El área de un triángulo equilátero es la cantidad de espacio que el triángulo ocupa en el espacio bidimensional. Recordemos que un triángulo equilátero es un triángulo que tiene tres lados iguales y en el que todos sus ángulos internos miden 60°. Podemos calcular el área de este tipo de triángulos simplemente usando la longitud de uno de sus lados.
A continuación, conoceremos la fórmula que podemos usar para calcular el área de un triángulo equilátero. También, veremos algunos ejercicios resueltos en los que aplicaremos esta fórmula para encontrar la respuesta.
Fórmula del área de un triángulo equilátero
La fórmula para calcular el área de un triángulo equilátero está dada por:
| $latex A= \frac{ \sqrt{3}}{4}{{a}^2}$ |
en donde, a representa a la longitud de uno de los lados del triángulo equilátero.
Derivación de esta fórmula
Podemos tomar un triángulo equilátero con lados de longitud a. Luego, trazamos un bisector perpendicular a la base con altura h:
Ahora, tenemos la siguiente fórmula para calcular el áre de cualquier triángulo:
$latex \text{Área}= \frac{1}{2} \times \text{base} \times \text{altura}$
Aquí, la base es igual a “a” y la altura es igual a “h“.
Si es que aplicamos el teorema de Pitágoras en el triángulo, tenemos:
$latex {{a}^2}={{h}^2}+{{( \frac{a}{2})}^2}$
⇒ $latex {{h}^2}={{a}^2}- \frac{{{a}^2}}{4}$
⇒ $latex {{h}^2}=\frac{3{{a}^2}}{4}$
⇒ $latex h=\frac{\sqrt{3}~a}{2}$
Hemos encontrado el valor de la altura, h. Usando esta expresión en la fórmula del área, tenemos:
$latex \text{Área}= \frac{1}{2} \times \text{base} \times \text{altura}$
$latex A=\frac{1}{2}\times a \times \frac{\sqrt{3}~a}{2}$
⇒ $latex A=\frac{\sqrt{3}~{{a}^2}}{4}$
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Ejercicios de área de un triángulo equilátero resueltos
Aplica la fórmula del área de un triángulo equilátero indicada arriba para resolver los siguientes ejercicios. Cada ejercicio tiene su respectiva solución, pero es recomendable que intentes resolver los ejercicios tú mismo antes de mirar la solución.
EJERCICIO 1
Encuentra el área de un triángulo equilátero que tiene lados de longitud 10 m.
Solución
Podemos usar la fórmula del área con la longitud de 10 m:
$latex A= \frac{ \sqrt{3}}{4}{{a}^2}$
$latex A= \frac{ \sqrt{3}}{4}({{10}^2})$
$latex A= \frac{ \sqrt{3}}{4}(100)$
$latex A=43.3$
El área del triángulo equilátero es 43.3 m².
EJERCICIO 2
¿Cuál es el área de un triángulo equilátero que tiene lados con longitud 14 m?
Solución
Tenemos una longitud de 14 m. Entonces, usando la fórmula con este valor, tenemos:
$latex A= \frac{ \sqrt{3}}{4}{{a}^2}$
$latex A= \frac{ \sqrt{3}}{4}({{14}^2})$
$latex A= \frac{ \sqrt{3}}{4}(196)$
$latex A=84.87$
El área del triángulo equilátero es 84.87 m².
EJERCICIO 3
Un triángulo equilátero tiene lados de longitud 15 m. ¿Cuál es su área?
Solución
Reemplazamos $latex a=15$ en la fórmula del área:
$latex A= \frac{ \sqrt{3}}{4}{{a}^2}$
$latex A= \frac{ \sqrt{3}}{4}({{15}^2})$
$latex A= \frac{ \sqrt{3}}{4}(225)$
$latex A=97.43$
El área del triángulo equilátero es 97.43 m².
EJERCICIO 4
Un triángulo equilátero tiene un área de 35.07 m². ¿Cuál es la longitud de sus lados?
Solución
En este caso, partimos del área y queremos encontrar la longitud de los lados. Entonces, resolvemos para a:
$latex A= \frac{ \sqrt{3}}{4}{{a}^2}$
$latex 35.07= \frac{ \sqrt{3}}{4}{{a}^2}$
$latex 35.07=0.433{{a}^2}$
$latex {{a}^2}=81$
$latex a=9$
La longitud de los lados del triángulo es 9 m.
EJERCICIO 5
¿Cuál es la longitud de los lados de un triángulo equilátero que tiene un área de 73.18 m²?
Solución
Usamos la fórmula del área y resolvemos para la longitud:
$latex A= \frac{ \sqrt{3}}{4}{{a}^2}$
$latex 73.18= \frac{ \sqrt{3}}{4}{{a}^2}$
$latex 73.18=0.433{{a}^2}$
$latex {{a}^2}=169$
$latex a=13$
La longitud de los lados del triángulo es 13 m.
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Ejercicios de área de un triángulo equilátero para resolver
Pon en práctica el uso de la fórmula aprendida para resolver los siguientes ejercicios. Si necesitas ayuda con esto, puedes mirar los ejercicios resueltos de arriba.
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Véase también
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