Los dodecaedros son uno de los cinco sólidos platónicos. Podemos calcular el volumen de los dodecaedros usando una fórmula estándar. Por otro lado, el área superficial es encontrada al sumar las áreas de sus doce caras.
A continuación, conoceremos cómo calcular el volumen y el área superficial de un dodecaedro. Aprenderemos cómo derivar las fórmulas y las usaremos para resolver varios ejercicios de práctica.
Cómo encontrar el volumen de un dodecaedro
Un dodecaedro es una figura tridimensional regular, por lo que todas sus caras tienen la misma forma y todos sus lados tienen la misma longitud. Entonces, podemos calcular su volumen usando la siguiente fórmula:
| $$V=\frac{15+7\sqrt{5}}{4}{{a}^3}$$ |
en donde, a es la longitud de uno de los lados del dodecaedro.
También podemos simplificar esta fórmula al obtener una aproximación de la fracción del lado derecho de la fórmula. Entonces, podemos escribir:
$latex V\approx 7.663{{a}^3}$
Cómo calcular el área superficial de un dodecaedro
Podemos calcular el área superficial de un dodecaedro usando la siguiente fórmula:
| $$A_{s}=3\sqrt{25+10\sqrt{5}}~{{a}^2}$$ |
en donde, a es la longitud de uno de los lados del dodecaedro.
Podemos simplificar esta fórmula al aproximar la expresión en el lado derecho de la fórmula. Entonces, podemos escribir:
$latex A_{s}\approx 20.65{{a}^2}$
Derivación de la fórmula del área superficial de un dodecaedro
Para encontrar una fórmula para el área superficial de un dodecaedro, podemos considerar que los dodecaedros son figuras regulares que tienen 12 caras con la misma forma y las mismas dimensiones.
Dado que las 12 caras pentagonales del dodecaedro son las mismas, tenemos que encontrar el área de una de las caras y multiplicar el resultado por 12 para obtener el área superficial del dodecaedro.
Ahora, podemos encontrar el Área de un Pentágono usando la siguiente fórmula:
$$A=\frac{1}{4}\sqrt{25+10\sqrt{5}}~{{a}^2}$$
Entonces, cuando multiplicamos a esta fórmula por 12, tenemos:
$$A_{s}=3\sqrt{25+10\sqrt{5}}~{{a}^2}$$
Volumen y área de un dodecaedro – Ejercicios resueltos y para resolver
EJERCICIO 1
¿Cuál es el volumen de un dodecaedro que tiene lados con una longitud de 2 m?
Solución
Podemos usar la fórmula del volumen del dodecaedro con el valor a=2. Entonces, tenemos:
$$V=\frac{15+7\sqrt{5}}{4}{{a}^3}$$
$$V=\frac{15+7\sqrt{5}}{4}{{2}^3}$$
$$V=\frac{15+7\sqrt{5}}{4}8$$
$latex V=7.663\times 8$
$latex V=61.3$
El volumen del dodecaedro dado es $latex 61.3~{{m}^3}$.
EJERCICIO 2
¿Cuál es el área superficial de un dodecaedro que tiene lados con una longitud de 1 m?
Solución
Para resolver este ejercicio, podemos aplicar la fórmula del área superficial de un dodecaedro con el valor a=1. Entonces, tenemos:
$$A_{s}=3\sqrt{25+10\sqrt{5}}~{{a}^2}$$
$latex A_{s}=20.65~{{a}^2}$
$latex A_{s}=20.65\times {{1}^2}$
$latex A_{s}=20.65$
El área superficial del dodecaedro es $latex 20.65~{{m}^2}$.
EJERCICIO 3
Si es que un dodecaedro tiene lados con una longitud de 3 m, ¿cuál es su volumen?
Solución
Aplicando la fórmula del volumen con el valor a=3, tenemos:
$$ V=\frac{15+7\sqrt{5}}{4}{{a}^3}$$
$$ V=\frac{15+7\sqrt{5}}{4}{{3}^3}$$
$$ V=\frac{15+7\sqrt{5}}{4}27$$
$latex V=7.663\times 27$
$latex V=206.9$
El volumen del dodecaedro es $latex 206.9~{{m}^3}$.
EJERCICIO 4
Determina el área superficial de un dodecaedro que tiene lados con una longitud de 2 m.
Solución
Usando la fórmula del área superficial con el valor a=2, tenemos:
$$A_{s}=3\sqrt{25+10\sqrt{5}}~{{a}^2}$$
$latex A_{s}=20.65~{{a}^2}$
$latex A_{s}=20.65\times {{2}^2}$
$latex A_{s}=20.65\times 4$
$latex A_{s}=82.6$
El área superficial del dodecaedro es $latex 82.6~{{m}^2}$.
EJERCICIO 5
Calcula el volumen de un dodecaedro que tiene lados con una longitud de 8 cm.
Solución
Usando el valor de a=8 en la fórmula del volumen, tenemos:
$$V=\frac{15+7\sqrt{5}}{4}{{a}^3}$$
$$V=\frac{15+7\sqrt{5}}{4}{{8}^3}$$
$$V=\frac{15+7\sqrt{5}}{4}512$$
$latex V=7.663\times 512$
$latex V=3923.5$
El volumen del dodecaedro dado es $latex 3923.5~{{m}^3}$.
EJERCICIO 6
Encuentra el área superficial de un dodecaedro que tiene lados con una longitud de 6 cm.
Solución
Aplicando la fórmula del área superficial usando a=6, tenemos:
$$A_{s}=3\sqrt{25+10\sqrt{5}}~{{a}^2}$$
$latex A_{s}=20.65~{{a}^2}$
$latex A_{s}=20.65\times {{6}^2}$
$latex A_{s}=20.65\times 36$
$latex A_{s}=743.4$
El área superficial del dodecaedro es $latex 743.4~{{cm}^2}$.
EJERCICIO 7
Si es que el volumen de un dodecaedro es igual a $latex 698.3~{{m}^3}$, ¿cuál es la longitud de uno de sus lados?
Solución
En este caso, tenemos el volumen y queremos calcular la longitud de uno de sus lados. Entonces, usamos la fórmula del volumen y resolvemos para a:
$$V=\frac{15+7\sqrt{5}}{4}{{a}^3}$$
$$698.3=\frac{15+7\sqrt{5}}{4}{{a}^3}$$
$latex 698.3=7.663{{a}^3}$
$latex 91.13={{a}^3}$
$latex a=4.5$
La longitud de uno de los lados del dodecaedro es 4.5 m.
EJERCICIO 8
Si es que un dodecaedro tiene un área superficial de $latex 120~{{m}^2}$, ¿cuál es la longitud de sus lados?
Solución
En este problema, conocemos el área superficial y tenemos que determinar la longitud de uno de los lados del dodecaedro. Entonces, usamos la fórmula del área superficial y resolvemos para a:
$$A_{s}=3\sqrt{25+10\sqrt{5}}~{{a}^2}$$
$latex A_{s}=20.65~{{a}^2}$
$latex 120=20.65~{{a}^2}$
$latex 5.81=a^2$
$latex a=2.41$
El dodecaedro tiene lados con una longitud de 2.41 m.
EJERCICIO 9
Calcula la longitud de los lados de un dodecaedro que tiene un volumen de $latex 1077.5~{{cm}^3}$.
Solución
Usamos la fórmula del volumen y resolvemos para a:
$$V=\frac{15+7\sqrt{5}}{4}{{a}^3}$$
$$1077.5=\frac{15+7\sqrt{5}}{4}{{a}^3}$$
$latex 1077.5=7.663{{a}^3}$
$latex 140.61={{a}^3}$
$latex a=5.2$
La longitud de uno de los lados del dodecaedro es 5.2 cm.
EJERCICIO 10
¿Cuál es la longitud de los lados de un dodecaedro que tiene un área superficial de $latex 350~{{cm}^2}$?
Solución
Similar al problema anterior, vamos a usar la fórmula del área superficial y resolveremos para a. Entonces, tenemos:
$$A_{s}=3\sqrt{25+10\sqrt{5}}~{{a}^2}$$
$latex A_{s}=20.65~{{a}^2}$
$latex 350=20.65~{{a}^2}$
$latex 16.95=a^2$
$latex a=4.12$
El dodecaedro tiene lados con una longitud de 4.12 cm.
Volumen y área de un dodecaedro – Ejercicios para resolver
Si es que el área superficial de un dodecaedro es igual a 495.7 m2, ¿cuál es la longitud de sus lados?
Escribe la respuesta a un lugar decimal.
Véase también
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Jefferson Huera Guzmán
Jefferson es el autor principal y administrador de Neurochispas.com. Los contenidos interactivos de Matemáticas y Física que he creado han ayudado a muchos estudiantes.
