Volumen de revolución con respecto al eje y – Ejercicios

El volumen de revolución formado cuando rotamos a un área por 2π con respecto al eje y puede ser encontrado usando una integral definida del cuadrado de la ecuación de la curva y multiplicar el resultado por π. La fórmula para este volumen puede ser derivada usando límites e integrales.

A continuación, aprenderemos cómo calcular el volumen de revolución con respecto al eje y. Conoceremos cómo derivar su fórmula y la aplicaremos en algunos ejemplos.

CÁLCULO
Fórmula del volumen de revolución con respecto al eje y

Relevante para

Aprender a calcular el volumen de revolución sobre el eje y.

Ver ejercicios

CÁLCULO
Fórmula del volumen de revolución con respecto al eje y

Relevante para

Aprender a calcular el volumen de revolución sobre el eje y.

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Cómo encontrar el volumen de revolución con respecto al eje y

El volumen de un sólido de revolución formado al rotar a una área por 2π radianes con respecto al eje y puede ser encontrado en la misma forma que cuando es al respecto del eje x. Entonces, tenemos la siguiente fórmula

$$V=\pi \int_{a}^{b} x^2 d y$$

En este caso, debemos tener en cuenta que $latex dy $ indica que los límites $latex a$ y $latex b$ son límites de $latex y$.

Entonces, seguimos el siguiente proceso para aplicar la fórmula correctamente:

1. Encontramos una expresión para x en términos de y.

Por ejemplo, si $latex y=x^2$, entonces, $latex x=\sqrt{y}$.

2. Elevar al cuadrado a la expresión obtenida en el paso 1.

Es decir, tenemos $latex x^2$.

3. Evaluar la integral definida $latex \int_{a}^{b} x^2 d y$.

Para esto, reemplazamos la expresión para $latex x^2$ del paso 2.

4. Multiplicar por π al resultado del paso 3 para encontrar el volumen del sólido formado.

Puedes hacer una revisión de integrales definidas en este artículo: Cómo calcular integrales definidas.


Ejercicios resueltos del volumen de revolución con respecto al eje y

EJERCICIO 1

Encuentra el volumen generado cuando $latex y=\frac{1}{2}x$ es rotada con respecto al eje y, desde $latex y=0$ hasta $latex y=6$.

Solución

EJERCICIO 2

¿Cuál es el volumen generado cuando $latex y=x^2$ es rotada con respecto al eje y, desde $latex y=0$ hasta $latex y=9$?

Solución

EJERCICIO 3

Si es que tenemos la curva $latex y=x^3$, ¿cuál es el volumen generado al rotarla con respecto al eje y, desde $latex y=1$ hasta $latex y=8$?

Solución

EJERCICIO 4

Encuentra el volumen generado cuando la curva $latex y=\sqrt{x}$ es rotada con respecto al eje y, desde $latex y=0$ hasta $latex y=3$.

Solución

EJERCICIO 5

¿Cuál es el volumen generado cuando $latex y=x^4$ es rotada con respecto al eje y, desde $latex y=1$ hasta $latex y=4$?

Solución

EJERCICIO 6

Encuentra el volumen de revolución de $latex y=x-1$ con respecto al eje x desde $latex y=2$ hasta $latex y=5$.

Solución

Volumen de revolución con respecto al eje y – Ejercicios para resolver

Práctica de volumen de revolución en eje y
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¡Has completado los ejercicios!

Encuentra el volumen del sólido formado al rotar a $latex y=\frac{1}{2}x+3$ con respecto al eje y desde $latex y=4$ y $latex y=6$.

Escribe la respuesta en la casilla.

$latex V=$ π

Véase también

¿Interesado en aprender más sobre integrales de funciones? Puedes mirar estas páginas:

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Jefferson Huera Guzmán

Jefferson es el autor principal y administrador de Neurochispas.com. Los contenidos interactivos de Matemáticas y Física que he creado han ayudado a muchos estudiantes.

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