Desplazamiento horizontal de una función

El desplazamiento horizontal es una de las transformaciones de funciones que nos permiten modificar a la gráfica de la función original. Cuando tenemos una función f(x), podemos trasladar a la función horizontalmente con la transformación f(x+a), en donde a es un valor que puede ser positivo o negativo.

A continuación, aprenderemos todo lo relacionado con el desplazamiento horizontal de una función. Veremos algunos ejemplos para ilustrar los conceptos.

ÁLGEBRA
Gráfica de recta con desplazamiento horizontal

Relevante para

Aprender a sobre el desplazamiento horizontal de funciones.

Ver transformaciones

ÁLGEBRA
Gráfica de recta con desplazamiento horizontal

Relevante para

Aprender a sobre el desplazamiento horizontal de funciones.

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Determinar el desplazamiento horizontal de una función

El desplazamiento horizontal en una función es una transformación que produce un movimiento hacia la izquierda o hacia la derecha en la función original. Es decir, el desplazamiento sucede paralelo al eje x.

Podemos entender el desplazamiento horizontal de una función al tomar a la función $latex f(x)=2x-1$ como ejemplo. Cuando graficamos esta función, obtenemos la siguiente recta:

Grafica funcion lineal 2x menos 1

Ahora, vamos a aplicar las transformaciones (i) $latex f(x+2)$ y (ii) $latex f(x-2)$. Entonces, usando la función original $latex f(x)=2x-1$ y simplificando las transformaciones, tenemos:

(i) $latex f(x+2)=2(x+2)-1~$ y (ii) $latex f(x-2)=2(x-2)-1$

(i) $latex f(x+2)=2x+3~$ y (ii) $latex f(x-2)=2x-5$

Luego, podemos graficar a las funciones (i) y (ii) usando el mismo plano cartesiano que la función original para comparar sus gráficas. Entonces, tenemos:

Gráfica de recta con desplazamiento horizontal

En el caso (i), la transformación $latex f(x+2)$ produjo una traslación de 2 unidades hacia la izquierda. Es decir, -2 unidades paralelas al eje x.

En el caso (ii), la transformación $latex f(x-2)$ produjo una traslación de 2 unidades hacia la derecha. Es decir, 2 unidades paralelas al eje x.

En resumen, tenemos:

  • La transformación $latex f(x+a)$ resulta en un desplazamiento en la gráfica original de f de $latex a$ unidades hacia la izquierda.
  • La transformación $latex f(x-a)$ resulta en un desplazamiento en la gráfica original de f de $latex a$ unidades hacia la derecha.


Ejemplos de desplazamiento horizontal en funciones

Los siguientes ejemplos son resueltos usando todo lo aprendido sobre el desplazamiento horizontal de funciones. Intenta resolver los ejercicios tú mismo antes de mirar la solución.

EJEMPLO 1

Traza la gráfica de $latex f(x)=x^2-1$. Luego, encuentra la ecuación de la transformación $latex g(x)=f(x+2)$ y grafícala.

Empezando con la gráfica de $latex f(x)$, tenemos:

grafica de funcion cuadratica 2

Ahora, podemos encontrar la ecuación de la función $latex g(x)$ al aplicar la transformación en la función original y simplificar:

$latex g(x)=f(x+2)$

$latex =(x+2)^2-1$

$latex =x^2+4x+4-1$

$latex =x^2+4x+3$

Podemos graficar la función $latex g(x)$ al considerar que la gráfica de g puede ser obtenida al trasladar a la gráfica de f por 2 unidades hacia la izquierda, es decir, -2 unidades en el eje x.

grafica de funcion cuadratica con desplazamiento horizontal

.

EJEMPLO 2

Grafica la función coseno en su forma base. Luego, grafica dos funciones coseno que tengan un desplazamiento de 1 unidad y de 2 unidades hacia la derecha con respecto a la forma base.

La función coseno base, $latex f(x)=cos(x)$, tiene un valor de 1 cuando x es igual a 0. Además, pasa por el punto (π/2, 0) y tiene un periodo de π.

Para aplicar un desplazamiento de 1 unidad y de 2 unidades hacia la derecha, tenemos que aplicar las transformaciones $latex g(x)=f(x-1)$ y $latex h(x)=f(x-2)$ respectivamente.

Cuando graficamos a las tres funciones, tenemos:

funciones coseno con cambio en fase

EJEMPLO 3

Obtén la gráfica de $latex g(x)=|x-2|$.

En este ejemplo, tenemos a la función valor absoluto. En su forma base, $latex f(x)=|x|$, la gráfica de la función valor absoluto es:

grafica de funcion valor absoluto y caracteristicas

Entonces, la gráfica de $latex g(x)=|x-2|$ puede ser obtenida al desplazar 2 unidades hacia la derecha a la gráfica de la función valor absoluto en su forma base:

grafica de funcion valor absoluto con traslacion horizontal a la derecha

.

EJEMPLO 4

¿Qué transformación necesitamos aplicar para desplazar a la función $latex f(x)=\tan(5x-2)$ -4 unidades paralelas al eje x?

Un desplazamiento de -4 unidades paralelas al eje x es equivalente a aplicar un desplazamiento de 4 unidades hacia la izquierda.

Podemos realizar este desplazamiento al aplicar la transformación $latex f(x-4)$. En este caso, tenemos la función $latex f(x)=\tan(5x-2)$. Entonces, tenemos:

$latex f(x-4)=\tan(5(x-4)-2)$

$latex f(x-4)=\tan(5x-20-2)$

$latex f(x-4)=\tan(5x-22)$

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Ejercicios de desplazamiento horizontal para resolver

Resuelve los siguientes ejercicios aplicando todo lo aprendido sobre el desplazamiento horizontal de una función.

Tenemos la función $latex f(x)=2\tan(x)$, ¿cuál es el desplazamiento de la función $latex g(x)=2\tan(x-4)$ con respecto a f?

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Tenemos la función $latex f(x)=x+2$. ¿Cuál de las siguientes funciones tiene un desplazamiento de -3 unidades paralelo a x con respecto a la función f?

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¿Cuál de las siguientes funciones tiene un desplazamiento de 2 unidades hacia la derecha con respecto a la función $latex f(x)=x^2-x-2$?

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Véase también

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