Factorizar polinomios de grado 2 consiste en descomponer a la ecuación cuadrática para formar un producto de sus factores. Podemos considerar a la factorización como el proceso reverso de la distribución de la multiplicación.
Miraremos dos casos de factorización de polinomios de segundo grado: cuando el coeficiente líder es 1 y cuando el coeficiente líder es mayor que 1.
¿Cómo resolver una ecuación cuadrática por factorización?
Para ecuaciones cuadráticas del tipo $latex a{{x}^2}+bc+c=0$, podemos seguir los siguientes pasos:
Paso 1: Expandir la expresión y eliminar todas las fracciones si es que es necesario.
Paso 2: Mover todos los términos hacia el lado izquierdo del signo igual.
Paso 3: Factoriza la ecuación al separar el término del medio.
Paso 4: Resolver la ecuación lineal en cada factor.
EJEMPLO 1
Resuelve la ecuación $latex 2(x^2+1)=5x$.
Solución: Empezamos expandiendo y moviendo todos los términos hacia la izquierda del signo igual:
$latex 2(x^2+1)=5x$
⇒ $latex 2x^2+2=5x$
⇒ $latex 2x^2-5x-2=0$
Luego, separamos el término del medio para factorizar:
⇒ $latex 2x^2-4x-x-2=0$
⇒ $latex (x-2)(2x-1)=0$
Ahora, podemos igualar cada factor con cero y resolver:
⇒ $latex (x-2)=0$ y $latex (2x-1)=0$
⇒ $latex x=2$ y $latex x=\frac{1}{2}$
EJEMPLO 2
Resuelve la ecuación $latex 3x^2-8x-5=0$.
Solución: En este caso no tenemos nada que expandir y todos los términos ya están en la izquierda, por lo que empezamos separando los términos del medio y factorizando:
$latex 3x^2-8x-5=0$
⇒ $latex 3x(x-3)+1(x-3)=0$
⇒ $latex (3x+1)(x-3)=0$
Ahora, podemos igualar cada factor con cero y resolver:
⇒ $latex (3x+1)=0$ y $latex (x-3)=0$
⇒ $latex x=-\frac{1}{3}$ y $latex x=3$
EJEMPLO 3
Resuelve la ecuación $latex (2x-3)^2=25$.
Solución: Empezamos expandiendo la ecuación para obtener:
$latex 4x^2-12x+9-25=0$
⇒ $latex 4x^2-12x-16=0$
Ahora, podemos dividir toda la expresión por 4 y factorizar:
⇒ $latex x^2-3x-4=0$
⇒ $latex (x-4)(x+1)=0$
Ahora, podemos igualar cada factor con cero y resolver:
⇒ $latex (x-4)=0$ y $latex (x+1)=0$
⇒ $latex x=4$ y $latex x=-1$
Hay varios métodos para factorizar polinomios cuadráticos. Nuestro enfoque aquí será factorizar polinomios cuadráticos en los cuales el coeficiente de x² es o bien 1 o mayor que 1.
Entonces, usaremos el método de prueba y error para obtener los factores correctos para factorizar las ecuaciones cuadráticas.
Factorizar polinomios de grado 2 cuando el coeficiente de x² es igual a 1
Para factorizar una ecuación cuadrática de la forma $latex {{x}^2}+bx+c$, en donde el coeficiente líder es 1, necesitamos identificar dos números de forma que su producto sea igual a c y su suma sea igual a b.
Caso 1: Cuando b y c son ambos positivos
EJEMPLO 1
Factoriza y resuelve la ecuación $latex {{x}^2}+5x+6=0$.
Solución: Hacemos una lista con los factores de 6: 1×6, 2×3.
Ahora identificamos los factores con un producto de 6 y una suma de 5:
1+6≠5
2+3=5
Verificamos los factores usando la propiedad distributiva:
$$(x+2)(x+3)={{x}^2}+2x+3x+6$$
$latex ={{x}^2}+5x+6$
Entonces, la ecuación factorizada es:
$latex (x+2)(x+3)=0$
Ahora, podemos igualar cada factor con cero y resolver:
⇒ $latex (x+2)=0$ y $latex (x+3)=0$
⇒ $latex x=-2$ y $latex x=-3$
EJEMPLO 2
Factoriza y resuelve la ecuación $latex {{x}^2}+8x+16=0$.
Solución: Identificamos los factores que produzcan un producto de 16 y una suma de 8:
4×4=16 y 4+4=8
Verificamos los factores usando la propiedad distributiva:
$$(x+4)(x+4)={{x}^2}+4x+4x+16$$
$latex ={{x}^2}+8x+16$
La ecuación factorizada es:
$latex (x+4)(x+4)=0$
Igualamos cada factor con cero y resolvemos:
⇒ $latex (x+4)=0$ y $latex (x+4)=0$
⇒ $latex x=-4$
Caso 2: Cuando b es positivo y c es negativo
EJEMPLO
Factoriza y resuelve la ecuación $latex {{x}^2}+4x-5=0$.
Solución: Empezamos escribiendo los factores de -5: -1×5, 1×-5.
Identificamos los factores que produzcan un producto de -5 y una suma de 4:
-1+5=4
1-5≠4
Verificamos los factores usando la propiedad distributiva:
$$(x-1)(x+5)={{x}^2}-x+5x+-5$$
$latex ={{x}^2}+4x-5$
La ecuación factorizada es:
$latex (x-1)(x+5)=0$
Igualamos cada factor con cero y resolvemos:
⇒ $latex (x-1)=0$ y $latex (x+5)=0$
⇒ $latex x=1$ y $latex x=-5$
Caso 3: Cuando b y c son ambos negativos
EJEMPLO
Factoriza y resuelve la ecuación $latex {{x}^2}-2x-8=0$.
Solución: Empezamos escribiendo los factores de -8: -1×8, 1×-8, -2×4, 2×-4.
Identificamos los factores que produzcan un producto de -8 y una suma de -2:
2-4=-2
Verificamos los factores usando la propiedad distributiva:
$$(x+2)(x-4)={{x}^2}+2x-4x-8$$
$latex ={{x}^2}-2x-8$
La ecuación factorizada es:
$latex (x+2)(x-4)=0$
Igualamos cada factor con cero y resolvemos:
⇒ $latex (x+2)=0$ y $latex (x-4)=0$
⇒ $latex x=-2$ y $latex x=4$
Caso 4: Cuando b es negativo y c es positivo
EJEMPLO
Factoriza y resuelve la ecuación $latex {{x}^2}-7x+10=0$.
Solución: Empezamos escribiendo los factores de 10: -1×-10, -2×-5.
Identificamos los factores que produzcan un producto de 10 y una suma de -7:
-2-5=-7
-1-10≠-7
Verificamos los factores usando la propiedad distributiva:
$$(x-2)(x-5)={{x}^2}-2x-5x+10$$
$latex ={{x}^2}-7x+10$
La ecuación factorizada es:
$latex (x-2)(x-5)=0$
Igualamos cada factor con cero y resolvemos:
⇒ $latex (x-2)=0$ y $latex (x-5)=0$
⇒ $latex x=2$ y $latex x=5$
Factorizar polinomios de grado 2 cuando el coeficiente de x² es mayor que 1
En muchas ocasiones, el coeficiente líder será diferente de 1, por lo que no podremos factorizar estas ecuaciones cuadráticas con los métodos comunes que acabamos de ver.
Por lo tanto, debemos tener en cuenta el coeficiente de $latex {{x}^2}$ y los factores de c para encontrar números que tienen una suma igual a b.
EJEMPLO 1
Factoriza y resuelve la ecuación $latex 2{{x}^2}-14x+20=0$.
Solución: En este caso, empezamos buscando si es que tenemos factores comunes en la expresión. Aquí, podemos extraer el 2:
⇒ $latex 2({{x}^2}-7x+10)=0$
Ahora, podemos encontrar los factores de $latex ({{x}^2}-7x+10)$. Por lo tanto, escribimos los factores de 10: -1×-10 , -2×-5.
Identificamos los factores que produzcan una suma de -7:
-2-5=-7
-1-10≠-7
Verificamos los factores usando la propiedad distributiva:
$$2(x-2)(x-5)=2({{x}^2}-2x-5x+10)$$
$latex =2({{x}^2}-7x+10)$
$latex =2{{x}^2}-14x+20$
La ecuación factorizada es:
$latex 2(x-2)(x-5)=0$
Igualamos cada factor con cero y resolvemos:
⇒ $latex (x-2)=0$ y $latex (x-5)=0$
⇒ $latex x=2$ y $latex x=5$
EJEMPLO 2
Factoriza y resuelve la ecuación $latex 7{{x}^2}+18x+11=0$.
Solución: Escribimos los factores de 7 y 11:
1×7=7
1×11=11
Aplicamos la propiedad distributiva para verificar los factores:
$$(7x+1)(x+11)\ne 7{{x}^2}+18x+11$$
$$(7x+11)(x+1)=7{{x}^2}+18x+11$$
La ecuación factorizada es:
$latex (7x+11)(x+1)=0$
Igualamos cada factor con cero y resolvemos:
⇒ $latex (7x+11)=0$ y $latex (x+1)=0$
⇒ $latex x=-\frac{11}{7}$ y $latex x=-1$
→ Calculadora para Factorizar Polinomios
EJEMPLO 3
Factoriza y resuelve la ecuación $latex 9{{x}^2}+6x+1=0$.
Solución: Siguiendo el mismo proceso de los anteriores ejemplos, podemos obtener la ecuación factorizada:
$latex (3x+1)(3x+1)=0$
Igualamos cada factor con cero y resolvemos:
⇒ $latex (3x+1)=0$ y $latex (3x+1)=0$
⇒ $latex x=-\frac{1}{3}$
EJEMPLO 4
Factoriza y resuelve la ecuación $latex 6{{x}^2}-7x+2=0$.
Solución: Podemos empezar separando el término del medio:
$latex 6{{x}^2}-4x-3x+2=0$
Y ahora seguimos el mismo proceso de los anteriores ejemplos:
$latex 2x(3x-2)-1(3x-2)=0$
$latex (3x-2)(2x-1)=0$
Igualamos cada factor con cero y resolvemos:
⇒ $latex (3x-2)=0$ y $latex (2x-1)=0$
⇒ $latex x=\frac{2}{3}$ y $latex x=\frac{1}{2}$
Véase también
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Jefferson Huera Guzmán
Jefferson es el autor principal y administrador de Neurochispas.com. Los contenidos interactivos de Matemáticas y Física que he creado han ayudado a muchos estudiantes.
