8 Ejercicios de área entre dos curvas resueltos

Podemos encontrar el área entre dos curvas al encontrar el área bajo cada curva separadamente. Luego, podemos restar estas áreas de modo que obtengamos el área de intersección. Podemos aplicar este principio no solamente con curvas, sino también con restas o los ejes del plano.

A continuación, veremos 8 ejercicios resueltos del área entre dos curvas. Luego, veremos algunos ejercicios en los que puedes practicar lo aprendido.

CÁLCULO
Ejercicio 7 de area entre dos curvas

Relevante para

Resolver algunos ejercicios del área entre dos curvas.

Ver ejercicios

CÁLCULO
Ejercicio 7 de area entre dos curvas

Relevante para

Resolver algunos ejercicios del área entre dos curvas.

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8 Ejercicios resueltos del área entre dos curvas

Los siguientes ejercicios son resueltos al calcular el área entre las curvas, rectas o ejes dados. Intenta resolver los ejercicios tú mismo antes de mirar la solución.

EJERCICIO 1

Si es que tenemos las curvas $latex y=x^2+1$ y $latex y=-x^2+3$, ¿cuál es el área de la región de intersección?

Podemos empezar encontrando los puntos de intersección de las curvas para determinar los límites de la región. Entonces, tenemos:

$latex x^2+1=-x^2+3$

$latex 2x^2=2$

$latex x=\pm 1$

Podemos trazar una gráfica para visualizar el área requerida:

ejemplo 1 area entre dos curvas

El área de la región puede ser obtenida restando el área bajo la curva $latex y=x^2+1$ del área bajo la curva $latex y=-x^2+3$. Entonces, tenemos:

$$A=\int_{-1}^{1} (-x^2+3) dx-\int_{-1}^{1} (x^2+1) dx$$

$$=\int_{-1}^{1} (-x^2+3) – (x^2+1) dx$$

$$=\int_{-1}^{1} (-2x^2+2) dx$$

$$=\left[ -\frac{2x^3}{3}+2x \right]_{-1}^{1}$$

$$=\left[ -\frac{2}{3}+2 \right]-\left[ \frac{2}{3}-2 \right]$$

$$=\frac{4}{3}+\frac{4}{3}$$

$$=\frac{8}{3}$$

El área de la región de intersección de las dos curvas es $latex \frac{8}{3}$.

EJERCICIO 2

¿Cuál es el área formada por la intersección de $latex y=-\frac{1}{3}x^2+3$ y la recta $latex y=x+3$?

Similar al ejercicio anterior, tenemos que empezar encontrando los puntos de intersección de la recta y la curva. Entonces, tenemos:

$latex x+3=-\frac{1}{3}x^2+3$

$latex \frac{1}{3}x^2+x=0$

$latex x(\frac{1}{3}x+1)=0$

$latex x=-3~~$ o $latex ~~x=0$

Ahora, podemos trazar una gráfica para visualizar el área requerida:

Ejemplo2 de area entre dos curvas

Entonces, vemos que el área de la región está dada por el área de la recta menos el área de la curva. Es decir, tenemos:

$$A=\int_{-3}^{0} \left(-\frac{1}{3}x^2+3\right)dx-\int_{-3}^{0} (x+3 )dx $$

$$=\int_{-3}^{0} \left(-\frac{1}{3}x^2+3\right) – (x+3)dx$$

$$=\int_{-3}^{0} \left(-\frac{1}{3}x^2-x\right) dx$$

$$=\left[ -\frac{x^3}{9}-\frac{x^2}{2} \right]_{-3}^{0}$$

$$=\left[ -\frac{0^3}{9}-\frac{0^2}{2} \right]-\left[ -\frac{(-3)^3}{9}-\frac{(-3)^2}{2} \right]$$

$$=-\left[ 3-\frac{9}{2} \right]$$

$$=\frac{3}{2}$$

El área de la región de intersección de las dos curvas dadas es 1.5.

EJERCICIO 3

¿Cuál es el área entre la recta $latex y=x+4$ y la curva $latex y=x^2-3x-1$?

Encontrando los puntos de intersección de la recta y la curva, tenemos:

$latex x+4=x^2-3x-1$

$latex x^2-4x-5=0$

$latex (x-5)(x+1)=0$

$latex x=5~~$ o $latex ~~x=-1$

Cuando trazamos una gráfica, tenemos lo siguiente:

Ejercicio 3 de area entre dos curvas

Podemos ver que el área requerida es igual al área bajo la recta menos el área bajo la curva. Entonces, tenemos:

$$A=\int_{-1}^{5} (x+4 )dx-\int_{-1}^{5} (x^2-3x-1) dx$$

$$=\int_{-1}^{5} (x+4)- (x^2-3x-1) dx$$

$$=\int_{-1}^{5} (-x^2+4x+5) dx$$

$$=\left[ -\frac{x^3}{3}+2x^2+5x \right]_{-1}^{5}$$

$$=\left[ -\frac{(5)^3}{3}+2(5)^2+5(5) \right]-\left[ -\frac{(-1)^3}{3}+2(-1)^2+5(-1) \right]$$

$$=\left[ -\frac{125}{3}+50+25 \right]-\left[ \frac{1}{3}+2-5 \right]$$

$$=\frac{100}{3} +\frac{8}{3}$$

$$=\frac{108}{3} $$

$$=36$$

El área entre las dos curvas dadas es 36.

EJERCICIO 4

Si es que tenemos las curvas $latex y=x^2+2x+2$ y $latex y=-x^2+2x+10$, ¿cuál es el área de la región de intersección?

Empezamos encontrando los puntos de intersección:

$$x^2+2x+2=-x^2+2x+10$$

$latex 2x^2-8=2$

$latex x=\pm 2$

Al trazar una gráfica, tenemos:

ejemplo 3 area entre dos curvas

Podemos encontrar el área de la región requerida de la siguiente forma:

$$A=\int_{-2}^{2} (-x^2+2x+10) dx-\int_{-2}^{2} (x^2+2x+2) dx$$

$$=\int_{-2}^{2} (-x^2+2x+10) – (x^2+2x+2) dx$$

$$=\int_{-2}^{2} (-2x^2+8) dx$$

$$=\left[ -\frac{2x^3}{3}+8x \right]_{-2}^{2}$$

$$=\left[ -\frac{16}{3}-16 \right]-\left[ \frac{16}{3}-16 \right]$$

$$=\frac{32}{3}+\frac{32}{3}$$

$$=\frac{64}{3}$$

El área de la región requerida que se ubica entre las curvas es $latex \frac{64}{3}$.

EJERCICIO 5

Encuentra el área de la región de intersección de las curvas $latex y=x^2+2$ y $latex y=-x^2+3$.

Empezamos encontrando los puntos de intersección de las curvas:

$latex x^2+2=-x^2+3$

$latex 2x^2=1$

$latex x=\pm \sqrt{0.5}$

Cuando trazamos una gráfica, tenemos:

ejemplo 4 area entre dos curvas

Podemos determinar el área de la región requerida de la siguiente forma:

$$A=\int_{-\sqrt{0.5}}^{\sqrt{0.5}} (-x^2+3) dx-\int_{\sqrt{0.5}}^{\sqrt{0.5}} (x^2+2) dx$$

$$=\int_{\sqrt{0.5}}^{\sqrt{0.5}} (-x^2+3) – (x^2+2) dx$$

$$=\int_{\sqrt{0.5}}^{\sqrt{0.5}} (-2x^2+1) dx$$

$$=\left[ -\frac{2x^3}{3}+x \right]_{-\sqrt{0.5}}^{\sqrt{0.5}}$$

$$=\left[ -\frac{\sqrt{0.5}}{3}+\sqrt{0.5} \right]-\left[ \frac{\sqrt{0.5}}{3}-\sqrt{0.5} \right]$$

$$=0.4714+0.4714$$

$$=0.9428$$

El área entre las dos curvas dadas es $latex 0.9428$.

EJERCICIO 6

Si es que tenemos la curva $latex y=x^2-2x-3$ y la recta $latex y=x+1$, ¿cuál es el área de la región de intersección?

Los puntos de intersección son encontrados de la siguiente forma:

$latex x^2-2x-3=x+1$

$latex x^2-3x-4=0$

$latex (x-4)(x+1)=0$

$latex x=4~~$ o $latex ~~x=-1$

Entonces, tenemos la siguiente gráfica:

ejemplo 5 area entre dos curvas

En este caso, parte del área requerida está bajo el eje x. Sin embargo, el área de la región puede ser calculada usando el mismo método. Entonces, tenemos:

$$A=\int_{-1}^{4} (x+1) dx-\int_{-1}^{4} (x^2-2x-3) dx$$

$$=\int_{-1}^{4} (x+1) – (x^2-2x-3) dx$$

$$=\int_{-1}^{4} (-x^2+3x+4) dx$$

$$=\left[ -\frac{x^3}{3}+\frac{3x^2}{2}+4x \right]_{-1}^{4}$$

$$=\left[ -\frac{64}{3}+24+16 \right]-\left[ \frac{1}{3}+\frac{3}{2}-4 \right]$$

$$=\frac{56}{3}+\frac{13}{6}$$

$$=\frac{125}{6}$$

El área de la región requerida es $latex \frac{125}{6}$.

EJERCICIO 7

Encuentra el área entre las curvas $latex y=x^2-3$ y $latex y=\frac{1}{4}x^3-x+1$ que va desde $latex x=-2$ hasta $latex x=2$.

En este caso, no tenemos que encontrar los puntos de intersección, ya que está especificado que tenemos que encontrar el área que va desde $latex x=-2$ hasta $latex x=2$.

Trazando una gráfica, podemos visualizar esta área:

Ejercicio 7 de area entre dos curvas

Ahora, vemos que el área requerida está dada por el área de la curva cúbica menos el área de la curva cuadrática:

$$A=\int_{-2}^{2} \left(\frac{1}{4}x^3-x+1\right)dx-\int_{-2}^{2} (x^2-3 )dx $$

$$=\int_{-2}^{2} \left(\frac{1}{4}x^3-x+1\right) – (x^2-3)dx$$

$$=\int_{-2}^{2} \left(\frac{1}{4}x^3-x^2-x+4\right) dx$$

$$=\left[ \frac{x^4}{16}-\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}+4x \right]_{-2}^{2}$$

$$=\left[ 1-\frac{8}{3}-2+8 \right]-\left[ 1+\frac{8}{3}-2-8 \right]$$

$$=\frac{13}{3}+\frac{19}{3}$$

$$=\frac{32}{3}$$

El área de la región de intersección de las dos curvas dadas es 10.67.

EJERCICIO 8

¿Cuál es el área entre las curvas $latex y=-x^2+2$ y $latex y=\frac{1}{2}x^3-4x+2$ que va desde $latex x=0$ hasta $latex x=2$.

Similar al ejercicio anterior, no tenemos que encontrar los puntos de intersección, ya que conocemos los límites de integración. Entonces, trazando una gráfica, tenemos:

Ejercicio 8 de area entre dos curvas

Vemos que el área requerida es igual al área de la curva cuadrática menos el área de la curva cúbica:

$$A=\int_{0}^{2} \left(-x^2+2\right)dx-\int_{0}^{2} \left(\frac{1}{2}x^3-4x+2\right) dx$$

$$=\int_{0}^{2} \left(-x^2+2\right) – \left(\frac{1}{2}x^3-4x+2\right)dx$$

$$=\int_{0}^{2} \left(-\frac{1}{2}x^3-x^2+4x\right) dx$$

$$=\left[ -\frac{x^4}{8}-\frac{x^3}{3}+2x^2 \right]_{0}^{2}$$

$$=\left[ -2-\frac{8}{3}+8 \right]-\left[ 0 \right]$$

$$=\frac{10}{3}$$

El área de la región de intersección de las dos curvas dadas es 3.33.


Ejercicios del área entre dos curvas para resolver

Pon a prueba tu conocimiento sobre el área entre dos curvas al resolver los siguientes ejercicios de práctica.

¿Cuál es el área de la región de intersección de la recta $latex y=2x$ y la curva $latex y=x^2-2x$?

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Encuentra el área entre la recta $latex y=-3x$ y la curva $latex y=3x-x^2$.

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Si es que tenemos la recta $latex y=x+1$ y la curva $latex y=x^2-1$, ¿cuál es el área de su intersección?

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Encuentra el área entre $latex y=\frac{1}{2}x+3$ y $latex y=\frac{1}{3}x^2-x$.

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