Área entre dos curvas – Ejercicios resueltos

Podemos empezar encontrando los puntos de intersección de las curvas para determinar los límites de la región. Entonces, tenemos:

$latex x^2+1=-x^2+3$

$latex 2x^2=2$

$latex x=\pm 1$

Podemos trazar una gráfica para visualizar el área requerida:

El área de la región puede ser obtenida restando el área bajo la curva $latex y=x^2+1$ del área bajo la curva $latex y=-x^2+3$. Entonces, tenemos:

$$A=\int_{-1}^{1} (-x^2+3) dx-\int_{-1}^{1} (x^2+1) dx$$

$$=\int_{-1}^{1} (-x^2+3) – (x^2+1) dx$$

$$=\int_{-1}^{1} (-2x^2+2) dx$$

$$=\left[ -\frac{2x^3}{3}+2x \right]_{-1}^{1}$$

$$=\left[ -\frac{2}{3}+2 \right]-\left[ \frac{2}{3}-2 \right]$$

$$=\frac{4}{3}+\frac{4}{3}$$

$$=\frac{8}{3}$$

El área de la región de intersección de las dos curvas es $latex \frac{8}{3}$.

Similar al ejercicio anterior, tenemos que empezar encontrando los puntos de intersección de la recta y la curva. Entonces, tenemos:

$latex x+3=-\frac{1}{3}x^2+3$

$latex \frac{1}{3}x^2+x=0$

$latex x(\frac{1}{3}x+1)=0$

$latex x=-3~~$ o $latex ~~x=0$

Ahora, podemos trazar una gráfica para visualizar el área requerida:

Entonces, vemos que el área de la región está dada por el área de la recta menos el área de la curva. Es decir, tenemos:

$$A=\int_{-3}^{0} \left(-\frac{1}{3}x^2+3\right)dx-\int_{-3}^{0} (x+3 )dx $$

$$=\int_{-3}^{0} \left(-\frac{1}{3}x^2+3\right) – (x+3)dx$$

$$=\int_{-3}^{0} \left(-\frac{1}{3}x^2-x\right) dx$$

$$=\left[ -\frac{x^3}{9}-\frac{x^2}{2} \right]_{-3}^{0}$$

$$=\left[ -\frac{0^3}{9}-\frac{0^2}{2} \right]-\left[ -\frac{(-3)^3}{9}-\frac{(-3)^2}{2} \right]$$

$$=-\left[ 3-\frac{9}{2} \right]$$

$$=\frac{3}{2}$$

El área de la región de intersección de las dos curvas dadas es 1.5.

Encontrando los puntos de intersección de la recta y la curva, tenemos:

$latex x+4=x^2-3x-1$

$latex x^2-4x-5=0$

$latex (x-5)(x+1)=0$

$latex x=5~~$ o $latex ~~x=-1$

Cuando trazamos una gráfica, tenemos lo siguiente:

Podemos ver que el área requerida es igual al área bajo la recta menos el área bajo la curva. Entonces, tenemos:

$$A=\int_{-1}^{5} (x+4 )dx-\int_{-1}^{5} (x^2-3x-1) dx$$

$$=\int_{-1}^{5} (x+4)- (x^2-3x-1) dx$$

$$=\int_{-1}^{5} (-x^2+4x+5) dx$$

$$=\left[ -\frac{x^3}{3}+2x^2+5x \right]_{-1}^{5}$$

$$=\left[ -\frac{(5)^3}{3}+2(5)^2+5(5) \right]-\left[ -\frac{(-1)^3}{3}+2(-1)^2+5(-1) \right]$$

$$=\left[ -\frac{125}{3}+50+25 \right]-\left[ \frac{1}{3}+2-5 \right]$$

$$=\frac{100}{3} +\frac{8}{3}$$

$$=\frac{108}{3} $$

$$=36$$

El área entre las dos curvas dadas es 36.

Empezamos encontrando los puntos de intersección:

$$x^2+2x+2=-x^2+2x+10$$

$latex 2x^2-8=2$

$latex x=\pm 2$

Al trazar una gráfica, tenemos:

Podemos encontrar el área de la región requerida de la siguiente forma:

$$A=\int_{-2}^{2} (-x^2+2x+10) dx-\int_{-2}^{2} (x^2+2x+2) dx$$

$$=\int_{-2}^{2} (-x^2+2x+10) – (x^2+2x+2) dx$$

$$=\int_{-2}^{2} (-2x^2+8) dx$$

$$=\left[ -\frac{2x^3}{3}+8x \right]_{-2}^{2}$$

$$=\left[ -\frac{16}{3}-16 \right]-\left[ \frac{16}{3}-16 \right]$$

$$=\frac{32}{3}+\frac{32}{3}$$

$$=\frac{64}{3}$$

El área de la región requerida que se ubica entre las curvas es $latex \frac{64}{3}$.

Empezamos encontrando los puntos de intersección de las curvas:

$latex x^2+2=-x^2+3$

$latex 2x^2=1$

$latex x=\pm \sqrt{0.5}$

Cuando trazamos una gráfica, tenemos:

Podemos determinar el área de la región requerida de la siguiente forma:

$$A=\int_{-\sqrt{0.5}}^{\sqrt{0.5}} (-x^2+3) dx-\int_{\sqrt{0.5}}^{\sqrt{0.5}} (x^2+2) dx$$

$$=\int_{\sqrt{0.5}}^{\sqrt{0.5}} (-x^2+3) – (x^2+2) dx$$

$$=\int_{\sqrt{0.5}}^{\sqrt{0.5}} (-2x^2+1) dx$$

$$=\left[ -\frac{2x^3}{3}+x \right]_{-\sqrt{0.5}}^{\sqrt{0.5}}$$

$$=\left[ -\frac{\sqrt{0.5}}{3}+\sqrt{0.5} \right]-\left[ \frac{\sqrt{0.5}}{3}-\sqrt{0.5} \right]$$

$$=0.4714+0.4714$$

$$=0.9428$$

El área entre las dos curvas dadas es $latex 0.9428$.

Los puntos de intersección son encontrados de la siguiente forma:

$latex x^2-2x-3=x+1$

$latex x^2-3x-4=0$

$latex (x-4)(x+1)=0$

$latex x=4~~$ o $latex ~~x=-1$

Entonces, tenemos la siguiente gráfica:

En este caso, parte del área requerida está bajo el eje x. Sin embargo, el área de la región puede ser calculada usando el mismo método. Entonces, tenemos:

$$A=\int_{-1}^{4} (x+1) dx-\int_{-1}^{4} (x^2-2x-3) dx$$

$$=\int_{-1}^{4} (x+1) – (x^2-2x-3) dx$$

$$=\int_{-1}^{4} (-x^2+3x+4) dx$$

$$=\left[ -\frac{x^3}{3}+\frac{3x^2}{2}+4x \right]_{-1}^{4}$$

$$=\left[ -\frac{64}{3}+24+16 \right]-\left[ \frac{1}{3}+\frac{3}{2}-4 \right]$$

$$=\frac{56}{3}+\frac{13}{6}$$

$$=\frac{125}{6}$$

El área de la región requerida es $latex \frac{125}{6}$.

En este caso, no tenemos que encontrar los puntos de intersección, ya que está especificado que tenemos que encontrar el área que va desde $latex x=-2$ hasta $latex x=2$.

Trazando una gráfica, podemos visualizar esta área:

Ahora, vemos que el área requerida está dada por el área de la curva cúbica menos el área de la curva cuadrática:

$$A=\int_{-2}^{2} \left(\frac{1}{4}x^3-x+1\right)dx-\int_{-2}^{2} (x^2-3 )dx $$

$$=\int_{-2}^{2} \left(\frac{1}{4}x^3-x+1\right) – (x^2-3)dx$$

$$=\int_{-2}^{2} \left(\frac{1}{4}x^3-x^2-x+4\right) dx$$

$$=\left[ \frac{x^4}{16}-\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}+4x \right]_{-2}^{2}$$

$$=\left[ 1-\frac{8}{3}-2+8 \right]-\left[ 1+\frac{8}{3}-2-8 \right]$$

$$=\frac{13}{3}+\frac{19}{3}$$

$$=\frac{32}{3}$$

El área de la región de intersección de las dos curvas dadas es 10.67.

Similar al ejercicio anterior, no tenemos que encontrar los puntos de intersección, ya que conocemos los límites de integración. Entonces, trazando una gráfica, tenemos:

Vemos que el área requerida es igual al área de la curva cuadrática menos el área de la curva cúbica:

$$A=\int_{0}^{2} \left(-x^2+2\right)dx-\int_{0}^{2} \left(\frac{1}{2}x^3-4x+2\right) dx$$

$$=\int_{0}^{2} \left(-x^2+2\right) – \left(\frac{1}{2}x^3-4x+2\right)dx$$

$$=\int_{0}^{2} \left(-\frac{1}{2}x^3-x^2+4x\right) dx$$

$$=\left[ -\frac{x^4}{8}-\frac{x^3}{3}+2x^2 \right]_{0}^{2}$$

$$=\left[ -2-\frac{8}{3}+8 \right]-\left[ 0 \right]$$

$$=\frac{10}{3}$$

El área de la región de intersección de las dos curvas dadas es 3.33.