El número de raíces en un polinomio es igual al grado de ese polinomio. Por ejemplo, en los polinomios cuadráticos, siempre tendremos dos raíces contadas por multiplicidad. Estas raíces podrían ser reales o complejas dependiendo en el determinante de la ecuación cuadrática.
A continuación, aprenderemos sobre el teorema fundamental del álgebra y el teorema de raíces conjugadas. Usaremos estos teoremas para aprender sobre las raíces complejas de un polinomio. Además, veremos algunos ejemplos para aprender a obtener las raíces complejas de un polinomio cuadrático usando la fórmula cuadrática.
¿Cómo saber cuántas raíces complejas tiene un polinomio?
Para determinar cuántas raíces complejas tiene un polinomio, tenemos que usar el teorema fundamental del álgebra. Este teorema nos dice que:
Teorema fundamental del álgebra
Un polinomio $latex p(x)$ de grado n con coeficientes complejos tiene, contado con multiplicidad, exactamente n raíces.
La parte “contado con multiplicidad” significa que debemos contar a las raíces por su multiplicidad, es decir, por las veces que se repiten. Por ejemplo, en la ecuación $latex {{(x-2)}^3}(x+2)=0$, tenemos un polinomio de grado cuatro.
Sin embargo, solo podemos contar dos raíces reales. Esto se debe a que la raíz en $latex x=2$ es una raíz múltiple con multiplicidad de tres. Entonces, el número total de raíces, cuando contando con multiplicidad, es cuatro.
Raíces complejas de un polinomio cuadrático
Primero, empecemos considerando el teorema de raíces conjugadas:
Teorema de raíces conjugadas
Tenemos que $latex p(x)$ es un polinomio con coeficientes complejos. Si es que el número complejo $latex z=a+bi$ es una raíz del polinomio p, entonces, su conjugado $latex {{z}^{\ast}}=a-bi$ también es una raíz.
Del teorema fundamental del cálculo, sabemos que cualquier ecuación cuadrática tendrá dos raíces. Y del teorema de raíces conjugadas, sabemos que si es que el polinomio tiene coeficientes reales y si es que no tiene raíces reales, entonces, sus raíces serán un par de conjugados complejos.
Si es que tiene raíces reales, puede o bien tener dos raíces reales distintas o una raíz real repetida. No es posible tener una raíz conjugada y una raíz real. Para distinguir entre estos casos diferentes, tenemos el concepto del discriminante:
Discriminante
El discriminante de una ecuación cuadrática $latex a{{x}^2}+bx+c=0$ es definido como $latex {{b}^2}-4ac$. Muchas veces, $latex \Delta$ es usado para denotar al discriminante.
Usando el discriminante, podemos distinguir los tres tipos de casos en ecuaciones cuadráticas de la siguiente manera:
1. Discriminante positivo: $latex {{b}^2}-4ac>0$, dos raíces reales;
2. Discriminante cero: $latex {{b}^2}-4ac=0$, una raíz real repetida;
3. Discriminante negativo: $latex {{b}^2}-4ac<0$, raíces complejas conjugadas.
Las siguientes gráficas muestran cada caso:
Entonces, usamos la fórmula cuadrática para encontrar las raíces reales o complejas de un polinomio cuadrático:
| $latex x=\frac{{-b\pm \sqrt{{{{b}^{2}}-4ac}}}}{{2a}}$ |
Ejercicios de raíces complejas de un polinomio resueltos
Los siguientes ejercicios usan lo aprendido sobre el teorema fundamental del cálculo, el teorema de raíces conjugadas y las raíces complejas de polinomios cuadráticos. Intenta resolver los ejercicios tú mismo antes de mirar la respuesta.
EJERCICIO 1
¿Cuántas raíces tiene el polinomio $latex (2{{x}^3}+2x+1)(3{{x}^2}-3)$?
Solución
Usando el teorema fundamental del álgebra, sabemos que el número de raíces es igual al grado del polinomio. En este caso, tenemos un polinomio en forma factorizada.
Para encontrar el grado del polinomio, podríamos expandirlo para encontrar el término con el grado más grande. Alternativamente, podríamos ahorrarnos un poco de esfuerzo al buscar al término de mayor grado en cada paréntesis.
El grado del polinomio será el grado del producto de estos términos. En el primer paréntesis, el término de mayor grado es $latex 2{{x}^3}$.
En el segundo paréntesis, el término de mayor grado es $latex 3{{x}^2}$. Entonces, el producto de estos dos términos tendrá un grado de 5. Por lo tanto, el polinomio tendrá 5 raíces.
EJERCICIO 2
Determina el tipo de raíces de la ecuación $latex {{x}^2}-2x+3=0$.
Solución
Para determinar el tipo de raíces, tenemos que usar el determinante $latex {{b}^2}-4ac$. Para esta ecuación, tenemos $latex a=1, b=-2$ y $latex c=3$. Entonces, tenemos:
$latex {{b}^2}-4ac={{(-2)}^2}-4(1)(3)$
$latex =4-12$
$latex =-8$
Dado que el discriminante es menor que cero, sabemos que la ecuación tiene dos raíces complejas.
EJERCICIO 3
Resuelve la ecuación $latex 5{{x}^2}=-320$.
Solución
Podemos resolver esta ecuación directamente sin usar la fórmula cuadrática.
Dividimos ambos lados por 5 para despejar a $latex {{x}^2}$:
$latex 5{{x}^2}=-320$
$latex {{x}^2}=-64$
Podemos tomar la raíz cuadrada de ambos lados recordando que podemos sacar tanto la raíz positiva como negativa:
$latex x=\pm\sqrt{-64}$
La propiedad de los números complejos nos dice que podemos escribir a $latex \sqrt{-a}$ como $latex i\sqrt{a}$. Entonces, tenemos:
$latex x=\pm i\sqrt{64}$
$latex =\pm 8i$
EJERCICIO 4
Encuentra las raíces del polinomio cuadrático $latex {{x}^2}-4x+8=0$.
Solución
Usando los valores $latex a=1$, $latex b=-4$ y $latex c=8$ en la fórmula cuadrática, tenemos:
$latex x=\frac{{-(-4)\pm \sqrt{{{{{( -4)}}^{2}}-4( 1 )(8)}}}}{{2( 1)}}$
$latex =\frac{{4\pm \sqrt{{16-32}}}}{2}$
$latex =\frac{{4\pm \sqrt{{-16}}}}{2}$
$latex =\frac{4}{2}\pm\frac{\sqrt{{-16}}}{2}$
$latex =2\pm\frac{\sqrt{{-16}}}{2}$
La propiedad de los números complejos nos dice que podemos escribir a $latex \sqrt{-a}=i\sqrt{a}$. Entonces, tenemos:
$latex x=2\pm\frac{\sqrt{{16}}}{2}i$
$latex =2\pm\frac{4}{2}i$
$latex =2\pm 2i$
Entonces, tenemos dos soluciones para la ecuación cuadrática:
$latex x=2+2i$, $latex x=2-2i$
EJERCICIO 5
Encuentra las soluciones a la ecuación $latex 3{{x}^2}-4x+10=0$.
Solución
Podemos identificar los valores $latex a=3$, $latex b=-4$ y $latex c=10$ y los usamos en la fórmula cuadrática:
$latex x=\frac{{-(-4)\pm \sqrt{{{{{( -4)}}^{2}}-4( 3 )(10)}}}}{{2( 3)}}$
$latex =\frac{{4\pm \sqrt{{16-120}}}}{6}$
$latex =\frac{{4\pm \sqrt{{-104}}}}{6}$
$latex =\frac{{4\pm \sqrt{{-4}}\sqrt{{26}}}}{6}$
$latex =\frac{{4\pm 2i\sqrt{{26}}}}{6}$
$latex =\frac{{2\pm i\sqrt{{26}}}}{3}$
Entonces, tenemos dos soluciones para la ecuación cuadrática:
$latex =\frac{{2+ i\sqrt{{26}}}}{3}$, $latex =\frac{{2- i\sqrt{{26}}}}{3}$
→ Calculadora de Raíces Complejas
Ejercicios de raíces complejas de un polinomio para resolver
Pon en práctica lo aprendido sobre las raíces complejas para encontrar las raíces complejas de los siguientes polinomios cuadráticos. Si necesitas ayuda con estos ejercicios, puedes mirar los ejercicios resueltos de arriba.
Véase también
¿Interesado en aprender más sobre polinomios? Mira estas páginas:
Jefferson Huera Guzmán
Jefferson es el autor principal y administrador de Neurochispas.com. Los contenidos interactivos de Matemáticas y Física que he creado han ayudado a muchos estudiantes.
