Desplazamiento vertical de una función

Las transformaciones de gráficas de funciones nos permiten modificar la gráfica de la función original. Una de estas transformaciones es el desplazamiento vertical. Cuando tenemos una función f, podemos aplicar un desplazamiento vertical al sumar o restar una constante a la función f.

A continuación, conoceremos todo lo relacionado con el desplazamiento vertical de una función. Usaremos varios ejemplos para ilustrar los conceptos importantes.

ÁLGEBRA
Grafica de funcion cuadrática con desplazamiento vertical

Relevante para

Aprender a sobre el desplazamiento vertical de funciones.

Ver transformaciones

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Grafica de funcion cuadrática con desplazamiento vertical

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Aprender a sobre el desplazamiento vertical de funciones.

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Determinar el desplazamiento vertical de una función

El desplazamiento vertical de una función es una transformación que hace que la gráfica de la función original sea movida hacia arriba o hacia abajo. Es decir, el desplazamiento sucede paralelo al eje y.

Para entender el desplazamiento vertical de una función, podemos considerar a la función $latex f(x)=x^2$ como ejemplo. Si es que graficamos a esta función, obtenemos la siguiente curva:

Grafica funcion cuadrática

Si es que ahora sumamos y restamos 1 unidad a la función original, tenemos las funciones (i) $latex f(x)+1$ y (ii) $latex f(x)-1$. Simplificando, tenemos:

(i) $latex f(x)+1=x^2+1~$ y (ii) $latex f(x)-1=x^2-1$

Usando el mismo plano cartesiano de la función original $latex f(x)$, podemos graficar las funciones (i) y (ii) para obtener lo siguiente:

Grafica de funcion cuadrática con desplazamiento vertical

Podemos observar que, en el caso (i), la gráfica de f ha sido movida 1 unidad hacia arriba. Es decir, 1 unidad paralela al eje y.

Por otro lado, la gráfica de la función (ii) es igual a la gráfica de f movida 1 unidad hacia abajo. Es decir, -1 unidad paralela al eje y.

En resumen, tenemos lo siguiente:

  • La transformación $latex f(x)+a$, produce un desplazamiento en la gráfica original de $latex f(x)$ de $latex a$ unidades hacia arriba.
  • La transformación $latex f(x)-a$, produce un desplazamiento en la gráfica original de $latex f(x)$ de $latex a$ unidades hacia abajo.


Ejemplos de desplazamiento vertical en funciones

El desplazamiento vertical de funciones es usado para resolver los siguientes ejercicios. Intenta resolver los ejercicios tú mismo antes de mirar la solución.

EJEMPLO 1

Tenemos a la función $latex f(x)=x^3$. Si es que tenemos la función $latex g(x)=x^3-3$, obtén las gráficas de g y f.

La función f es la función cúbica base. Esta función es graficada en la parte izquierda del siguiente diagrama.

En el caso de la función g, podemos observar que esta función es equivalente a la función f con un desplazamiento vertical de -3 unidades, como podemos observar en la gráfica derecha del siguiente diagrama.

ejemplo 1 de desplazamiento vertical en una grafica

.

EJEMPLO 2

Grafica la función $latex f(x)=\cos(x)+2$.

Al comparar a la función dada con la función coseno estándar $latex f(x)=\cos(x)$, podemos deducir que un desplazamiento vertical de 2 unidades hacia arriba fue aplicado.

Entonces, podemos graficar a la función $latex f(x)=\cos(x)+2$ al graficar a una función coseno básica y moverla 2 unidades hacia arriba:

funciones coseno con traslacion vertical

EJEMPLO 3

¿Cuál es la gráfica de $latex g(x)=|x|-2$?

Aquí, tenemos a la función valor absoluto. En su forma base, $latex f(x)=|x|$, la gráfica de la función valor absoluto es la siguiente:

grafica de funcion valor absoluto y caracteristicas

Entonces, podemos obtener la gráfica de $latex g(x)=|x|-2$ si es que movemos a la gráfica de la función valor absoluto base 2 unidades hacia abajo:

grafica de funcion valor absoluto con traslacion vertical negativa

.

EJEMPLO 4

¿Qué cambios necesitamos realizar a la función $latex f(x)=\tan(5x-2)$ si es que queremos desplazarla -5 unidades paralelas al eje y?

Un desplazamiento de -5 unidades paralelas al eje y es lo mismo que aplicar un desplazamiento de 5 unidades hacia abajo en la función original.

Para realizar este desplazamiento, aplicamos la transformación $latex f(x)-5$. En este caso, tenemos la función $latex f(x)=\tan(5x-2)$. Entonces, tenemos:

$latex f(x)-5=\tan(5x-2)-5$

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Ejercicios de desplazamiento vertical para resolver

Aplica lo aprendido sobre el desplazamiento vertical para resolver los siguientes ejercicios.

Si es que tenemos la función $latex f(x)=2x^4$, ¿cuál es el desplazamiento de la función $latex g(x)=2x^4-5$ con respecto a f?

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Tenemos la función $latex f(x)=x+2$. ¿Cuál de las siguientes funciones tiene un desplazamiento de -3 unidades paralelo a y con respecto a la función f?

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¿Cuál de las siguientes funciones tiene un desplazamiento de 6 unidades hacia arriba con respecto a la función $latex f(x)=x^2-2x-3$?

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Véase también

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