El tetraedro regular es uno de los cinco sólidos platónicos. Podemos considerar a un tetraedro como una pirámide regular triangular. Su altura puede ser calculada usando una fórmula derivada a partir del teorema de Pitágoras.

A continuación, conoceremos la fórmula de la altura de un tetraedro regular. Conoceremos cómo derivar esta fórmula y aprenderemos a usarla para resolver algunos ejercicios de práctica.

GEOMETRÍA
Fórmula de la altura de un tetraedro

Relevante para

Aprender a calcular la altura de un tetraedro con ejercicios.

Ver ejercicios

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Fórmula de la altura de un tetraedro

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Fórmula de la altura de un tetraedro

Los tetraedros son figuras tridimensionales que tienen todas sus caras con una forma triangular. Los tetraedros pueden ser consideradas como pirámides triangulares regulares.

La altura de un tetraedro es la longitud del segmento perpendicular a la base y que conecta al vértice opuesto. La fórmula de la altura de un tetraedro regular es:

h=\frac{a\sqrt{6}}{3}

Demostración de la fórmula de la altura de un tetraedro

Para derivar la fórmula de la altura de un tetraedro, consideramos a la siguiente figura:

diagrama para derivar la fórmula de la altura de un tetraedro

Podemos mirar que la altura es el segmento perpendicular a la base del tetraedro que une a su base con el vértice opuesto. Del diagrama, podemos ver que la altura parte desde 2/3 de L, en donde L es la altura de una cara del tetraedro.

Podemos calcular la longitud de la altura del tetraedro usando el teorema de Pitágoras, en donde, a es la hipotenusa, h es un cateto y 2/3 de L es el otro cateto. Entonces, tenemos

{{h}^2}+{{(\frac{2}{3}L)}^2}={{a}^2}

{{h}^2}+\frac{4}{9}{{L}^2}={{a}^2}

Ahora, considerando que las caras de un tetraedro regular son triángulos equiláteros, podemos encontrar una expresión para L, recordando que la altura de un triángulo equilátero es igual a \frac{a~\sqrt{3}}{2}.

Sustituyendo esto en la ecuación, tenemos:

{{h}^2}+\frac{4}{9}{{(\frac{a~\sqrt{3}}{2})}^2}={{a}^2}

{{h}^2}+\frac{4}{9}(\frac{{{a}^2}(3)}{4})={{a}^2}

{{h}^2}+\frac{{{a}^2}}{3}={{a}^2}

{{h}^2}={{a}^2}-\frac{{{a}^2}}{3}

{{h}^2}=\frac{2{{a}^2}}{3}

h=\frac{\sqrt{2{{a}^2}}}{\sqrt{3}}

h=\frac{a~\sqrt{2}}{\sqrt{3}}

h=\frac{a~\sqrt{2}(\sqrt{3})}{3}

h=\frac{a~\sqrt{6})}{3}


Altura de un tetraedro – Ejercicios resueltos

La fórmula de la altura de un tetraedro es usada para resolver los siguientes ejercicios. Intenta resolver los ejercicios tú mismo antes de mirar la respuesta.

EJERCICIO 1

Si es que los lados de un tetraedro tienen una longitud de 4 m, ¿cuál es su altura?

Tenemos que usar la fórmula de la altura con el valor a=4. Entonces, tenemos:

h=\frac{a~\sqrt{6}}{3}

h=\frac{4~\sqrt{6}}{3}

h=3.27

La altura del tetraedro es 3.27 m.

EJERCICIO 2

Determina la altura de un tetraedro que tiene lados con una longitud de 6 m.

Usando el valor a=6 en la fórmula de la altura del tetraedro, tenemos:

h=\frac{a~\sqrt{6}}{3}

h=\frac{6~\sqrt{6}}{3}

h=4.9

Entonces, la altura del tetraedro es 4.9 m.

EJERCICIO 3

¿Cuál es la altura de un tetraedro que tiene lados con una longitud de 10 cm?

Vamos a aplicar la fórmula de la altura de un tetraedro usando el valor a=10. Entonces, tenemos

h=\frac{a~\sqrt{6}}{3}

h=\frac{10~\sqrt{6}}{3}

h=8.16

Entonces, la altura del tetraedro es 8.16 cm.

EJERCICIO 4

Si es que un tetraedro tiene una altura de 8 m, ¿cuál es la longitud de uno de sus lados?

En este caso, conocemos la longitud de la altura y tenemos que calcular la longitud de uno de los lados. Entonces, tenemos que usar la fórmula de la altura y resolver para a:

h=\frac{a~\sqrt{6}}{3}

8=\frac{a~\sqrt{6}}{3}

24=a~\sqrt{6}

a=9.8

Entonces, los lados del tetraedro tienen una longitud de 9.8 m.

EJERCICIO 5

Un tetraedro tiene una altura con una longitud de 15 cm. Determina la longitud de sus lados.

Similar al problema anterior, vamos a usar la fórmula de la altura para luego resolver para a:

h=\frac{a~\sqrt{6}}{3}

15=\frac{a~\sqrt{6}}{3}

45=a~\sqrt{6}

a=18.37

Los lados del tetraedro tienen una longitud de 18.37 m.

EJERCICIO 6

¿Cuál es la altura de un tetraedro que tiene lados con una longitud de 11.5 cm?

Al aplicar la fórmula de la altura con el valor a=11.5, tenemos:

h=\frac{a~\sqrt{6}}{3}

h=\frac{11.5~\sqrt{6}}{3}

h=9.4

Entonces, la altura del tetraedro es 9.4 cm.

EJERCICIO 7

Determina la altura de un tetraedro que tiene lados con una longitud de 24.5 m.

Usando el valor a=24.5 en la fórmula de la altura del tetraedro, tenemos:

h=\frac{a~\sqrt{6}}{3}

h=\frac{24.5~\sqrt{6}}{3}

h=20

La altura del tetraedro es 20 m.

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Altura de un tetraedro – Ejercicios para resolver

Usa lo aprendido sobre la altura de un tetraedro para resolver los siguientes ejercicios. Si tienes problemas con estos ejercicios, puedes guiarte con los ejercicios resueltos arriba.

Determina la altura de un tetraedro que tiene lados con una longitud de 5 m.

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¿Cuál es la altura de un tetraedro que tiene lados con una longitud de 7 cm?

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Si es que un tetraedo tiene una altura de 9.8 m, ¿cuál es la longitud de sus lados?

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La altura de un tetraedro mide 11.43 m. ¿Cuál es la longitud de sus lados?

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Encuentra la altura de un tetraedro que tiene lados con una longitud de 18.5 m

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Véase también

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