La transformación de una función nos permiten realizar modificaciones a su gráfica. Una de estas transformaciones es el estiramiento y compresión de funciones. Podemos comprimir o estirar a la función con respecto al eje x cuando tenemos f(ax) y podemos comprimir o estirar a la función con respecto al eje y cuando tenemos af(x) en donde, a es una constante.
A continuación, aprenderemos cómo realizar estiramientos o compresiones en una función tanto con respecto al eje x, como al respecto con el eje y.
ÁLGEBRA
Relevante para…
Aprender a sobre el estiramiento y la compresión de funciones.
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Aprender a sobre el estiramiento y la compresión de funciones.
Estiramientos y compresiones de una función con respecto al eje x y al eje y
Los estiramientos y las compresiones son transformaciones que son producidas cuando los valores de x o de y de la función original son multiplicados por un valor constante.
Para entender los estiramientos y compresiones con respecto al eje x y al eje y, vamos a usar la función $latex f(x)=x+1$. Al graficar a esta función, obtenemos la siguiente recta:
Para producir estiramientos y compresiones, vamos a multiplicar a los valores de x o a los valores de y de la función $latex f(x)$ por una constante. Entonces, tenemos (i) $latex f(2x)$ y (ii) $latex 2f(x)$. Simplificando, tenemos:
(i) $latex f(2x)=(2x)+1~$ y (ii) $latex 2f(x)=2(x+1)$
(i) $latex f(2x)=2x+1~$ y (ii) $latex 2f(x)=2x+2$
Cuando graficamos las funciones (i) y (ii) junto con la función original $latex f(x)$, tenemos:
En la transformación (i), la gráfica de $latex f(x)$ ha sido estirada con respecto al eje x por un factor de $latex \frac{1}{2}$ (la función fue comprimida a la mitad)
En la transformación (ii), la gráfica de $latex f(x)$ ha sido estirada con respecto al eje y por un factor de 2.
En resumen, tenemos:
- La transformación $latex f(ax)$ resulta en un estiramiento con respecto al eje x por un factor de $latex \frac{1}{a}$.
- La transformación $latex af(x)$ resulta en un estiramiento con respecto al eje y por un factor de $latex a$.
- Si es que el factor de estiramiento está entre 0 y 1, la transformación es una compresión de la gráfica.
Ejemplos de estiramiento y compresión de funciones
Los siguientes ejemplos usan las transformaciones de estiramiento y compresión de funciones. Cada ejemplo tiene una solución detallada, pero intenta resolver los ejercicios tú mismo primero.
EJEMPLO 1
Obtén la gráfica de la función $latex f(x)=x+2$ y luego, grafica la función $latex g(x)=3f(x)$.
Solución
La gráfica de la función $latex f(x)=x+2$ es una recta que corta al eje y en (0, 2) y al eje x en (-2, 0):
La función g está dada por $latex g(x)=3f(x)=3x+6$. La gráfica de esta función es igual a la gráfica de f estirada por un factor de 3 con respecto al eje y.
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EJEMPLO 2
¿Cuál es la diferencia entre las gráficas de $latex f(x)=\cos(x)$ y las gráficas de $latex g(x)=\cos(2x)$ y $latex h(x)=\cos(\frac{1}{2}x)$?
Solución
Cuando aplicamos la transformación $latex g(x)=f(ax)$, en donde a es una constante, producimos un estiramiento o compresión con respecto al eje x.
Entonces, podemos observar a la gráfica de función coseno estándar $latex f(x)=\cos(x)$ junto con las otras dos funciones:
Vemos que la gráfica de $latex g(x)=\cos(2x)$ es comprimida a la mitad, es decir, el factor de estiramiento es $latex \frac{1}{a}=\frac{1}{2}$.
En el caso de la gráfica de $latex h(x)=\cos(\frac{1}{2}x)$, la función es estirada. El factor de estiramiento es $latex \frac{1}{a}=\frac{1}{\frac{1}{2}}=2$.
EJEMPLO 3
Grafica las funciones $latex g(x)=2|x|$ y $latex h(x)=0.5|x|$.
Solución
En este caso, tenemos a la función valor absoluto, la cual en su forma base, $latex f(x)=|x|$, tiene la siguiente gráfica:
Ahora, las funciones g y h son obtenidas al aplicar estiramientos con respecto al eje y. Es decir, tenemos $latex g(x)=2f(x)$ y $latex h(x)=0.5f(x)$.
Vemos que la función h es estirada por un factor de 2 y la función g por un factor de 0.5 (igual a una compresión a la mitad).
EJEMPLO 4
¿Qué cambios necesitamos realizar a la función $latex f(x)=3x^2+6x$ si es que queremos estirarla por un factor de 3 con respecto al eje x?
Solución
Para estirar a una función por un factor de 3 con respecto al eje x, tenemos que aplicar la transformación $latex g(x)=f(\frac{1}{3}x)$.
Esto significa que tenemos que reemplazar a la variable x en f por $latex \frac{1}{3}x$. Entonces, tenemos:
$latex g(x)=f(\frac{1}{3}x)$
$latex g(x)=3(\frac{1}{3}x)^2+6(\frac{1}{3}x)$
$latex g(x)=3(\frac{1}{9})x^2+2x$
$latex g(x)=\frac{1}{3}x^2+2x$
Ejercicios de estiramiento y compresión de funciones para resolver
Aplica todo lo aprendido sobre el estiramiento y la compresión de funciones para resolver los siguientes ejercicios.
Véase también
¿Interesado en aprender más sobre transformaciones de funciones? Mira estas páginas:
Jefferson Huera Guzmán
Jefferson es el autor principal y administrador de Neurochispas.com. Los contenidos interactivos de Matemáticas y Física que he creado han ayudado a muchos estudiantes.
