El tetraedro regular es uno de los cinco sólidos platónicos. Podemos considerar a un tetraedro como una pirámide regular triangular. Su altura puede ser calculada usando una fórmula derivada a partir del teorema de Pitágoras.
A continuación, conoceremos la fórmula de la altura de un tetraedro regular. Conoceremos cómo derivar esta fórmula y aprenderemos a usarla para resolver algunos ejercicios de práctica.
GEOMETRÍA
Relevante para…
Aprender a calcular la altura de un tetraedro con ejercicios.
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Fórmula de la altura de un tetraedro
Los tetraedros son figuras tridimensionales que tienen todas sus caras con una forma triangular. Los tetraedros pueden ser consideradas como pirámides triangulares regulares.
La altura de un tetraedro es la longitud del segmento perpendicular a la base y que conecta al vértice opuesto. La fórmula de la altura de un tetraedro regular es:
| $latex h=\frac{a\sqrt{6}}{3}$ |
Demostración de la fórmula de la altura de un tetraedro
Para derivar la fórmula de la altura de un tetraedro, consideramos a la siguiente figura:
Podemos mirar que la altura es el segmento perpendicular a la base del tetraedro que une a su base con el vértice opuesto. Del diagrama, podemos ver que la altura parte desde 2/3 de L, en donde L es la altura de una cara del tetraedro.
Podemos calcular la longitud de la altura del tetraedro usando el teorema de Pitágoras, en donde, a es la hipotenusa, h es un cateto y 2/3 de L es el otro cateto. Entonces, tenemos
$latex {{h}^2}+{{(\frac{2}{3}L)}^2}={{a}^2}$
$latex {{h}^2}+\frac{4}{9}{{L}^2}={{a}^2}$
Ahora, considerando que las caras de un tetraedro regular son triángulos equiláteros, podemos encontrar una expresión para L, recordando que la altura de un triángulo equilátero es igual a $latex \frac{a~\sqrt{3}}{2}$.
Sustituyendo esto en la ecuación, tenemos:
$latex {{h}^2}+\frac{4}{9}{{(\frac{a~\sqrt{3}}{2})}^2}={{a}^2}$
$latex {{h}^2}+\frac{4}{9}(\frac{{{a}^2}(3)}{4})={{a}^2}$
$latex {{h}^2}+\frac{{{a}^2}}{3}={{a}^2}$
$latex {{h}^2}={{a}^2}-\frac{{{a}^2}}{3}$
$latex {{h}^2}=\frac{2{{a}^2}}{3}$
$latex h=\frac{\sqrt{2{{a}^2}}}{\sqrt{3}}$
$latex h=\frac{a~\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$
$latex h=\frac{a~\sqrt{2}(\sqrt{3})}{3}$
$latex h=\frac{a~\sqrt{6})}{3}$
Altura de un tetraedro – Ejercicios resueltos
La fórmula de la altura de un tetraedro es usada para resolver los siguientes ejercicios. Intenta resolver los ejercicios tú mismo antes de mirar la respuesta.
EJERCICIO 1
Si es que los lados de un tetraedro tienen una longitud de 4 m, ¿cuál es su altura?
Solución
Tenemos que usar la fórmula de la altura con el valor a=4. Entonces, tenemos:
$latex h=\frac{a~\sqrt{6}}{3}$
$latex h=\frac{4~\sqrt{6}}{3}$
$latex h=3.27$
La altura del tetraedro es 3.27 m.
EJERCICIO 2
Determina la altura de un tetraedro que tiene lados con una longitud de 6 m.
Solución
Usando el valor a=6 en la fórmula de la altura del tetraedro, tenemos:
$latex h=\frac{a~\sqrt{6}}{3}$
$latex h=\frac{6~\sqrt{6}}{3}$
$latex h=4.9$
Entonces, la altura del tetraedro es 4.9 m.
EJERCICIO 3
¿Cuál es la altura de un tetraedro que tiene lados con una longitud de 10 cm?
Solución
Vamos a aplicar la fórmula de la altura de un tetraedro usando el valor a=10. Entonces, tenemos
$latex h=\frac{a~\sqrt{6}}{3}$
$latex h=\frac{10~\sqrt{6}}{3}$
$latex h=8.16$
Entonces, la altura del tetraedro es 8.16 cm.
EJERCICIO 4
Si es que un tetraedro tiene una altura de 8 m, ¿cuál es la longitud de uno de sus lados?
Solución
En este caso, conocemos la longitud de la altura y tenemos que calcular la longitud de uno de los lados. Entonces, tenemos que usar la fórmula de la altura y resolver para a:
$latex h=\frac{a~\sqrt{6}}{3}$
$latex 8=\frac{a~\sqrt{6}}{3}$
$latex 24=a~\sqrt{6}$
$latex a=9.8$
Entonces, los lados del tetraedro tienen una longitud de 9.8 m.
EJERCICIO 5
Un tetraedro tiene una altura con una longitud de 15 cm. Determina la longitud de sus lados.
Solución
Similar al problema anterior, vamos a usar la fórmula de la altura para luego resolver para a:
$latex h=\frac{a~\sqrt{6}}{3}$
$latex 15=\frac{a~\sqrt{6}}{3}$
$latex 45=a~\sqrt{6}$
$latex a=18.37$
Los lados del tetraedro tienen una longitud de 18.37 m.
EJERCICIO 6
¿Cuál es la altura de un tetraedro que tiene lados con una longitud de 11.5 cm?
Solución
Al aplicar la fórmula de la altura con el valor a=11.5, tenemos:
$latex h=\frac{a~\sqrt{6}}{3}$
$latex h=\frac{11.5~\sqrt{6}}{3}$
$latex h=9.4$
Entonces, la altura del tetraedro es 9.4 cm.
EJERCICIO 7
Determina la altura de un tetraedro que tiene lados con una longitud de 24.5 m.
Solución
Usando el valor a=24.5 en la fórmula de la altura del tetraedro, tenemos:
$latex h=\frac{a~\sqrt{6}}{3}$
$latex h=\frac{24.5~\sqrt{6}}{3}$
$latex h=20$
La altura del tetraedro es 20 m.
Altura de un tetraedro – Ejercicios para resolver
Usa lo aprendido sobre la altura de un tetraedro para resolver los siguientes ejercicios. Si tienes problemas con estos ejercicios, puedes guiarte con los ejercicios resueltos arriba.
Véase también
¿Interesado en aprender más sobre tetraedros? Mira estas páginas:
Jefferson Huera Guzmán
Jefferson es el autor principal y administrador de Neurochispas.com. Los contenidos interactivos de Matemáticas y Física que he creado han ayudado a muchos estudiantes.
