \sin{(2x)}$

EJERCICIO 7

Encuentra la derivada de $latex f(x) = \frac{1}{e^{2x}}$.

Como se trata de un híbrido de funciones racionales y trascendentales, podemos aplicar las leyes de los exponentes para transformar esta función en su forma exponencial.

Al hacer esto, tendremos una función trascendental elevada a un exponente numérico negativo. Entonces, podemos escribir esta forma de fórmula de regla de poder para nuestra referencia:

$latex f'(u^n) = nu^{n-1} \cdot u’$

Ahora pasemos la función de forma racional a exponencial:

$latex f(x) = \frac{1}{e^{2x}}$

$latex f(x) = e^{-2x}$

Dado que nuestra función trascendental en este problema dado es una función exponencial, podemos aceptar un exponente variable como parte de las características de la función. Podemos expandir $latex e^{-2x}$ aplicando de nuevo las leyes de los exponentes:

$latex f(x) = e^{-2x}$
$latex f(x) = (e^x)^{-2}$

Luego, identifiquemos la función trascendental y el exponente numérico del problema dado:

Tenemos

$latex u = e^x$
$latex n = -2$

Ahora podemos aplicar la fórmula de la regla de la potencia para derivar el problema:

$$\frac{d}{dx} (u^n) = \frac{d}{dx} (e^{-2x})$$

$$\frac{d}{dx} (u^n) = nu^{n-1} \cdot u’$$

$$\frac{d}{dx} (u^n) = 2 \cdot (e^x)^{-2-1} \cdot e^x$$

Simplificando algebraicamente y aplicando las leyes de los exponentes, tenemos

$$\frac{d}{dx} (u^n) = 2 \cdot (e^x)^{-3} \cdot e^x$$

$$\frac{d}{dx} (u^n) = 2(e^x)^{-3+1}$$

$$\frac{d}{dx} (u^n) = 2(e^x)^{-2}$$

$$\frac{d}{dx} (u^n) = 2e^{-2x}$$

$$\frac{d}{dx} (u^n) = \frac{2}{e^{2x}}$$

Y la respuesta final es:

$$f'(x) = \frac{2}{e^{2x}}$$


Regla de la potencia – Ejercicios para resolver

Resuelve los siguientes problemas de derivación y prueba tus conocimientos sobre este tema. Usa la fórmula de la regla de potencia detallada arriba para resolver los ejercicios.

Encuentra la derivada de $latex f(x) = 35x^{36}$.

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¿Cuál es la derivada de $latex f(x) = 40x^{30}+20x^{10}-5x^{\frac{5}{2}}+2$?

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Deriva $latex f(x) = 30 \sqrt[17]{x^8} + \frac{1}{\sqrt{x}}$

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Deriva $latex \sqrt{\cos{(x)}}$

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Encuentra la derivada de $latex \frac{1}{5^{3x}}$

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