Estiramiento y compresión de funciones

La transformación de una función nos permiten realizar modificaciones a su gráfica. Una de estas transformaciones es el estiramiento y compresión de funciones. Podemos comprimir o estirar a la función con respecto al eje x cuando tenemos f(ax) y podemos comprimir o estirar a la función con respecto al eje y cuando tenemos af(x) en donde, a es una constante.

A continuación, aprenderemos cómo realizar estiramientos o compresiones en una función tanto con respecto al eje x, como al respecto con el eje y.

ÁLGEBRA
Grafica de una recta con estiramiento en x y en y

Relevante para

Aprender a sobre el estiramiento y la compresión de funciones.

Ver transformaciones

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Grafica de una recta con estiramiento en x y en y

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Estiramientos y compresiones de una función con respecto al eje x y al eje y

Los estiramientos y las compresiones son transformaciones que son producidas cuando los valores de x o de y de la función original son multiplicados por un valor constante.

Para entender los estiramientos y compresiones con respecto al eje x y al eje y, vamos a usar la función $latex f(x)=x+1$. Al graficar a esta función, obtenemos la siguiente recta:

Gráfica de recta 3

Para producir estiramientos y compresiones, vamos a multiplicar a los valores de x o a los valores de y de la función $latex f(x)$ por una constante. Entonces, tenemos (i) $latex f(2x)$ y (ii) $latex 2f(x)$. Simplificando, tenemos:

(i) $latex f(2x)=(2x)+1~$ y (ii) $latex 2f(x)=2(x+1)$

(i) $latex f(2x)=2x+1~$ y (ii) $latex 2f(x)=2x+2$

Cuando graficamos las funciones (i) y (ii) junto con la función original $latex f(x)$, tenemos:

Grafica de una recta con estiramiento en x y en y

En la transformación (i), la gráfica de $latex f(x)$ ha sido estirada con respecto al eje x por un factor de $latex \frac{1}{2}$ (la función fue comprimida a la mitad)

En la transformación (ii), la gráfica de $latex f(x)$ ha sido estirada con respecto al eje y por un factor de 2.

En resumen, tenemos:

  • La transformación $latex f(ax)$ resulta en un estiramiento con respecto al eje x por un factor de $latex \frac{1}{a}$.
  • La transformación $latex af(x)$ resulta en un estiramiento con respecto al eje y por un factor de $latex a$.
  • Si es que el factor de estiramiento está entre 0 y 1, la transformación es una compresión de la gráfica.


Ejemplos de estiramiento y compresión de funciones

Los siguientes ejemplos usan las transformaciones de estiramiento y compresión de funciones. Cada ejemplo tiene una solución detallada, pero intenta resolver los ejercicios tú mismo primero.

EJEMPLO 1

Obtén la gráfica de la función $latex f(x)=x+2$ y luego, grafica la función $latex g(x)=3f(x)$.

La gráfica de la función $latex f(x)=x+2$ es una recta que corta al eje y en (0, 2) y al eje x en (-2, 0):

grafica de x mas 2

La función g está dada por $latex g(x)=3f(x)=3x+6$. La gráfica de esta función es igual a la gráfica de f estirada por un factor de 3 con respecto al eje y.

ejemplo de una recta con estiramiento con respecto al eje y

.

EJEMPLO 2

¿Cuál es la diferencia entre las gráficas de $latex f(x)=\cos(x)$ y las gráficas de $latex g(x)=\cos(2x)$ y $latex h(x)=\cos(\frac{1}{2}x)$?

Cuando aplicamos la transformación $latex g(x)=f(ax)$, en donde a es una constante, producimos un estiramiento o compresión con respecto al eje x.

Entonces, podemos observar a la gráfica de función coseno estándar $latex f(x)=\cos(x)$ junto con las otras dos funciones:

funciones coseno con diferentes periodos

Vemos que la gráfica de $latex g(x)=\cos(2x)$ es comprimida a la mitad, es decir, el factor de estiramiento es $latex \frac{1}{a}=\frac{1}{2}$.

En el caso de la gráfica de $latex h(x)=\cos(\frac{1}{2}x)$, la función es estirada. El factor de estiramiento es $latex \frac{1}{a}=\frac{1}{\frac{1}{2}}=2$.

EJEMPLO 3

Grafica las funciones $latex g(x)=2|x|$ y $latex h(x)=0.5|x|$.

En este caso, tenemos a la función valor absoluto, la cual en su forma base, $latex f(x)=|x|$, tiene la siguiente gráfica:

grafica de funcion valor absoluto y caracteristicas

Ahora, las funciones g y h son obtenidas al aplicar estiramientos con respecto al eje y. Es decir, tenemos $latex g(x)=2f(x)$ y $latex h(x)=0.5f(x)$.

grafica de funcion valor absoluto con estiramiento y encogimiento

Vemos que la función h es estirada por un factor de 2 y la función g por un factor de 0.5 (igual a una compresión a la mitad).

EJEMPLO 4

¿Qué cambios necesitamos realizar a la función $latex f(x)=3x^2+6x$ si es que queremos estirarla por un factor de 3 con respecto al eje x?

Para estirar a una función por un factor de 3 con respecto al eje x, tenemos que aplicar la transformación $latex g(x)=f(\frac{1}{3}x)$.

Esto significa que tenemos que reemplazar a la variable x en f por $latex \frac{1}{3}x$. Entonces, tenemos:

$latex g(x)=f(\frac{1}{3}x)$

$latex g(x)=3(\frac{1}{3}x)^2+6(\frac{1}{3}x)$

$latex g(x)=3(\frac{1}{9})x^2+2x$

$latex g(x)=\frac{1}{3}x^2+2x$

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Ejercicios de estiramiento y compresión de funciones para resolver

Aplica todo lo aprendido sobre el estiramiento y la compresión de funciones para resolver los siguientes ejercicios.

¿Cuál es la transformación de la función $latex g(x)=\tan(6x)$ con respecto a la función $latex f(x)=\tan(2x)$?

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Tenemos la función $latex f(x)=4x^2+6x+2$. ¿Cuál de las siguientes funciones tiene un estiramiento por un factor de 1/2 en y con respecto a la función f?

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¿Cuál de las siguientes funciones tiene un factor de estiramiento en x de 3 con respecto a la función $latex f(x)=3x^2-6x-4$?

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Véase también

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