Volumen de un Dodecaedro – Fórmula y Ejercicios

Los dodecaedros son uno de los cinco sólidos platónicos. Estas figuras son regulares, por lo que todas sus caras tienen la misma forma y todos sus lados tienen las mismas dimensiones. Podemos calcular el volumen de los dodecaedros usando una fórmula estándar.

A continuación, conoceremos cómo calcular el volumen de un dodecaedro. Aprenderemos cómo derivar la fórmula del volumen y la usaremos para resolver varios ejercicios de práctica.

GEOMETRÍA
Fórmula del volumen de un dodecaedro

Relevante para

Aprender a calcular el volumen de un dodecaedro con ejercicios.

Ver ejercicios

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Fórmula del volumen de un dodecaedro

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Fórmula para el volumen de un dodecaedro

Un dodecaedro es una figura tridimensional regular, por lo que todas sus caras tienen la misma forma y todos sus lados tienen la misma longitud. Entonces, podemos calcular su volumen usando la siguiente fórmula:

$$V=\frac{15+7\sqrt{5}}{4}{{a}^3}$$

en donde, a es la longitud de uno de los lados del dodecaedro.

dodecaedro con lados

También podemos simplificar esta fórmula al obtener una aproximación de la fracción del lado derecho de la fórmula. Entonces, podemos escribir:

$latex V\approx 7.663{{a}^3}$


Volumen de un dodecaedro – Ejercicios resueltos y para resolver

Los siguientes ejercicios son resueltos aplicando la fórmula del volumen de un dodecaedro. Intenta resolver los ejercicios tú mismo antes de mirar la solución.

EJERCICIO 1

¿Cuál es el volumen de un dodecaedro que tiene lados con una longitud de 2 m?

Podemos usar la fórmula del volumen del dodecaedro con el valor a=2. Entonces, tenemos:

$$V=\frac{15+7\sqrt{5}}{4}{{a}^3}$$

$$V=\frac{15+7\sqrt{5}}{4}{{2}^3}$$

$$V=\frac{15+7\sqrt{5}}{4}8$$

$latex V=7.663\times 8$

$latex V=61.3$

El volumen del dodecaedro dado es $latex 61.3~{{m}^3}$.

EJERCICIO 2

Si es que un dodecaedro tiene lados con una longitud de 3 m, ¿cuál es su volumen?

Aplicando la fórmula del volumen con el valor a=3, tenemos:

$$ V=\frac{15+7\sqrt{5}}{4}{{a}^3}$$

$$ V=\frac{15+7\sqrt{5}}{4}{{3}^3}$$

$$ V=\frac{15+7\sqrt{5}}{4}27$$

$latex V=7.663\times 27$

$latex V=206.9$

El volumen del dodecaedro es $latex 206.9~{{m}^3}$.

EJERCICIO 3

Calcula el volumen de un dodecaedro que tiene lados con una longitud de 8 cm.

Usando el valor de a=8 en la fórmula del volumen, tenemos:

$$V=\frac{15+7\sqrt{5}}{4}{{a}^3}$$

$$V=\frac{15+7\sqrt{5}}{4}{{8}^3}$$

$$V=\frac{15+7\sqrt{5}}{4}512$$

$latex V=7.663\times 512$

$latex V=3923.5$

El volumen del dodecaedro dado es $latex 3923.5~{{m}^3}$.

EJERCICIO 4

Si es que el volumen de un dodecaedro es igual a $latex 698.3~{{m}^3}$, ¿cuál es la longitud de uno de sus lados?

En este caso, tenemos el volumen y queremos calcular la longitud de uno de sus lados. Entonces, usamos la fórmula del volumen y resolvemos para a:

$$V=\frac{15+7\sqrt{5}}{4}{{a}^3}$$

$$698.3=\frac{15+7\sqrt{5}}{4}{{a}^3}$$

$latex 698.3=7.663{{a}^3}$

$latex 91.13={{a}^3}$

$latex a=4.5$

La longitud de uno de los lados del dodecaedro es 4.5 m.

EJERCICIO 5

Calcula la longitud de los lados de un dodecaedro que tiene un volumen de $latex 1077.5~{{cm}^3}$.

Usamos la fórmula del volumen y resolvemos para a:

$$V=\frac{15+7\sqrt{5}}{4}{{a}^3}$$

$$1077.5=\frac{15+7\sqrt{5}}{4}{{a}^3}$$

$latex 1077.5=7.663{{a}^3}$

$latex 140.61={{a}^3}$

$latex a=5.2$

La longitud de uno de los lados del dodecaedro es 5.2 cm.

EJERCICIO 6

Si es que un dodecaedro tiene un volumen de $latex 2517.4 {{m}^3}$, ¿cuál es la longitud de uno de sus lados?

Aplicando la fórmula del volumen, podemos usar V=2517.4 y resolver para a:

$$V=\frac{15+7\sqrt{5}}{4}{{a}^3}$$

$$2517.4=\frac{15+7\sqrt{5}}{4}{{a}^3}$$

$latex 2517.4=7.663{{a}^3}$

$latex 328.51={{a}^3}$

$latex a=6.9$

La longitud de uno de los lados del dodecaedro es 6.9 m.

EJERCICIO 7

¿Cuál es el volumen de un dodecaedro que tiene lados con una longitud de 10 cm?

Usamos la fórmula del volumen de un dodecaedro con el valor a=10:

$$V=\frac{15+7\sqrt{5}}{4}{{a}^3}$$

$$V=\frac{15+7\sqrt{5}}{4}{{10}^3}$$

$$V=\frac{15+7\sqrt{5}}{4}1000$$

$latex V=7.663\times 1000$

$latex V=7663$

El volumen del dodecaedro dado es $latex 7663~{{cm}^3}$.


Volumen de un dodecaedro – Ejercicios para resolver

Resuelve los siguientes ejercicios de práctica aplicando lo aprendido sobre el volumen de un dodecaedro. En caso de necesitar ayuda, puedes mirar los ejercicios resueltos de arriba.

¿Cuál es el volumen de un dodecaedro que tiene lados con una longitud de 2.2 m?

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Determina el volumen de un dodecaedro que tiene lados con una longitu de 4.1 cm.

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Si es que el volumen de un dodecaedro es igual a $latex 10.2~{{m}^2}$, ¿cuál es la longitud de sus lados?

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Si es que el volumen de un dodecaedro es igual a $latex 745.9~{{m}^3}$, ¿cuál es la longitud de sus lados?

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Encuentra el volumen de un dodecaedro que tiene lados con una longitud de 8 cm.

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Véase también

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