El perímetro de un pentágono es la longitud del contorno del pentágono. Por otro lado, su área representa el espacio bidimensional ocupado por la figura. Podemos calcular el perímetro de un pentágono al sumar las longitudes de sus cinco lados y podemos calcular su área al multiplicar la longitud de la apotema por la longitud de uno de sus lados y multiplicar por 5/2.
A continuación, exploraremos todo lo relacionado con el perímetro y el área de un pentágono. Conoceremos sus fórmulas y las aplicaremos para resolver algunos ejercicios de práctica.
¿Cómo calcular el perímetro de un pentágono?
El perímetro de un pentágono representa la longitud total de los límites del pentágono. Entonces, podemos calcular el perímetro de un pentágono al sumar las longitudes de sus cinco lados:
$latex p=a+b+c+d+e$
en donde, $latex a,~b,~c,~d,~e$ son las longitudes de los lados del pentágono.
Si es que el pentágono es regular, sus cinco lados tienen la misma longitud, por lo que la fórmula del perímetro se vuelve:
| $latex p=5a$ |
en donde, a es la longitud de uno de los lados del pentágono.
¿Cómo calcular el área de un pentágono?
El área de un pentágono regular puede ser calculada usando la longitud de su apotema y la longitud de uno de sus lados. Entonces, usamos la siguiente fórmula:
| $latex A= \frac{5}{2} \times l \times a$ |
en donde, l es la longitud de uno de los lados y a es la longitud de la apotema. Recordemos que la apotema es el segmento que une al centro del pentágono con uno de sus lados.
Alternativamente, podemos calcular el área de un pentágono usando la siguiente fórmula:
| $latex A=\frac{1}{4}\sqrt{5(5+2\sqrt{5}){{l}^2}}$ |
en donde, l es la longitud de uno de los lados del pentágono. Esta fórmula es más complicada, pero nos permite calcular el área de un pentágono regular simplemente con la longitud de uno de sus lados.
Demostración de la fórmula del área de un pentágono
Para demostrar la fórmula del área de un pentágono, vamos a usar al siguiente diagrama, en donde, dividimos al pentágono en cinco triángulos isósceles como en la siguiente imagen:
El área de cualquier triángulo puede ser calculada usando la fórmula $latex A= \frac{1}{2} bh$, en donde b es la base del triángulo y h es su altura. En los triángulos isósceles de arriba, la base es igual a la longitud de uno de los lados del pentágono (longitud l.)
La altura del triángulo es igual a la apotema del pentágono (longitud a). Entonces, el área de cada triángulo en el pentágono es $latex A= \frac{1}{2} la$. Dado que tenemos cinco triángulos, el área del pentágono es:
$latex A= \frac{5}{2} \times l \times a$
Área y perímetro de un pentágono – Ejercicios resueltos
EJERCICIO 1
Encuentra el perímetro de un pentágono regular que tiene lados con una longitud de 10 mm.
Solución
Vamos a usar la fórmula del perímetro con el valor $latex a=10$. Entonces, tenemos:
$latex p=5a$
$latex p=5(10)$
$latex p=50$
El perímetro del pentágono es igual a 50 mm.
EJERCICIO 2
Determina el área de un pentágono regular que tiene lados con una longitud de 10 cm y una apotema con una longitud de 6.88 cm.
Solución
Tenemos las siguientes longitudes:
- Lados, $latex l=10$ cm
- Apotema, $latex a=6.88$ cm
Reemplazando estos valores en la fórmula del área de un pentágono, tenemos:
$latex A= \frac{5}{2}la$
$latex A= \frac{5}{2}(10)(6.88)$
$latex A=172$
El área del pentágono es igual a 172 cm².
EJERCICIO 3
Determina el perímetro de un pentágono regular que tiene lados con una longitud de 11 m.
Solución
Usamos la longitud $latex a=11$ en la fórmula del perímetro y tenemos:
$latex p=5a$
$latex p=5(11)$
$latex p=55$
El perímetro del pentágono es igual a 55 m.
EJERCICIO 4
¿Cuál es el área de un pentágono regular que tiene lados con una longitud de 8 cm y una apotema con una longitud de 5.51 cm?
Solución
Tenemos las siguientes longitudes:
- Lados, $latex l=8$ cm
- Apotema, $latex a=5.51$ cm
Al aplicar la fórmula del área con estas longitudes, tenemos:
$latex A= \frac{5}{2}la$
$latex A= \frac{5}{2}(8)(5.51)$
$latex A=110.2$
El área del pentágono es igual a 110.2 cm².
EJERCICIO 5
¿Cuál es el perímetro de un pentágono regular que tiene lados con una longitud de 15 m?
Solución
Usamos la fórmula del perímetro con la longitud $latex a=15$. Entonces, tenemos:
$latex p=5a$
$latex p=5(15)$
$latex p=75$
El perímetro del pentágono es igual a 75 m.
EJERCICIO 6
Encuentra la apotema de un pentágono regular que tiene un área de 84.3 m² y la longitud de sus lados es 7 m.
Solución
Tenemos lo siguiente:
- Área, $latex A=84.3$ m²
- Lados, $latex l=7$ m
En este caso, conocemos el área del pentágono y queremos encontrar la apotema. Entonces, usamos la información dada en la fórmula del área y resolvemos para a:
$latex A= \frac{5}{2}la$
$latex 84.3= \frac{5}{2}(7)a$
$latex 168.6=(5)(7)a$
$latex 168.6=35a$
$latex a=4.82$
La longitud de la apotema es 4.82 m.
EJERCICIO 7
Si es que el perímetro de un pentágono regular es igual a 20 cm, ¿cuál es la longitud de uno de sus lados?
Solución
Aquí, conocemos el perímetro del pentágono y tenemos que encontrar la longitud de uno de los lados. Entonces, usamos la fórmula del perímetro y resolvemos para a:
$latex p=5a$
$latex 20=5a$
$latex a=4$
La longitud de un lado del pentágono es 4 cm.
EJERCICIO 8
Encuentra el área de un pentágono regular que tiene lados de longitud 5 mm.
Solución
En este caso, solo conocemos la longitud de los lados del pentágono y no su apotema. Entonces, podemos usar la segunda fórmula del área de un pentágono:
$latex A= \frac{1}{4}\sqrt{5(5+2\sqrt{5}){{l}^2}}$
$latex A= \frac{1}{4}\sqrt{5(5+2\sqrt{5}){{(5)}^2}}$
$latex A=43.01$
El área del pentágono es igual a 43.01 mm².
EJERCICIO 9
Si es que el perímetro de un pentágono regular es igual a 105 cm, encuentra la longitud de uno de sus lados.
Solución
Vamos a usar la fórmula del perímetro y resolver para a. Entonces, usando el valor $latex p=105$, tenemos:
$latex p=5a$
$latex 105=5a$
$latex a=21$
La longitud de uno de los lados es 21 cm.
EJERCICIO 10
Calcula el área de un pentágono regular que tiene lados con una longitud de 20 mm.
Solución
Usando la segunda fórmula del área con la longitud $latex l=20$:
$latex A= \frac{1}{4}\sqrt{5(5+2\sqrt{5}){{l}^2}}$
$latex A= \frac{1}{4}\sqrt{5(5+2\sqrt{5}){{(20)}^2}}$
$latex A=688.19$
El área del pentágono es igual a 688.19 mm².
Área y perímetro de un pentágono – Ejercicios resueltos
Véase también
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Jefferson Huera Guzmán
Jefferson es el autor principal y administrador de Neurochispas.com. Los contenidos interactivos de Matemáticas y Física que he creado han ayudado a muchos estudiantes.
