El perímetro de un triángulo equilátero es la longitud del contorno del triángulo. Por otro lado, el área es una medida del espacio ocupado por el triángulo. Podemos calcular el perímetro del triángulo equilátero al sumar las longitudes de sus tres lados y podemos calcular su área al multiplicar la longitud de su base por su altura y dividir por 2.
A continuación, aprenderemos todo lo relacionado sobre el perímetro y el área de un triángulo equilátero. Conoceremos sus fórmulas y las aplicaremos para resolver algunos ejercicios de práctica.
GEOMETRÍA
Relevante para…
Aprender sobre el perímetro y el área de un triángulo equilátero.
GEOMETRÍA
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Aprender sobre el perímetro y el área de un triángulo equilátero.
¿Cómo calcular el perímetro de un triángulo equilátero?
Para calcular el perímetro de un triángulo equilátero, tenemos que sumar las longitudes de sus tres lados. Recordando que un triángulo equilátero tiene todos sus lados con la misma longitud, solo tenemos que multiplicar la longitud de uno de los lados por 3:
| $latex p=3a$ |
en donde, a es la longitud de un lado del triángulo.
Esto significa que solo necesitamos conocer la longitud de uno de los lados del triángulo equilátero para calcular su perímetro.
¿Cómo calcular el área de un triángulo equilátero?
Para calcular el área de cualquier triángulo, podemos multiplicar a su base por su altura y dividir por 2. En el caso de triángulos equiláteros, podemos usar la siguiente fórmula para calcular su área:
| $latex A= \frac{ \sqrt{3}}{4}{{a}^2}$ |
en donde, a es la longitud de uno de los lados del triángulo equilátero.
Demostración de la fórmula del área de un triángulo equilátero
Para demostrar la fórmula del área de un triángulo equilátero, vamos a usar el siguiente diagrama, en donde, trazamos un bisector perpendicular a la base con altura h:
Recordamos que el área de cualquier triángulo puede ser calculada con la siguiente fórmula:
$latex \text{Área}= \frac{1}{2} \times \text{base} \times \text{altura}$
Aquí, la base es igual a “a” y la altura es igual a “h“.
Usando el teorema de Pitágoras para calcular la altura, tenemos:
$latex {{a}^2}={{h}^2}+{{( \frac{a}{2})}^2}$
⇒ $latex {{h}^2}={{a}^2}- \frac{{{a}^2}}{4}$
⇒ $latex {{h}^2}=\frac{3{{a}^2}}{4}$
⇒ $latex h=\frac{\sqrt{3}~a}{2}$
Ahora que tenemos una expresión para h, podemos usarla en la fórmula del área de un triángulo:
$latex \text{Área}= \frac{1}{2} \times \text{base} \times \text{altura}$
$latex A=\frac{1}{2}\times a \times \frac{\sqrt{3}~a}{2}$
⇒ $latex A=\frac{\sqrt{3}~{{a}^2}}{4}$
Área y perímetro de un triángulo equilátero – Ejercicios resueltos
EJERCICIO 1
Encuentra el perímetro de un triángulo equilátero que tiene lados de longitud 5 mm.
Solución
Usamos la fórmula del perímetro con el valor $latex a=5$. Entonces, tenemos:
$latex p=3a$
$latex p=3(5)$
$latex p=15$
El perímetro del triángulo equilátero es igual a 15 mm.
EJERCICIO 2
¿Cuál es el área de un triángulo equilátero que tiene lados de longitud 10 cm?
Solución
Usamos la fórmula del área con la longitud a=10:
$latex A= \frac{ \sqrt{3}}{4}{{a}^2}$
$latex A= \frac{ \sqrt{3}}{4}({{10}^2})$
$latex A= \frac{ \sqrt{3}}{4}(100)$
$latex A=43.3$
El área del triángulo equilátero es igual a 43.3 cm².
EJERCICIO 3
Encuentra el perímetro de un triángulo equilátero que tiene lados con una longitud de 8 cm.
Solución
Usando el valor $latex a=8$ en la fórmula del perímetro, tenemos:
$latex p=3a$
$latex p=3(8)$
$latex p=24$
El perímetro del triángulo equilátero es igual a 24 cm.
EJERCICIO 4
Encuentra el área de un triángulo equilátero que tiene lados con una longitud de 14 cm.
Solución
Aplicando la fórmula del área con la longitud dada, tenemos:
$latex A= \frac{ \sqrt{3}}{4}{{a}^2}$
$latex A= \frac{ \sqrt{3}}{4}({{14}^2})$
$latex A= \frac{ \sqrt{3}}{4}(196)$
$latex A=84.87$
El área del triángulo equilátero es igual a 84.87 cm².
EJERCICIO 5
¿Cuál es el perímetro de un triángulo equilátero que tiene lados con una longitud de 15 cm?
Solución
Aplicando la fórmula del perímetro con el valor $latex a=15$:
$latex p=3a$
$latex p=3(15)$
$latex p=45$
El perímetro del triángulo es igual a 45 cm.
EJERCICIO 6
¿Cuál es el área de un triángulo equilátero tiene lados con una longitud de 15 m?
Solución
Usamos la longitud $latex a=15$ en la fórmula del área:
$latex A= \frac{ \sqrt{3}}{4}{{a}^2}$
$latex A= \frac{ \sqrt{3}}{4}({{15}^2})$
$latex A= \frac{ \sqrt{3}}{4}(225)$
$latex A=97.43$
El área del triángulo equilátero es igual a 97.43 m².
EJERCICIO 7
Encuentra la longitud de los lados de un triángulo equilátero que tiene un perímetro de 39 m.
Solución
En este ejercicio, conocemos el perímetro del triángulo y tenemos que encontrar la longitud de un lado. Entonces, usamos la fórmula del perímetro y resolvemos para a:
$latex p=3a$
$latex 39=3a$
$latex a=13$
Los lados del triángulo tienen una longitud de 13 m.
EJERCICIO 8
Encuentra la longitud de los lados de un triángulo equilátero que tiene un área de 35.07 m².
Solución
En este caso, conocimos el área y tenemos que encontrar la longitud de los lados. Entonces, usamos la fórmula del área y resolvemos para a:
$latex A= \frac{ \sqrt{3}}{4}{{a}^2}$
$latex 35.07= \frac{ \sqrt{3}}{4}{{a}^2}$
$latex 35.07=0.433{{a}^2}$
$latex {{a}^2}=81$
$latex a=9$
Los lados del triángulo tienen una longitud de 9 m.
EJERCICIO 9
Encuentra la longitud de los lados de un triángulo equilátero que tiene un perímetro de 102 mm.
Solución
Vamos a usar la fórmula del perímetro con el valor $latex p=102$ y resolvemos para a:
$latex p=3a$
$latex 102=3a$
$latex a=34$
La longitud de un lado del triángulo es 34 mm.
EJERCICIO 10
Encuentra la longitud de los lados de un triángulo equilátero que tiene un área de 73.18 m².
Solución
Usamos la fórmula del área con el valor dado y resolvemos para a:
$latex A= \frac{ \sqrt{3}}{4}{{a}^2}$
$latex 73.18= \frac{ \sqrt{3}}{4}{{a}^2}$
$latex 73.18=0.433{{a}^2}$
$latex {{a}^2}=169$
$latex a=13$
La longitud de los lados del triángulo es 13 m.
Área y perímetro de un triángulo equilátero – Ejercicios resueltos
Véase también
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Jefferson Huera Guzmán
Jefferson es el autor principal y administrador de Neurochispas.com. Los contenidos interactivos de Matemáticas y Física que he creado han ayudado a muchos estudiantes.
