Volumen de un Tetraedro – Fórmulas y Ejercicios

Un tetraedro es una pirámide regular que tiene cuatro caras triangulares. Esto significa que podemos calcular su volumen al multiplicar el área de su base por la altura del tetraedro y dividir por tres.

A continuación, conoceremos la fórmula para encontrar el volumen de un tetraedro. Aprenderemos a derivar esta fórmula y la usaremos para resolver algunos ejercicios de práctica.

GEOMETRÍA
Fórmula del volumen de un tetraedro regular

Relevante para…

Aprender a calcular el volumen de un tetraedro con ejercicios.

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Fórmula del volumen de un tetraedro regular

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Fórmula del volumen de un tetraedro

Los tetraedros son figuras tridimensionales formadas de cuatro caras triangulares. Dado que el tetraedro es una pirámide triangular, podemos calcular su área al multiplicar el área de su base por la longitud de su altura y dividir por 3.

La fórmula del volumen de un tetraedro regular es:

V=\frac{{{a}^3}\sqrt{2}}{12}

Demostración de la fórmula del volumen de un tetraedro

Como mencionamos anteriormente, los tetraedros son pirámides triangulares. Además, el área de cualquier pirámide puede ser calculada al multiplicar el área de su base por la altura de la pirámide y dividir por tres. Entonces, tenemos:

V=\frac{1}{3}A_{b}H

en donde, A_{b} es el área de la base y H es la altura del tetraedro.

diagrama de un tetraedro con lados y altura

La base de un tetraedro es un triángulo equilátero y sabemos que el área de cualquier triángulo es igual a un medio de la base multiplicada por la altura. Entonces, tenemos:

A_{b}=\frac{1}{2}bh

diagrama de un triángulo equilátero con altura

La base del triángulo es igual a uno de los lados del tetraedro, a. Además, la altura de un triángulo equilátero es igual a \frac{\sqrt{3}}{2}a, en donde a es la longitud de uno de los lados. Entonces, tenemos

A_{b}=\frac{1}{2}bh

A_{b}=\frac{1}{2}a\left( \frac{\sqrt{3}}{2}a\right)

A_{b}=\frac{\sqrt{3}}{4}{{a}^2}

Finalmente, tenemos que la altura de un tetraedro es igual a:

H=\frac{\sqrt{6}}{3}a

Sustituyendo todo esto en la fórmula del volumen de un tetraedro, tenemos:

V=\frac{1}{3}A_{b}H

V=\frac{1}{3}\left(\frac{1}{2}bh\right)\left(\frac{\sqrt{6}}{3}a\right)

V=\frac{{{a}^3}\sqrt{18}}{36}

V=\frac{{{a}^3}\sqrt{9\times 2}}{36}

V=\frac{3{{a}^3}\sqrt{2}}{36}

V=\frac{{{a}^3}\sqrt{2}}{12}

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Volumen de un tetraedro – Ejercicios resueltos

La fórmula del volumen de un tetraedro es usada para resolver los siguientes ejercicios de práctica. Cada ejercicio tiene su respectiva solución, pero intenta resolver los ejercicios tú mismo antes de mirar la respuesta.

EJERCICIO 1

Si es que un tetraedro tiene lados con una longitud de 3 m, ¿cuál es su volumen?

Para encontrar el volumen del tetraedro dado, simplemente podemos aplicar la fórmula del volumen sustituyendo a=3. Entonces, tenemos:

V=\frac{{{a}^3}\sqrt{2}}{12}

V=\frac{{{3}^3}\sqrt{2}}{12}

V=\frac{9\sqrt{2}}{12}

V=1.06

El volumen del tetraedro es 1.06 {{m}^3}.

EJERCICIO 2

Un tetraedro tiene lados con una longitud de 20 cm. Calcula su volumen.

Tenemos que a=20. Entonces, usamos la fórmula del volumen de un tetraedro sustituyendo la longitud dada:

V=\frac{{{a}^3}\sqrt{2}}{12}

V=\frac{{{20}^3}\sqrt{2}}{12}

V=\frac{8000\sqrt{2}}{12}

V=942.8

El volumen del tetraedro es 942.8 {{cm}^3}.

EJERCICIO 3

¿Cuál es el volumen de un tetraedro que tiene lados con una longitud de 10 m?

Usamos la fórmula del volumen sustituyendo el valor de la longitud de los lados. Entonces, tenemos:

V=\frac{{{a}^3}\sqrt{2}}{12}

V=\frac{{{10}^3}\sqrt{2}}{12}

V=\frac{1000\sqrt{2}}{12}

V=117.9

El volumen del tetraedro es 117.9 {{m}^3}.

EJERCICIO 4

Si es que el volumen de un tetraedro es igual a 1000 {{m}^3}, ¿cuál es la longitud de sus lados?

En este caso, tenemos el valor del volumen y queremos obtener la longitud de uno de sus lados. Entonces, podemos usar la fórmula del volumen del tetraedro y resolver para a:

V=\frac{{{a}^3}\sqrt{2}}{12}

1000=\frac{{{a}^3}\sqrt{2}}{12}

12000={{a}^3}\sqrt{2}

12000={{a}^3}\sqrt{2}

8485.3={{a}^3}

a=20.4

Entonces, los lados del tetraedro miden 20.4 m.

EJERCICIO 5

El volumen de un tetraedro es igual a 400 {{m}^3}. ¿Cuál es la longitud de sus lados?

Similar al problema anterior, vamos a usar la fórmula del volumen de un tetraedro y luego resolveremos para a:

V=\frac{{{a}^3}\sqrt{2}}{12}

400=\frac{{{a}^3}\sqrt{2}}{12}

4800={{a}^3}\sqrt{2}

4800={{a}^3}\sqrt{2}

3394.1={{a}^3}

a=15.03

Entonces, los lados del tetraedro miden 15.03 m.

EJERCICIO 6

Si es que un tetraedro tiene lados con una longitud de \sqrt[3]{2} m, ¿cuál es su volumen?

Vamos a usar la fórmula del volumen con la longitud dada. Entonces, tenemos:

V=\frac{{{a}^3}\sqrt{2}}{12}

V=\frac{{{(\sqrt[3]{2})}^3}\sqrt{2}}{12}

V=\frac{2\sqrt{2}}{12}

V=0.236

El volumen del tetraedro es 0.236 {{m}^3}.

EJERCICIO 7

Calcula el volumen de un tetraedro que tiene lados con una longitud de 9.5 cm.

Usamos el valor de a=9.5 en la fórmula del volumen de un tetraedro. Entonces, tenemos:

V=\frac{{{a}^3}\sqrt{2}}{12}

V=\frac{{{9.5}^3}\sqrt{2}}{12}

V=\frac{857.375\sqrt{2}}{12}

V=101.04

El volumen del tetraedro es 101.04 {{cm}^3}.

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Volumen de un tetraedro – Ejercicios para resolver

Usa la fórmula del volumen de un tetraedro para resolver los siguientes ejercicios de práctica. Si tienes problemas con estos ejercicios, puedes estudiar los ejercicios resueltos de arriba.

¿Cuál es el volumen de un tetraedro que tiene lados con una longitud de 4 m?

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¿Cuál es el volumen de un tetraedro que tiene lados con una longitud de 9cm?

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Si es que el volumen de un tetraedro es 5.5{{m}^3}, ¿cuál es la longitud de uno de los lados?

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Si es que el volumen de un tetraedro es igual a 174.6 {{m}^3}, ¿cuál es la longitud de sus lados?

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¿Cuál es el volumen de un tetraedro que tiene lados con una longitud de 7.7 m?

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Véase también

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