Desplazamiento horizontal y vertical de una función

El desplazamiento horizontal y vertical es una transformación que nos permiten modificar a la gráfica de la función original. Dada la función f(x), podemos trasladar a la función horizontalmente con la transformación f(x+a) y verticalmente con la transformación f+a en donde a es un valor que puede ser positivo o negativo.

A continuación, aprenderemos todo lo relacionado con el desplazamiento horizontal y vertical de una función. Veremos algunos ejemplos para ilustrar los conceptos.

ÁLGEBRA
Gráfica de recta con desplazamiento horizontal

Relevante para

Aprender a sobre el desplazamiento horizontal y vertical de funciones.

Ver transformaciones

ÁLGEBRA
Gráfica de recta con desplazamiento horizontal

Relevante para

Aprender a sobre el desplazamiento horizontal y vertical de funciones.

Ver transformaciones

Determinar el desplazamiento horizontal de una función

El desplazamiento horizontal en una función es una transformación que produce un movimiento hacia la izquierda o hacia la derecha en la función original. Es decir, el desplazamiento sucede paralelo al eje x.

Podemos entender el desplazamiento horizontal de una función al tomar a la función $latex f(x)=2x-1$ como ejemplo. Cuando graficamos esta función, obtenemos la siguiente recta:

Grafica funcion lineal 2x menos 1

Ahora, vamos a aplicar las transformaciones (i) $latex f(x+2)$ y (ii) $latex f(x-2)$. Entonces, usando la función original $latex f(x)=2x-1$ y simplificando las transformaciones, tenemos:

(i) $latex f(x+2)=2(x+2)-1~$ y (ii) $latex f(x-2)=2(x-2)-1$

(i) $latex f(x+2)=2x+3~$ y (ii) $latex f(x-2)=2x-5$

Luego, podemos graficar a las funciones (i) y (ii) usando el mismo plano cartesiano que la función original para comparar sus gráficas. Entonces, tenemos:

Gráfica de recta con desplazamiento horizontal

En el caso (i), la transformación $latex f(x+2)$ produjo una traslación de 2 unidades hacia la izquierda. Es decir, -2 unidades paralelas al eje x.

En el caso (ii), la transformación $latex f(x-2)$ produjo una traslación de 2 unidades hacia la derecha. Es decir, 2 unidades paralelas al eje x.

En resumen, tenemos:

  • La transformación $latex f(x+a)$ resulta en un desplazamiento en la gráfica original de f de $latex a$ unidades hacia la izquierda.
  • La transformación $latex f(x-a)$ resulta en un desplazamiento en la gráfica original de f de $latex a$ unidades hacia la derecha.


Determinar el desplazamiento vertical de una función

El desplazamiento vertical de una función es una transformación que hace que la gráfica de la función original sea movida hacia arriba o hacia abajo. Es decir, el desplazamiento sucede paralelo al eje y.

Para entender el desplazamiento vertical de una función, podemos considerar a la función $latex f(x)=x^2$ como ejemplo. Si es que graficamos a esta función, obtenemos la siguiente curva:

Grafica funcion cuadrática

Si es que ahora sumamos y restamos 1 unidad a la función original, tenemos las funciones (i) $latex f(x)+1$ y (ii) $latex f(x)-1$. Simplificando, tenemos:

(i) $latex f(x)+1=x^2+1~$ y (ii) $latex f(x)-1=x^2-1$

Usando el mismo plano cartesiano de la función original $latex f(x)$, podemos graficar las funciones (i) y (ii) para obtener lo siguiente:

Grafica de funcion cuadrática con desplazamiento vertical

Podemos observar que, en el caso (i), la gráfica de f ha sido movida 1 unidad hacia arriba. Es decir, 1 unidad paralela al eje y.

Por otro lado, la gráfica de la función (ii) es igual a la gráfica de f movida 1 unidad hacia abajo. Es decir, -1 unidad paralela al eje y.

En resumen, tenemos lo siguiente:

  • La transformación $latex f(x)+a$, produce un desplazamiento en la gráfica original de $latex f(x)$ de $latex a$ unidades hacia arriba.
  • La transformación $latex f(x)-a$, produce un desplazamiento en la gráfica original de $latex f(x)$ de $latex a$ unidades hacia abajo.


Ejemplos de desplazamiento horizontal y vertical en funciones

EJEMPLO 1

Traza la gráfica de $latex f(x)=x^2-1$. Luego, encuentra la ecuación de la transformación $latex g(x)=f(x+2)$ y grafícala.

Solución

EJEMPLO 2

Tenemos a la función $latex f(x)=x^3$. Si es que tenemos la función $latex g(x)=x^3-3$, obtén las gráficas de g y f.

Solución

EJEMPLO 3

Grafica la función coseno en su forma base. Luego, grafica dos funciones coseno que tengan un desplazamiento de 1 unidad y de 2 unidades hacia la derecha con respecto a la forma base.

Solución

EJEMPLO 4

Grafica la función $latex f(x)=\cos(x)+2$.

Solución

EJEMPLO 5

Obtén la gráfica de $latex g(x)=|x-2|$.

Solución

EJEMPLO 6

¿Cuál es la gráfica de $latex g(x)=|x|-2$?

Solución

EJEMPLO 7

¿Qué transformación necesitamos aplicar para desplazar a la función $latex f(x)=\tan(5x-2)$ -4 unidades paralelas al eje x?

Solución

EJEMPLO 8

¿Qué cambios necesitamos realizar a la función $latex f(x)=\tan(5x-2)$ si es que queremos desplazarla -5 unidades paralelas al eje y?

Solución

Ejercicios de desplazamiento horizontal y vertical para resolver

Práctica de desplazamiento horizontal y vertical
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¿Cuál función tiene un desplazamiento de 6 unidades hacia arriba con respecto a la función $latex f(x)=-2x-3$?

Escribe la respuesta en la casilla.

$latex g(x)=$

Véase también

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Jefferson Huera Guzmán

Jefferson es el autor principal y administrador de Neurochispas.com. Los contenidos interactivos de Matemáticas y Física que he creado han ayudado a muchos estudiantes.

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