El icosaedro es uno de los cinco sólidos platónicos. Para calcular su volumen, podemos usar la longitud de uno de sus lados en una fórmula estándar. Por otro lado, su área superficial es calculada al sumar las áreas de todas las caras triangulares.
A continuación, aprenderemos a calcular el volumen y el área superficial de un icosaedro. Conoceremos cómo obtener sus fórmulas y las aplicaremos para resolver algunos ejercicios de práctica.
Cómo calcular volumen de un icosaedro
El icosaedro es una figura tridimensional regular, por lo que todas sus caras tienen la misma forma y las mismas dimensiones. Entonces, podemos calcular el volumen de un icosaedro usando la longitud de uno de sus lados en la siguiente fórmula:
| $$V=\frac{5(3+\sqrt{5})}{12}{{a}^3}$$ |
en donde, a es la longitud de uno de los lados del icosaedro.
Alternativamente, podemos simplificar esta ecuación al obtener una aproximación para la fracción en el lado derecho de la ecuación. Entonces, tenemos:
$latex V=2.1817{{a}^3}$
Cómo calcular el área superficial de un icosaedro
Podemos usar la siguiente fórmula para determinar el área superficial de un icosaedro:
| $latex A_{s}=5\sqrt{3}~{{a}^2}$ |
en donde, a es la longitud de uno de los lados del icosaedro.
Esta fórmula puede ser simplificada de la siguiente manera:
$latex A_{s}\approx 8.66{{a}^2}$
Derivación de la fórmula del área superficial de un icosaedro
Podemos derivar la fórmula del área superficial de un icosaedro al considerar que los icosaedros son figuras tridimensionales regulares que tienen todos sus lados y todas sus caras con las mismas dimensiones.
Entonces, podemos calcular el área superficial de un icosaedro al encontrar el área de una de las caras triangulares y multiplicar el resultado por 20.
Las caras son triángulos equiláteros y el Área de un Triángulo Equilátero puede ser encontrada con la siguiente fórmula:
$$A=\frac{\sqrt{3}}{4}~a^2$$
Al multiplicar a esa fórmula por 20, tenemos:
$$A_{s}=20\times \frac{\sqrt{3}}{4}~a^2$$
$$A_{s}=5\sqrt{3}~a^2$$
Volumen y área de un icosaedro – Ejercicios resueltos
EJERCICIO 1
Determina el volumen de un icosaedro que tiene lados con una longitud de 2 m.
Solución
Para resolver este problema, vamos a usar la fórmula del icosaedro con a=2. Entonces, tenemos:
$$V=\frac{5(3+\sqrt{5})}{12}{{a}^3}$$
$latex V=2.1817{{a}^3}$
$latex V=2.1817\times {{2}^3}$
$latex V=2.1817\times 8$
$latex V=17.45$
El volumen del icosaedro es $latex 17.45~{{m}^3}$.
EJERCICIO 2
Determina el área superficial de un icosaedro que tiene lados con una longitud de 2 m.
Solución
Vamos a aplicar la fórmula del área superficial de un icosaedro usando la longitud a=2:
$latex A_{s}=5\sqrt{3}~a^2$
$latex A_{s}=5\sqrt{3}~(2)^2$
$latex A_{s}=5\sqrt{3}~(4)$
$latex A_{s}=34.64$
El área superficial del icosaedro es $latex 34.64~{{m}^2}$.
EJERCICIO 3
¿Cuál es el volumen de un icosaedro que tiene lados con una longitud de 4 m?
Solución
Aplicamos la fórmula del volumen de un icosaedro usando el valor a=4:
$$V=\frac{5(3+\sqrt{5})}{12}{{a}^3}$$
$latex V=2.1817{{a}^3}$
$latex V=2.1817\times {{4}^3}$
$latex V=2.1817\times 64$
$latex V=139.63$
El volumen del icosaedro es $latex 139.63~{{m}^3}$.
EJERCICIO 4
¿Cuál es el área superficial de un icosaedro que tiene lados con una longitud de 5 cm?
Solución
Usando la fórmula del área superficial con la longitud a=5, tenemos:
$latex A_{s}=5\sqrt{3}~a^2$
$latex A_{s}=5\sqrt{3}~(5)^2$
$latex A_{s}=5\sqrt{3}~(25)$
$latex A_{s}=216.51$
El área superficial del icosaedro dado es $latex 216.51~{{cm}^2}$.
EJERCICIO 5
Si es que un icosaedro tiene lados con una longitud de 7 cm, ¿cuál es su volumen?
Solución
Usando la fórmula del volumen de un icosaedro con la longitud a=7, tenemos:
$$V=\frac{5(3+\sqrt{5})}{12}{{a}^3}$$
$latex V=2.1817{{a}^3}$
$latex V=2.1817\times {{7}^3}$
$latex V=2.1817\times 343$
$latex V=748.32$
El volumen del icosaedro dado es $latex 748.32~{{cm}^3}$.
EJERCICIO 6
Encuentra el área superficial de un icosaedro que tiene lados con una longitud de 6 cm.
Solución
Aplicando la fórmula del área superficial usando a=6, tenemos:
$latex A_{s}=5\sqrt{3}~a^2$
$latex A_{s}=5\sqrt{3}~(6)^2$
$latex A_{s}=5\sqrt{3}~(36)$
$latex A_{s}=311.77$
El área superficial del icosaedro es $latex 311.77~{{cm}^2}$.
EJERCICIO 7
El volumen de un icosaedro es $latex 60~{{m}^3}$. ¿Cuál es la longitud de uno de sus lados?
Solución
En este ejercicio, conocemos el volumen del icosaedro y tenemos que encontrar la longitud de uno de sus lados. Entonces, podemos usar la fórmula del volumen y resolver para a:
$$V=\frac{5(3+\sqrt{5})}{12}{{a}^3}$$
$latex V=2.1817{{a}^3}$
$latex 60=2.1817{{a}^3}$
$latex 27.5={{a}^3}$
$latex a=3.02$
El icosaedro tiene lados con una longitud de 3.02 m.
EJERCICIO 8
Si es que un icosaedro tiene un área superficial de $latex 67.9~{{m}^2}$, determina la longitud de sus lados.
Solución
En este caso, ya tenemos el área superficial del icosaedro y tenemos que encontrar la longitud de uno de sus lados. Entonces, podemos usar la fórmula del área superficial y resolver para a:
$latex A_{s}=5\sqrt{3}~a^2$
$latex 67.9=5\sqrt{3}~a^2$
$latex 7.84={{a}^2}$
$latex a=2.8$
Entonces, los lados del icosaedro tienen una longitud de a=2.8 metros.
EJERCICIO 9
Determina la longitud de los lados de un icosaedro que tiene un volumen de $latex 170~{{m}^3}$.
Solución
Vamos a usar la fórmula del volumen y resolveremos para a:
$$V=\frac{5(3+\sqrt{5})}{12}{{a}^3}$$
$latex V=2.1817{{a}^3}$
$latex 170=2.1817{{a}^3}$
$latex 77.92={{a}^3}$
$latex a=4.27$
Los lados del icosaedro tienen una longitud de 4.27 m.
EJERCICIO 10
Encuentra la longitud de los lados de un icosaedro que tiene un área superficial de $latex 175~{{cm}^2}$.
Solución
Este ejercicio es similar al anterior, por lo que tenemos que usar el valor del área superficial dado y resolver para a:
$latex A_{s}=5\sqrt{3}~a^2$
$latex 175=5\sqrt{3}~a^2$
$latex 20.207={{a}^2}$
$latex a=4.495$
Los lados del icosaedro tienen una longitud de 4.495 cm.
Volumen y área de un icosaedro – Ejercicios para resolver
Encuentra la longitud de los lados de un icosaedro que tiene un área superficial de 866.03 m2.
Escribe la respuesta en la casilla.
Véase también
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Jefferson Huera Guzmán
Jefferson es el autor principal y administrador de Neurochispas.com. Los contenidos interactivos de Matemáticas y Física que he creado han ayudado a muchos estudiantes.
