Volumen de revolución con respecto al eje x – Paso a paso

El volumen de revolución con respecto al eje x puede ser encontrado al evaluar una integral definida con respecto al cuadrado de la ecuación de la curva y multiplicar el resultado por π. Podemos derivar una fórmula para calcular este volumen usando límites e integrales.

En este artículo, conoceremos cómo calcular el volumen de revolución con respecto al eje x. Aprenderemos a derivar su fórmula y la usaremos en algunos ejemplos prácticos.

CÁLCULO
Fórmula del volumen de revolución con respecto al eje x

Relevante para

Aprender a calcular el volumen de revolución sobre el eje x.

Ver proceso

CÁLCULO
Fórmula del volumen de revolución con respecto al eje x

Relevante para

Aprender a calcular el volumen de revolución sobre el eje x.

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Cómo encontrar el volumen de revolución con respecto al eje x

Para encontrar el volumen de revolución de un sólido con respecto al eje x, podemos aplicar la siguiente fórmula:

$$V=\pi \int_{a}^{b} y^2 d x$$

Entonces, podemos seguir el siguiente proceso para usar la fórmula correctamente:

Paso 1: Encontrar el cuadrado de la ecuación de la curva que forma el volumen de revolución. Es decir, empezamos encontrando $latex y^2$.

Paso 2: Encontrar el valor de la integral definida $latex \int_{a}^{b} y^2 d x$, reemplazando la expresión para $latex y^2$ del paso 1.

Paso 3: Multiplicar el resultado del paso 2 por π para encontrar el volumen del sólido formado.

Si necesitas hacer una revisión sobre cómo resolver integrales definidas, puedes visitar nuestro artículo: Cómo calcular integrales definidas – Paso a paso.


Derivación de la fórmula del volumen de revolución con respecto al eje x

Para encontrar una fórmula para el volumen de revolución con el eje x, empezamos considerando el área bajo la curva $latex y=x^2$ desde $latex x=1$ hasta $latex x=2$, como se muestra en el diagrama:

Diagrama 1 para volumen de revolucion con eje x

Ahora, consideramos al sólido formado cuando esta área es rotada 2π radianes alrededor del eje x, como se muestra en el siguiente diagrama. Podemos calcular su volumen usando cálculo integral.

Diagrama 2 para volumen de revolucion con eje x

Tomamos una tira muy pequeña de longitud $latex \delta x$ bajo la curva $latex f(x)$, como se muestra en el siguiente diagrama:

Diagrama 3 para volumen de revolucion con eje x

Cuando esta área pequeña es rotada por 2π radianes alrededor del eje x, formamos un disco con un radio igual a $latex y$ y un ancho de $latex \delta x$. El volumen de este disco es:

$latex \delta V= \pi y^2 \delta x$

Para encontrar el volumen de todo el sólido, tenemos que encontrar la suma de todos los discos desde $latex x=a$ hasta $latex x=b$. Entonces, tenemos:

$$V=\sum_{x=a}^{b}\pi y^2 \delta x$$

A medida que $latex \delta \to 0$, esta sumatoria se acerca al valor de $latex V$, por lo que tenemos:

$$V=\lim_{\delta x \to 0} \pi \sum_{x=a}^{b} y^2 \delta x$$

lo cual es igual a

$$V=\pi \int_{a}^{b} y^2 d x$$


Ejemplos resueltos del volumen de revolución con respecto al eje x

Usamos la fórmula vista arriba para resolver los siguientes ejercicios.

EJEMPLO 1

Encuentra el volumen generado cuando el área bajo $latex y=x$ desde $latex x=0$ hasta $latex x=6$ es rotada con respecto al eje x.

Empezamos escribiendo la fórmula del volumen de revolución:

$$V=\pi \int_{a}^{b} y^2 d x$$

Ahora, sustituimos la expresión para $latex y $, la elevamos al cuadrado y resolvemos la integral definida:

$$V=\pi \int_{0}^{6} x^2 d x$$

$$=\pi \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{6}$$

$$=\pi \left( \frac{216}{3} \right)-(0)$$

$latex V=72 \pi $

EJEMPLO 2

¿Cuál es el volumen generado cuando el área bajo $latex y=x^2$ desde $latex x=0$ hasta $latex x=5$ es rotada con respecto al eje x?

La fórmula del volumen de revolución con respecto al eje x es:

$$V=\pi \int_{a}^{b} y^2 d x$$

En este caso, tenemos $latex y=x^2$, por lo que sustituimos en la fórmula y evaluamos la integral definida:

$$V=\pi \int_{0}^{5} x^4 d x$$

$$=\pi \left[ \frac{x^5}{5} \right]_{0}^{5}$$

$$=\pi \left( \frac{3125}{5} \right)-(0)$$

$latex V=625 \pi $

EJEMPLO 3

Encuentra el volumen del sólido formado cuando el área bajo $latex y=x^2+2$ desde $latex x=1$ hasta $latex x=3$ es rotada con respecto al eje x.

El volumen del sólido está dado por la siguiente fórmula:

$$V=\pi \int_{a}^{b} y^2 d x$$

Al elevar a $latex y $ al cuadrado, tenemos $latex y^2=(x^2+2)^2$, lo cual es igual a $latex y^2=x^4+4x^2+4$. Entonces, tenemos:

$$V=\pi \int_{1}^{3} (x^4+4x^2+4) d x$$

$$=\pi \left[ \frac{x^5}{5} + \frac{4x^3}{3}+4x \right]_{1}^{3}$$

$$=\pi \left( \frac{483}{5}- \frac{83}{15} \right)$$

$$ V=\frac{1366 \pi}{15} $$

EJEMPLO 4

Encuentra el volumen de revolución del área bajo $latex y=3\sqrt{x}$ desde $latex x=2$ hasta $latex x=4$ con respecto al eje x.

Empezamos con la siguiente fórmula para encontrar el volumen:

$$V=\pi \int_{a}^{b} y^2 d x$$

Cuando elevamos a $latex y $ al cuadrado, tenemos $latex y^2=9x$. Entonces, usamos esto en la fórmula para resolver la integral definida:

$$V=\pi \int_{2}^{4} 9x d x$$

$$=\pi \left[ \frac{9x^2}{2} \right]_{2}^{4}$$

$latex =\pi (72 )-( 18)$

$latex V=54\pi $

EJEMPLO 5

Encuentra el volumen de revolución cuando el área bajo $latex y=\sqrt{x^2+3x}$ desde $latex x=2$ y $latex x=6$ es rotado en el eje x.

Empezamos escribiendo la fórmula del volumen de revolución con el eje x:

$$V=\pi \int_{a}^{b} y^2 d x$$

Cuando elevamos a $latex y $ al cuadrado, tenemos $latex y^2=(\sqrt{x^2+3x})^2$, lo cual es igual a $latex y^2=x^2+3x$. Entonces, tenemos:

$$V=\pi \int_{2}^{6} (x^2+3x) d x$$

$$=\pi \left[ \frac{x^3}{3} + \frac{3x^2}{2} \right]_{2}^{6}$$

$$=\pi [72 + 54 ]-\left[ \frac{8}{3} + 6 \right]$$

$$=\pi \left( \frac{352}{3} \right)$$

$$ V=\frac{352\pi}{3} $$

EJEMPLO 6

El área encerrada entre la curva $latex y=4-x^2$ y la recta $latex y=4-2x$ es rotada con respecto al eje x. Encuentra el volumen del sólido generado.

En este caso, tenemos un área entre dos curvas. Entonces, podemos trazar una gráfica simple para visualizar esa área:

Ejemplo de volumen de revolución con área entre dos curvas

Ahora, podemos ver que el área a ser rotada es un área entre dos curvas. Por lo que resolvemos de la siguiente forma:

$$V=\pi \int_{0}^{2} (4-x^2)^2 d x-\pi \int_{0}^{2} (4-2x)^2 d x$$

$$=\pi \int_{0}^{2} (4-x^2)^2 – (4-2x)^2 d x$$

$$=\pi \int_{0}^{2} (x^4-12x^2+16x) d x$$

$$=\pi \left[ \frac{x^5}{5}-4x^3+8x^2 \right]_{0}^{2}$$

$$=\pi \left[ \frac{32}{5}-32+32 \right]-[0]$$

$latex V=\frac{32\pi}{5} $


Volumen de revolución con respecto al eje x – Ejercicios para resolver

En los siguientes ejercicios tienes que encontrar el volumen de revolución con la información dada.

Encuentra el volumen de revolución con respecto al eje x del área bajo $latex y=2x+1$ desde $latex x=1$ hasta $latex x=3$.

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¿Cuál es el volumen de revolución del área bajo $latex y=5-x$ desde $latex x=2$ hasta $latex x=5$ con respecto al eje x?

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Encuentra el volumen de revolución del área bajo $latex y=x^2+1$ desde $latex x=0$ hasta $latex x=3$ con respecto al eje x.

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¿Cuál es el volumen de revolución del área bajo $latex y=\sqrt{3x^2+8}$ desde $latex x=1$ hasta $latex x=3$ con respecto al eje x?

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Véase también

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