Tangente de un Ángulo – Fórmulas y Ejercicios

La tangente de un ángulo puede ser definida usando a un triángulo rectángulo. La tangente es igual a la longitud del lado opuesto al ángulo dividida por la longitud del lado adyacente. A pesar de que la tangente es definida con los ángulos de un triángulo rectángulo, la función tangente puede ser usada para cualquier ángulo.

A continuación, aprenderemos más sobre la tangente de un ángulo. Conoceremos los valores de la tangente de ángulos importantes y resolveremos algunos ejercicios de práctica.

TRIGONOMETRÍA
tangente de un ángulo

Relevante para

Aprender sobre la tangente de un ángulo con ejercicios.

Ver fórmula

TRIGONOMETRÍA
tangente de un ángulo

Relevante para

Aprender sobre la tangente de un ángulo con ejercicios.

Ver fórmula

Definición de la tangente de un ángulo

El seno y el coseno no son las únicas funciones trigonométricas frecuentemente usadas. La tangente de un ángulo es otra función trigonométrica muy importante. La tangente es definida en términos del círculo unitario.

En el siguiente diagrama, la tangente es la longitud de la línea vertical ED que es tangente desde el punto de tangencia, E, hasta el punto D en donde la línea tangente corta al rayo AD formado por el ángulo.

diagrama de relacion entre seno coseno tangente

Tangentes en términos de seno y coseno

Los triángulos ABC y ADE del diagrama de arriba son semejantes, por lo que las proporciones de sus lados son iguales. Esto significa que tenemos:

$latex \frac{ED}{AE}=\frac{CB}{AC}$

Mirando al diagrama, vemos que tenemos $latex EA=\tan(A)$. Usamos al círculo unitario, por lo que tenemos $latex AE=1$. Además, también tenemos las relaciones $latex CB=\sin(A)$ y $latex AC=\cos(A)$. Usando esto, encontramos la identidad fundamental:

$latex \tan(A)=\frac{\sin(A)}{\cos(A)}$

Triángulos rectángulos y tangentes

Similar a como el seno y el coseno pueden ser encontrados en términos de los lados de un triángulo rectángulo, también podemos hacer lo mismo con las tangentes. Vamos a usar al triángulo rectángulo ABC que tiene un ángulo recto en C.

Podemos usar las relaciones que ya hemos visto. Primero, tenemos $latex \tan(A)=\frac{\sin(A)}{\cos(A)}$. También usamos las relaciones $latex \sin(A)=\frac{a}{c}$ y $latex \cos(A)=\frac{b}{c}$.

Usando esto, podemos dividir a $latex \frac{a}{c}$ por $latex \frac{b}{c}$. Al cancelar a c en el numerado y el denominador, concluimos que $latex \tan(A)=\frac{a}{b}$. Esto significa que la tangente es igual al lado opuesto dividido por el lado adyacente:

$latex \tan(x)=\frac{\text{opuesto}}{\text{adyacente}}$

Tangentes para ángulos especiales comunes

La tangente de los ángulos más comunes es encontrada usando las proporciones de los lados de triángulos especiales y el hecho que la tangente es igual al seno sobre el coseno. Por ejemplo, vamos a usar un triángulo isósceles rectángulo, el cual tiene los ángulos 45°-45°-90°.

Podemos usar el teorema de Pitágoras: $latex {{c}^2}={{a}^2}+{{b}^2}$. En este caso, dos lados son iguales, es decir, $latex a=b$. Entonces,  tenemos $latex {{c}^2}=2{{a}^2}$. Esto significa que tenemos $latex c=a\sqrt{2}$.

Por lo tanto, tanto el seno como el coseno de 45° son iguales a $latex \frac{1}{\sqrt{2}}$ o $latex \frac{\sqrt{2}}{2}$. Dado que la tangente es igual al seno sobre el coseno, la tangente de 45° es igual a 1.

triangulo 30-60-90 y triangulo 45-45-90

También usamos al triángulo especial 30°-60°-90°. Este triángulo tiene lados de proporción 1:$latex \sqrt{3}$:2. Usando estas proporciones, tenemos $latex \sin(30^{\circ})=\cos(60^{\circ})=\frac{1}{2}$ y también tenemos $latex \sin(60^{\circ})=\cos(30^{\circ})=\frac{\sqrt{3}}{2}$.

GradosRadianesSenoCosenoTangente
90°$latex \frac{\pi}{2}$10Indefinido
60°$latex \frac{\pi}{3}$$latex \frac{\sqrt{3}}{2}$$latex \frac{1}{2}$$latex \sqrt{3}$
45°$latex \frac{\pi}{4}$$latex \frac{\sqrt{2}}{2}$$latex \frac{\sqrt{2}}{2}$1
30°$latex \frac{\pi}{6}$$latex \frac{1}{2}$$latex \frac{\sqrt{3}}{2}$$latex \frac{\sqrt{3}}{3}$
0010

Ejercicios de tangente de un ángulo resueltos

Los siguientes ejercicios son resueltos usando lo aprendido sobre las tangentes de ángulos. Todos los ejercicios hacen referencia al triángulo rectángulo visto arriba.

EJERCICIO 1

En un triángulo, tenemos $latex \tan(A)=1.2$ y $latex b=5$, ¿cuál es el valor de a?

Usamos el triángulo de arriba como referencia. Entonces, tenemos la relación $latex \tan(A)=\frac{b}{a}$. Usando los valores dados en esta fórmula y resolviendo para c, tenemos:

$latex \tan(A)=\frac{b}{a}$

$latex 1.2=\frac{5}{a}$

$latex a=\frac{5}{1.2}$

$latex a=4.17$

La longitud de a es 4.17.

EJERCICIO 2

Determina el valor de b si es que tenemos $latex a=11$ y $latex \tan(B)=0.78$.

Usamos el triángulo de arriba como referencia y podemos obtener la relación $latex \tan(B)=\frac{b}{a}$. Reemplazamos a los valores dados en esta fórmula y al resolver para c, tenemos:

$latex \tan(B)=\frac{b}{a}$

$latex 0.78=\frac{b}{11}$

$latex b=0.78(11)$

$latex b=8.58$

La longitud de b es 8.58.

EJERCICIO 3

Determina la medida del ángulo A si es que tenemos $latex a=12$ y $latex b=8$.

Formamos la expresión $latex \tan(A)=\frac{a}{b}$. Entonces, usando los valores dados, tenemos:

$latex \tan(A)=\frac{a}{b}$

$latex \tan(A)=\frac{12}{8}$

$latex \tan(A)=1.5$

Ahora, tenemos que usar la función $latex {{\tan}^{-1}}$ en una calculadora para obtener el resultado:

$latex {{\tan(1.5)}^{-1}}=56.3$°

El ángulo A mide 56.3°.


Ejercicios de tangente de un ángulo para resolver

Usa la fórmula de la tangente vista arriba para resolver los siguientes ejercicios de práctica. Determina la longitud de un lado o la medida de un ángulo con la información dada.

Si es que tenemos $latex b=5.7$ y $latex tan(A)=1.8$, ¿cuál es el valor de a?

Escoge una respuesta






Si es que tenemos $latex b=15$ y $latex tan(B)=1.9$, ¿cuál es el valor de a?

Escoge una respuesta






Si es que tenemos $latex b=12$ y $latex a=18$, ¿cuál es el valor de A?

Escoge una respuesta







Véase también

¿Interesado en aprender más sobre tangentes? Mira estas páginas:

Aprende matemáticas con nuestros recursos adicionales en varios temas diferentes

Conoce Más