Transformaciones de las gráficas de funciones

Existen varias transformaciones que podemos aplicar a las funciones para modificar sus gráficas. Podemos realizar aplicar un desplazamiento vertical o un desplazamiento horizontal. Además, también podemos producir reflexiones con respecto al eje x y al eje y. Por último, podemos estirar o comprimir a las gráficas.

A continuación, conoceremos las diferentes transformaciones usadas para modificar las gráficas de las funciones. Usaremos varios ejemplos para entender las ideas.

ÁLGEBRA
Grafica de funcion cuadrática con desplazamiento vertical

Relevante para

Aprender a realizar transformaciones de funciones.

Ver transformaciones

ÁLGEBRA
Grafica de funcion cuadrática con desplazamiento vertical

Relevante para

Aprender a realizar transformaciones de funciones.

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Desplazamiento vertical de una función

Consideremos a la función f definida por $latex f(x)=x^2$. Si es que graficamos esta función, tenemos lo siguiente:

Grafica funcion cuadrática

Ahora, si es que simplificamos las expresiones para (i) $latex f(x)+1$ y para (ii) $latex f(x)-1$, tenemos:

(i) $latex f(x)+1=x^2+1~$ y (ii) $latex f(x)-1=x^2-1$

Al graficar las funciones (i) y (ii) en el mismo plano cartesiano que la función original, obtenemos las curvas mostradas en el siguiente diagrama:

Grafica de funcion cuadrática con desplazamiento vertical

En el caso (i), la gráfica de f ha sido trasladada 1 unidad hacia arriba. Es decir, 1 unidad paralela al eje y.

En el caso (ii), la gráfica de f ha sido trasladada 1 unidad hacia abajo. Es decir, -1 unidad paralela al eje y.

En general, tenemos lo siguiente:

  • La transformación $latex f(x)+a$, en donde $latex a$ es una constante, produce un desplazamiento en la gráfica de f de $latex a$ unidades paralelo al eje y (hacia arriba).
  • La transformación $latex f(x)-a$, en donde $latex a$ es una constante, produce un desplazamiento en la gráfica de f de $latex -a$ unidades paralelo al eje y (hacia abajo).

EJEMPLO

La función f está definida por $latex f(x)=x^3$. Traza la gráfica de f y luego traza la gráfica de $latex g(x)=x^3-3$.

Solución: La gráfica de f está mostrada en la parte izquierda de la siguiente gráfica.

Dado que $latex g(x)=f(x)-3$, podemos obtener la gráfica de la función g al trasladar a la gráfica de f por -3 unidades con respecto al eje y (3 unidades hacia abajo). Esta gráfica es mostrada en la derecha:

ejemplo 1 de desplazamiento vertical en una grafica

Desplazamiento horizontal de una función

Consideremos a la función f definida por $latex f(x)=2x-1$. Al graficar esta función, obtenemos una recta como se muestra en la siguiente gráfica:

Grafica funcion lineal 2x menos 1

Ahora, si es que simplificamos las expresiones para (i) $latex f(x+2)$ y para (ii) $latex f(x-2)$, tenemos:

(i) $latex f(x+2)=2(x+2)-1~$ y (ii) $latex f(x-2)=2(x-2)-1$

(i) $latex f(x+2)=2x+3~$ y (ii) $latex f(x-2)=2x-5$

Si es que graficamos a las funciones (i) y (ii) en el mismo plano cartesiano que la función original, obtenemos las siguientes rectas:

Gráfica de recta con desplazamiento horizontal

En el caso (i), la gráfica de f ha sido trasladada 2 unidades hacia la izquierda. Es decir, -2 unidades paralelas al eje x.

En el caso (ii), la gráfica de f ha sido trasladada 2 unidades hacia la derecha. Es decir, 2 unidades paralelas al eje x.

En general, tenemos lo siguiente:

  • La transformación $latex f(x+a)$, en donde $latex a$ es una constante, produce un desplazamiento en la gráfica de f de $latex -a$ unidades paralelas al eje x (hacia la izquierda).
  • La transformación $latex f(x-a)$, en donde $latex a$ es una constante, produce un desplazamiento en la gráfica de f de $latex a$ unidades paralelas al eje x (hacia la derecha).

EJEMPLO

Grafica la función $latex f(x)=x^2-1$. Luego, encuentra la versión simplificada de $latex g(x)=f(x+2)$ y grafícala.

Solución: La gráfica de la función f es la siguiente:

grafica de funcion cuadratica 2

Ahora, la función g está dada por:

$latex g(x)=f(x+2)$

$latex =(x+2)^2-1$

$latex =x^2+4x+4-1$

$latex =x^2+4x+3$

Dado que $latex g(x)=f(x+2)$, la gráfica de g puede ser obtenida al trasladar a la gráfica de f por 2 unidades hacia la izquierda, es decir, -2 unidades en el eje x.

grafica de funcion cuadratica con desplazamiento horizontal

Reflexión de funciones

Vamos a considerar a la función f definida por $latex f(x)=x+1$. Cuando graficamos esta función, obtenemos la recta mostrada en la siguiente gráfica:

Gráfica de recta 3

Ahora, vamos a considerar las siguientes funciones:

(i) $latex -f(x)=-(x+1)=-x-1$

(ii) $latex f(-x)=(-x)+1=-x+1$

Al graficar a las funciones (i) y (ii) en el mismo plano cartesiano que la función original, obtenemos las siguientes rectas:

Gráfica de recta con reflexion en eje x y eje y

En el caso (i), la gráfica de f ha sido reflejada con respecto al eje x.

En el caso (ii), la gráfica de f ha sido reflejada con respecto al eje y.

En general, tenemos lo siguiente:

  • La transformación $latex -f(x)$, produce una reflexión de la gráfica de f con respecto al eje x.
  • La transformación $latex f(-x)$, produce una reflexión de la gráfica de f con respecto al eje y.

EJEMPLO

Grafica la función $latex f(x)=x^2-2$. Luego, grafica la función $latex g(x)=-f(x)$.

Solución: La gráfica de la función f es la siguiente:

grafica de funcion cuadratica 3

Ahora, la función g está dada por $latex g(x)=-x^2+2$ y su gráfica puede ser obtenida al reflejar a la gráfica de f con respecto al eje x:

Grafica de funcion cuadrática con reflexion en eje x

Estiramiento de funciones

Consideremos a la función f definida por $latex f(x)=x+1$. Cuando graficamos esta función, obtenemos la recta mostrada en la siguiente gráfica:

Gráfica de recta 3

Ahora, vamos a considerar a las funciones (i) $latex f(2x)$ y (ii) $latex 2f(x)$. Entonces, tenemos:

(i) $latex f(2x)=(2x)+1~$ y (ii) $latex 2f(x)=2(x+1)$

(i) $latex f(2x)=2x+1~$ y (ii) $latex 2f(x)=2x+2$

Al graficar a las funciones (i) y (ii) en el mismo plano cartesiano que la función original, obtenemos lo siguiente:

Grafica de una recta con estiramiento en x y en y

En el caso (i), la gráfica de f ha sido estirada con respecto al eje x por un factor de $latex \frac{1}{2}$.

En el caso (ii), la gráfica de f ha sido estirada con respecto al eje y por un factor de 2.

En general, tenemos lo siguiente:

  • La transformación $latex f(ax)$, en donde $latex a$ es una constante, produce un estiramiento con respecto al eje x por un factor de $latex \frac{1}{a}$.
  • La transformación $latex af(x)$, en donde $latex a$ es una constante, produce un estiramiento con respecto al eje y por un factor de $latex a$.

EJEMPLO

Grafica la función $latex f(x)=x+2$. Luego, grafica la función $latex g(x)=3f(x)$.

Solución: La gráfica de la función f es la siguiente:

grafica de x mas 2

Cuando simplificamos, podemos observar que la función g está dada por $latex g(x)=3x+6$. Podemos obtener la gráfica de esta función al estirar la función de f por un factor de 3 con respecto al eje y.

ejemplo de una recta con estiramiento con respecto al eje y

Véase también

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