Raíces Complejas de un Polinomio con Ejercicios

El número de raíces en un polinomio es igual al grado de ese polinomio. Por ejemplo, en los polinomios cuadráticos, siempre tendremos dos raíces contadas por multiplicidad. Estas raíces podrían ser reales o complejas dependiendo en el determinante de la ecuación cuadrática.

A continuación, aprenderemos sobre el teorema fundamental del álgebra y el teorema de raíces conjugadas. Usaremos estos teoremas para aprender sobre las raíces complejas de un polinomio. Además, veremos algunos ejemplos para aprender a obtener las raíces complejas de un polinomio cuadrático usando la fórmula cuadrática.

ÁLGEBRA
raíces complejas de un polinomio

Relevante para

Aprender a encontrar las raíces complejas de un polinomio.

Ver ejercicios

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raíces complejas de un polinomio

Relevante para

Aprender a encontrar las raíces complejas de un polinomio.

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¿Cómo saber cuántas raíces complejas tiene un polinomio?

Para determinar cuántas raíces complejas tiene un polinomio, tenemos que usar el teorema fundamental del álgebra. Este teorema nos dice que:

Teorema fundamental del álgebra

Un polinomio $latex p(x)$ de grado n con coeficientes complejos tiene, contado con multiplicidad, exactamente n raíces.

La parte “contado con multiplicidad” significa que debemos contar a las raíces por su multiplicidad, es decir, por las veces que se repiten. Por ejemplo, en la ecuación $latex {{(x-2)}^3}(x+2)=0$, tenemos un polinomio de grado cuatro.

Sin embargo, solo podemos contar dos raíces reales. Esto se debe a que la raíz en $latex x=2$ es una raíz múltiple con multiplicidad de tres. Entonces, el número total de raíces, cuando contando con multiplicidad, es cuatro.


Raíces complejas de un polinomio cuadrático

Primero, empecemos considerando el teorema de raíces conjugadas:

Teorema de raíces conjugadas

Tenemos que $latex p(x)$ es un polinomio con coeficientes complejos. Si es que el número complejo $latex z=a+bi$ es una raíz del polinomio p, entonces, su conjugado $latex {{z}^{\ast}}=a-bi$ también es una raíz.

Del teorema fundamental del cálculo, sabemos que cualquier ecuación cuadrática tendrá dos raíces. Y del teorema de raíces conjugadas, sabemos que si es que el polinomio tiene coeficientes reales y si es que no tiene raíces reales, entonces, sus raíces serán un par de conjugados complejos.

Si es que tiene raíces reales, puede o bien tener dos raíces reales distintas o una raíz real repetida. No es posible tener una raíz conjugada y una raíz real. Para distinguir entre estos casos diferentes, tenemos el concepto del discriminante:

Discriminante

El discriminante de una ecuación cuadrática $latex a{{x}^2}+bx+c=0$ es definido como $latex {{b}^2}-4ac$. Muchas veces, $latex \Delta$ es usado para denotar al discriminante.

Usando el discriminante, podemos distinguir los tres tipos de casos en ecuaciones cuadráticas de la siguiente manera:

1. Discriminante positivo: $latex {{b}^2}-4ac>0$, dos raíces reales;

2. Discriminante cero: $latex {{b}^2}-4ac=0$, una raíz real repetida;

3. Discriminante negativo: $latex {{b}^2}-4ac<0$, raíces complejas conjugadas.

Las siguientes gráficas muestran cada caso:

grafica de ecuacion cuadratica con dos raices reales
grafica de ecuacion cuadratica con una raiz real
grafica de ecuacion cuadratica con raices complejas

Entonces, usamos la fórmula cuadrática para encontrar las raíces reales o complejas de un polinomio cuadrático:

$latex x=\frac{{-b\pm \sqrt{{{{b}^{2}}-4ac}}}}{{2a}}$

Ejercicios de raíces complejas de un polinomio resueltos

Los siguientes ejercicios usan lo aprendido sobre el teorema fundamental del cálculo, el teorema de raíces conjugadas y las raíces complejas de polinomios cuadráticos. Intenta resolver los ejercicios tú mismo antes de mirar la respuesta.

EJERCICIO 1

¿Cuántas raíces tiene el polinomio $latex (2{{x}^3}+2x+1)(3{{x}^2}-3)$?

Solución

EJERCICIO 2

Determina el tipo de raíces de la ecuación $latex {{x}^2}-2x+3=0$.

Solución

EJERCICIO 3

Resuelve la ecuación $latex 5{{x}^2}=-320$.

Solución

EJERCICIO 4

Encuentra las raíces del polinomio cuadrático $latex {{x}^2}-4x+8=0$.

Solución

EJERCICIO 5

Encuentra las soluciones a la ecuación $latex 3{{x}^2}-4x+10=0$.

Solución

Ejercicios de raíces complejas de un polinomio para resolver

Pon en práctica lo aprendido sobre las raíces complejas para encontrar las raíces complejas de los siguientes polinomios cuadráticos. Si necesitas ayuda con estos ejercicios, puedes mirar los ejercicios resueltos de arriba.

Encuentra las raíces de $latex 4{{x}^2}+64=0$.

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Resuelve la ecuación $latex {{x}^2}-10x+34=0$.

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Encuentra las raíces de $latex {{x}^2}-3x+5=0$.

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Véase también

¿Interesado en aprender más sobre polinomios? Mira estas páginas:

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Jefferson Huera Guzmán

Jefferson es el autor principal y administrador de Neurochispas.com. Los contenidos interactivos de Matemáticas y Física que he creado han ayudado a muchos estudiantes.

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