La factorización de polinomios nos ayuda a determinar los ceros o las soluciones de una función. Sin embargo, factorizar polinomios de grado 3 puede volverse más tedioso. En algunos casos podemos usar agrupación para simplificar el proceso de factorización.
En otros casos también podemos identificar diferencias o sumas de cubos y usar una fórmula. Miraremos ambos casos con ejemplos.
Factorizar polinomios de grado 3 por agrupación
Los métodos de agrupación pueden simplificar el proceso de factorización de polinomios complejos. Analizando el polinomio, podemos considerar si es que la factorización por agrupación es viable.
Si es que el polinomio está en una forma en donde podemos remover el máximo factor común de los dos primeros términos y de los dos últimos términos para revelar otro factor común, podemos emplear el método de agrupación siguiendo estos pasos:
Paso 1: Agrupar el polinomio en dos partes. Al agrupar al polinomio en dos partes, podremos manipular a estas partes individualmente.
Por ejemplo, si queremos factorizar el polinomio $latex {{x}^3}+2{{x}^2}-4x-8$, podemos agruparlo en $latex ({{x}^3}+2{{x}^2})$ y $latex (-4x-8)$.
Paso 2: Encontrar el factor común en cada parte.
En la parte $latex ({{x}^3}+2{{x}^2})$, vemos que $latex {{x}^2}$ es común.
En la parte $latex (-4x-8)$, vemos que $latex -4$ es común.
Paso 3: Factorizamos el factor común de ambos términos.
Fatorizamos el $latex {{x}^2}$ de la primera parte para obtener $latex {{x}^2}(x+2)$.
Factorizamos el $latex -4$ de la segunda parte para obtener $latex -4(x+2)$.
Paso 4: Si es que cada uno de los dos términos contiene el mismo factor, podemos combinarlos.
Esto resulta en $latex (x+2)({{x}^2}-4)$.
Paso 5: De ser posible aplica la diferencia de cuadrados.
En este caso, podemos aplicar la diferencia de cuadrados en la expresión $latex ({{x}^2}-4)$ para obtener $latex (x+2)(x+2)(x-2)$.
Ya hemos obtenido la expresión factorizada.
EJEMPLO 1
Factoriza el polinomio$latex {{x}^3}-{{x}^2}-4x+4$.
Solución: Cuando removemos el máximo factor común de los dos primeros y de los dos últimos términos, obtenemos lo siguiente:
$latex {{x}^2}(x-1)-4(x-1)$
Ahora podemos factorizar el $latex (x-1)$ de cada parte para obtener:
$latex ({{x}^2}-4)(x-1)$
Aplicando la diferencia de cuadrados, obtenemos:
$latex (x+2)(x-2)(x-1)$
EJEMPLO 2
Factoriza el polinomio $latex 45{{x}^3}+18{{x}^2}-5x-2$.
Solución: Podemos agrupar y factorizar de la siguiente manera:
$latex (45{{x}^3}+18{{x}^2})-(5x+2)$
$latex 9{{x}^2}(5x+2)-1(5x+2)$
$latex (9{{x}^2}-1)(5x+2)$
Podemos aplicar la diferencia de cuadrados al primer factor:
$latex (3x+1)(3x-1)(5x+2)$
Inténtalo tú mismo – Resuelve los ejercicios
Factorizar diferencias de cubos
Si es que el polinomio tiene solo dos términos, cada uno con un cubo perfecto, podemos factorizarlo basado en fórmulas cúbicas conocidas.
Una expresión de la forma $latex {{a}^3}-{{b}^3}$ es llamada una diferencia de cubos. La forma factorizada de $latex {{a}^3}-{{b}^3}$ es $latex (a-b)({{a}^2}+ab+{{b}^2})$. Podemos comprobar esto de la siguiente manera:
$latex (a-b)({{a}^2}+ab+{{b}^2})$
$latex ={{a}^3}-{{a}^2}b+{{a}^2}b-a{{b}^2}+a{{b}^2}-{{b}^3}$
$latex {{a}^3}-{{b}^3}$
EJEMPLO
Factoriza el polinomio $latex 8{{x}^3}-125$.
Solución: En este caso tenemos $latex a=2x$ y $latex b=5$, entonces, la forma factorizada es:
$latex (2x-5)(4{{x}^2}+10x+25)$
Inténtalo tú mismo – Resuelve el ejercicio
Factorizar sumas de cubos
Una expresión de la forma $latex {{a}^3}+{{b}^3}$ es llamada una suma de cubos. La forma factorizada de $latex {{a}^3}+{{b}^3}$ es $latex (a+b)({{a}^2}-ab+{{b}^2})$. Podemos comprobar esto de la siguiente manera:
$latex (a+b)({{a}^2}-ab+{{b}^2})$
$latex ={{a}^3}+{{a}^2}b-{{a}^2}b-a{{b}^2}+a{{b}^2}+{{b}^3})$
$latex ={{a}^3}+{{b}^3}$
EJEMPLO
Factoriza el polinomio $latex 64{{x}^3}+125$.
Solución: En este caso tenemos $latex a=4x$ y $latex b=5$, entonces, la forma factorizada es:
$latex (4x+5)(16{{x}^2}-20x+25)$
Inténtalo tú mismo – Resuelve el ejercicio
→ Calculadora para Factorizar Polinomios
¿Cómo se resuelve un polinomio de grado 3?
Para resolver un polinomio de grado 3, debemos empezar factorizando el polinomio con cualquiera de los métodos de factorización vistos arriba. Si es que tenemos una suma de cubos perfectos, usamos la fórmula $latex {{a}^3}+{{b}^3}=(a+b)({{a}^2}-ab+{{b}^2})$.
Si es que tenemos una diferencia de cubos perfectos, usamos la fórmula $latex a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$. En otros casos, podemos usar el método de agrupación.
Luego de obtener los factores de los polinomios, podemos igualar cada factor a cero y resolver individualmente. Por ejemplo, en un ejemplo que vimos anteriormente, encontramos que la factorización de $latex {{x}^3}-{{x}^2}-4x+4$ es $latex (x+2)(x-2)(x-1)$.
Entonces, igualando con cero cada uno de estos factores, tenemos:
$latex (x+2)=0$ ⇒ $latex x=-2$
$latex (x-2)=0$ ⇒ $latex x=2$
$latex (x-1)=0$ ⇒ $latex x=1$
Entonces, las raíces del polinomio son $latex x=-2, x=2, x=1$.
Véase también
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Jefferson Huera Guzmán
Jefferson es el autor principal y administrador de Neurochispas.com. Los contenidos interactivos de Matemáticas y Física que he creado han ayudado a muchos estudiantes.
