Volumen de un Octaedro – Fórmulas y Ejercicios

Un octaedro es una figura tridimensional formada al unir a dos pirámides en sus bases. Los octaedros son uno de los cinco sólidos platónicos. Podemos calcular el volumen de un octaedro al sumar el volumen de las dos pirámides que lo componen.

A continuación, conoceremos la fórmula que podemos usar para calcular el volumen de un octaedro. Aprenderemos a derivar esta fórmula y la aplicaremos para resolver algunos ejercicios.

GEOMETRÍA
Formula del volumen de un octaedro

Relevante para

Aprender a calcular el volumen de un octaedro con ejercicios.

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Formula del volumen de un octaedro

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Fórmula del volumen de un octaedro

Los octaedros son figuras tridimensionales formadas por ocho caras triangulares. Podemos calcular su volumen usando la siguiente fórmula:

$latex V=\frac{\sqrt{2}}{3} {{a}^3}$

en donde, a es la longitud de uno de los lados del octaedro.

Demostración de la fórmula del volumen de un octaedro

Un octaedro puede ser formado al unir a dos pirámides en sus bases. Esto significa que podemos obtener el volumen de un octaedro si es que sumamos los volúmenes de ambas pirámides.

Dado que ambas pirámides son iguales, esto significa que tenemos que encontrar el volumen de una pirámide y simplemente multiplicar por 2 para obtener el volumen del octaedro.

Ahora, para calcular el volumen de cualquier pirámide, podemos usar la siguiente fórmula:

$latex V_{p}=\frac{A_{b}\times h}{3}$

en donde, $latex A_{b}$ es el área de la base y h es la altura de la pirámide.

En este caso, la base de la pirámide es cuadrada, por lo que su área es igual a $latex {{a}^2}$.

La altura de la pirámide puede ser calculada usando el teorema de Pitágoras usando el siguiente diagrama:

piramide con altura para encontrar volumen de octaedro

Dado que las caras de un octaedro son triángulos equiláteros, todos sus lados tienen longitud a. Entonces, la hipotenusa que usaremos es igual a a.

Además, dado que la diagonal de un cuadrado es igual a $latex a\sqrt{2}$, la mitad de la diagonal, que es igual a uno de los catetos, es igual a $latex \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Entonces, la altura de la pirámide es:

$latex h=\sqrt{{{a}^2}-{{(\frac{a\sqrt{2}}{2})}^2}}$

$latex h=\sqrt{{{a}^2}-\frac{{{a}^2}}{2}}$

$latex h=\sqrt{\frac{{{a}^2}}{2}}$

$latex h=\frac{a}{\sqrt{2}}$

$latex h=\frac{a \sqrt{2}}{2}$

Multiplicando la altura por el área de la base y dividiendo por 3, obtenemos el volumen de la pirámide:

$latex V_{p}=\frac{1}{3}\times{{a}^2}\times \frac{a \sqrt{2}}{2}$

$latex V_{p}=\frac{{{a}^3} \sqrt{2}}{6}$

Multiplicando el volumen de la pirámide por 2, obtenemos el volumen del octaedro:

$latex V=2\times \frac{{{a}^3} \sqrt{2}}{6}$

$latex V=\frac{{{a}^3} \sqrt{2}}{3}$


Volumen de un octaedro – Ejercicios resueltos

La fórmula del volumen de un octaedro es aplicada para resolver los siguientes ejercicios. Intenta resolver los ejercicios tú mismo antes de mirar la solución.

EJERCICIO 1

Si es que un octaedro tiene lados con una longitud de 4 m, ¿cuál es su volumen?

Para resolver este ejercicio, tenemos que usar la fórmula del volumen de un octaedro con la longitud a=4. Entonces, tenemos:

$latex V=\frac{{{a}^3} \sqrt{2}}{3}$

$latex V=\frac{{{4}^3} \sqrt{2}}{3}$

$latex V=\frac{64 \sqrt{2}}{3}$

$latex V=30.17$

El volumen del octaedro es $latex 30.17 ~{{m}^3}$.

EJERCICIO 2

Calcula el volumen de un octaedro que tiene lados con una longitud de 5 m.

Nuevamente, usamos la fórmula del volumen de un tetraedro. En este caso, usamos el valor a=5:

$latex V=\frac{{{a}^3} \sqrt{2}}{3}$

$latex V=\frac{{{5}^3} \sqrt{2}}{3}$

$latex V=\frac{125 \sqrt{2}}{3}$

$latex V=58.93$

El volumen del octaedro es $latex 58.93 ~{{m}^3}$.

EJERCICIO 3

Si es que un octaedro tiene lados con una longitud de 10 cm, ¿cuál es su volumen?

Vamos a usar la fórmula del volumen de un octaedro usando el valor a=10. Entonces, tenemos:

$latex V=\frac{{{a}^3} \sqrt{2}}{3}$

$latex V=\frac{{{10}^3} \sqrt{2}}{3}$

$latex V=\frac{1000 \sqrt{2}}{3}$

$latex V=471.4$

Entonces, el volumen del tetraedro dado es $latex 471.4 ~{{cm}^3}$.

EJERCICIO 4

Si es que el volumen de un octaedro es igual a $latex 11.5~{{m}^3}$, ¿cuál es la longitud de uno de sus lados?

En este caso, conocemos el volumen del octaedro y queremos calcular la longitud de los lados. Entonces, usamos la fórmula del volumen y resolvemos para a:

$latex V=\frac{{{a}^3} \sqrt{2}}{3}$

$latex 11.5=\frac{{{a}^3} \sqrt{2}}{3}$

$latex 34.5={{a}^3} \sqrt{2}$

$latex 24.4={{a}^3}$

$latex a=2.9$

La longitud de uno de los lados del octaedro es 2.9 m.

EJERCICIO 5

Calcula la longitud de los lados de un octaedro que tiene un volumen de $latex 22~{{cm}^3}$

Para resolver este ejercicio, tenemos que usar la fórmula del volumen de un octaedro y resolver para a. Entonces, tenemos:

$latex V=\frac{{{a}^3} \sqrt{2}}{3}$

$latex 22=\frac{{{a}^3} \sqrt{2}}{3}$

$latex 66={{a}^3} \sqrt{2}$

$latex 46.67={{a}^3}$

$latex a=3.6$

El octaedro tiene lados con una longitud de 3.6 cm.

EJERCICIO 6

El volumen de un octaedro es $latex 289.5~{{cm}^3}$. ¿Cuál es la longitud de sus lados?

Vamos a usar la fórmula del volumen y resolveremos para a. Entonces, tenemos:

$latex V=\frac{{{a}^3} \sqrt{2}}{3}$

$latex 289.5=\frac{{{a}^3} \sqrt{2}}{3}$

$latex 868.5={{a}^3} \sqrt{2}$

$latex 614.12={{a}^3}$

$latex a=8.5$

El octaedro tiene lados con una longitud de 8.5 cm.

EJERCICIO 7

¿Cuál es el volumen de un octaedro que tiene lados con una longitud de 11.7 cm?

Usando la fórmula del volumen con la longitud a=11.7, tenemos:

$latex V=\frac{{{a}^3} \sqrt{2}}{3}$

$latex V=\frac{{{11.7}^3} \sqrt{2}}{3}$

$latex V=\frac{1601.6\sqrt{2}}{3}$

$latex V=755$

El volumen del octaedro es $latex 755~{{cm}^3}$.


Volumen de un octaedro – Ejercicios para resolver

Resuelve los siguientes ejercicios de práctica usando la fórmula del volumen de un octaedro. Si tienes problemas con estos ejercicios, puedes mirar los ejemplos resueltos de arriba.

¿Cuál es el volumen de un octaedro que tiene lados con una longitud de 2 m?

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Si es que un octaedro tiene lados con una longitud de 7 cm, ¿cuál es su volumen?

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¿Cuál es la longitud de los lados de un octaedro que tiene un volumen de $latex 279.4 ~{{m}^3}$?

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Si es que el volumen de un octaedro es igual a $latex 1177.5 {{m}^3}$, ¿cuál es la longitud de sus lados?

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¿Cuál es el volumen de un octaedro que tiene lados con una longitud de 12 cm?

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Véase también

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