Reflexión de funciones con respecto al eje x y al eje y

La transformación de funciones son los cambios que podemos aplicar en una función para modificar su gráfica. Una de las transformaciones importantes es la reflexión de funciones. Una función puede ser reflejada con respecto al eje x cuando tenemos –f(x) y puede ser reflejada con respecto al eje y cuando tenemos f(-x).

A continuación, aprenderemos cómo obtener una reflexión de una función, tanto en el eje x como en el eje y. Usaremos ejemplos para ilustrar las ideas importantes.

ÁLGEBRA
Gráfica de recta con reflexion en eje x y eje y

Relevante para

Aprender a sobre la reflexión de funciones en el eje x y el eje y.

Ver transformaciones

ÁLGEBRA
Gráfica de recta con reflexion en eje x y eje y

Relevante para

Aprender a sobre la reflexión de funciones en el eje x y el eje y.

Ver transformaciones

Realizar reflexiones de una función con respecto al eje x y al eje y

Las reflexiones de una función son transformaciones que logran que la gráfica de la función sea reflejada con respecto a uno de los ejes. Una reflexión es equivalente a «darle la vuelta» a la gráfica de la función usando los ejes como referencia.

Podemos entender este concepto usando a la función $latex f(x)=x+1$. Cuando graficamos esta función, obtenemos la recta mostrada en la siguiente gráfica:

Gráfica de recta 3

Ahora, podemos realizar dos transformaciones diferentes en la función $latex f(x)$ para obtener las siguientes funciones:

(i) $latex -f(x)=-(x+1)=-x-1$

(ii) $latex f(-x)=(-x)+1=-x+1$

Si es que graficamos a las funciones (i) y (ii) junto con la función $latex f(x)$ original, tenemos:

Gráfica de recta con reflexion en eje x y eje y

En el caso (i), la gráfica de la función original $latex f(x)$ ha sido reflejada con respecto al eje x.

En el caso (ii), la gráfica de la función original $latex f(x)$ ha sido reflejada con respecto al eje y.

En resumen, tenemos:

  • La transformación $latex -f(x)$, resulta en una reflexión de la gráfica de $latex f(x)$ con respecto al eje x.
  • La transformación $latex f(-x)$, resulta en una reflexión de la gráfica de $latex f(x)$ con respecto al eje y.


Ejemplos de reflexión de funciones

En los siguientes ejemplos, aplicamos lo aprendido sobre la reflexión de funciones con respecto al eje x y con respecto al eje y. Cada ejemplo tiene una solución detallada.

EJEMPLO 1

Traza la gráfica de la función $latex f(x)=x^2-2$ y luego, grafica la función $latex g(x)=-f(x)$.

La gráfica de f es una parábola con un desplazamiento de 2 unidades hacia abajo, como se muestra en la siguiente gráfica:

grafica de funcion cuadratica 3

Ahora, cuando aplicamos la transformación en la función g, obtenemos $latex g(x)=-x^2+2$. Podemos obtener su gráfica al al reflejar a la gráfica de f con respecto al eje x:

Grafica de funcion cuadrática con reflexion en eje x

.

EJEMPLO 2

¿Cuál es la diferencia entre la gráfica de $latex f(x)=\cos(2x)$ y la gráfica de $latex g(x)=\cos(-2x)$?

La gráfica de la función $latex f(x)=\cos(2x)$ es la siguiente:

Gráfica de cos2x

Podemos observar que la función g es equivalente a $latex g(x)=f(-x)$. Entonces, la función g es obtenida al aplicar una reflexión con respecto al eje y.

Ahora, podemos mirar que la gráfica de $latex f(x)=\cos(2x)$ tiene una simetría con respecto al eje y. Esto significa que si es que la reflejamos con respecto al eje y, obtendremos la misma gráfica.

Entonces, las gráficas de $latex f(x)=\cos(2x)$ y de $latex g(x)=\cos(-2x)$ son las mismas.

EJEMPLO 3

Grafica la función valor absoluto en su forma base y luego grafica a $latex g(x)=-|x|$.

La gráfica de la función valor absoluto en su forma base, $latex f(x)=|x|$, es la siguiente:

grafica de funcion valor absoluto y caracteristicas

Ahora, podemos observar que la función g es igual a $latex g(x)=-f(x)$. Entonces, obtenemos la gráfica de g al aplicar una reflexión con respecto al eje x de la gráfica de f.

grafica de funcion valor absoluto con reflexión en eje x

.

EJEMPLO 4

¿Cuál es una función que tiene una reflexión con respecto al eje y de la función $latex f(x)=3x^2+5x+3$?

Para obtener una reflexión con respecto al eje y, tenemos que aplicar la transformación $latex g(x)=f(-x)$.

Entonces, podemos encontrar la función g al sustituir –x por x en la función f:

$latex g(x)=3(-x)^2+5(-x)+3$

$latex g(x)=3x^2-5-x+3$

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Ejercicios de reflexión de funciones para resolver

Resuelve los siguientes ejercicios usando todo lo aprendido sobre la reflexión de funciones.

Tenemos la función $latex f(x)=3x^3+4x-5$, ¿cuál es la transformación de la función $latex g(x)=-3x^3-4x-5$ con respecto a f?

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Si es que tenemos la función $latex f(x)=x^2-x+2$. ¿Cuál de las siguientes funciones tiene una reflexión en el eje y con respecto a la función f?

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¿Cuál de las siguientes funciones tiene una reflexión en y con respecto a la función $latex f(x)=x^4-x^3-2x-3$?

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Véase también

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