Perímetro y Área de un Pentágono – Fórmulas y Ejercicios

El perímetro de un pentágono es la longitud del contorno del pentágono. Por otro lado, su área representa el espacio bidimensional ocupado por la figura. Podemos calcular el perímetro de un pentágono al sumar las longitudes de sus cinco lados y podemos calcular su área al multiplicar la longitud de la apotema por la longitud de uno de sus lados y multiplicar por 5/2.

A continuación, exploraremos todo lo relacionado con el perímetro y el área de un pentágono. Conoceremos sus fórmulas y las aplicaremos para resolver algunos ejercicios de práctica.

GEOMETRÍA
Fórmulas del perímetro y del área de un pentágono

Relevante para

Aprender sobre el perímetro y el área de un pentágono.

Ver ejercicios

GEOMETRÍA
Fórmulas del perímetro y del área de un pentágono

Relevante para

Aprender sobre el perímetro y el área de un pentágono.

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¿Cómo calcular el perímetro de un pentágono?

El perímetro de un pentágono representa la longitud total de los límites del pentágono. Entonces, podemos calcular el perímetro de un pentágono al sumar las longitudes de sus cinco lados:

$latex p=a+b+c+d+e$

en donde, $latex a,~b,~c,~d,~e$ son las longitudes de los lados del pentágono.

Si es que el pentágono es regular, sus cinco lados tienen la misma longitud, por lo que la fórmula del perímetro se vuelve:

$latex p=5a$

en donde, a es la longitud de uno de los lados del pentágono.

pentágono regular con longitud de lados

¿Cómo calcular el área de un pentágono?

El área de un pentágono regular puede ser calculada usando la longitud de su apotema y la longitud de uno de sus lados. Entonces, usamos la siguiente fórmula:

$latex A= \frac{5}{2} \times l \times a$

en donde, l es la longitud de uno de los lados y a es la longitud de la apotema. Recordemos que la apotema es el segmento que une al centro del pentágono con uno de sus lados.

Alternativamente, podemos calcular el área de un pentágono usando la siguiente fórmula:

$latex A=\frac{1}{4}\sqrt{5(5+2\sqrt{5}){{l}^2}}$

en donde, l es la longitud de uno de los lados del pentágono. Esta fórmula es más complicada, pero nos permite calcular el área de un pentágono regular simplemente con la longitud de uno de sus lados.

Demostración de la fórmula del área de un pentágono

Para demostrar la fórmula del área de un pentágono, vamos a usar al siguiente diagrama, en donde, dividimos al pentágono en cinco triángulos isósceles como en la siguiente imagen:

pentágono regular con lado y apotema

El área de cualquier triángulo puede ser calculada usando la fórmula $latex A= \frac{1}{2} bh$, en donde b es la base del triángulo y h es su altura. En los triángulos isósceles de arriba, la base es igual a la longitud de uno de los lados del pentágono (longitud l.

La altura del triángulo es igual a la apotema del pentágono (longitud a). Entonces, el área de cada triángulo en el pentágono es $latex A= \frac{1}{2} la$. Dado que tenemos cinco triángulos, el área del pentágono es:

$latex A= \frac{5}{2} \times l \times a$


Perímetro y área de un pentágono – Ejercicios resueltos

Los siguientes ejercicios aplican las fórmulas del perímetro y del área de un pentágono. Cada ejercicio tiene su solución, pero intenta resolver los ejercicios tú mismo antes de mirar la respuesta.

EJERCICIO 1

Encuentra el perímetro de un pentágono regular que tiene lados con una longitud de 10 mm.

Vamos a usar la fórmula del perímetro con el valor $latex a=10$. Entonces, tenemos:

$latex p=5a$

$latex p=5(10)$

$latex p=50$

El perímetro del pentágono es igual a 50 mm.

EJERCICIO 2

Determina el área de un pentágono regular que tiene lados con una longitud de 10 cm y una apotema con una longitud de 6.88 cm.

Tenemos las siguientes longitudes:

  • Lados, $latex l=10$ cm
  • Apotema, $latex a=6.88$ cm

Reemplazando estos valores en la fórmula del área de un pentágono, tenemos:

$latex A= \frac{5}{2}la$

$latex A= \frac{5}{2}(10)(6.88)$

$latex A=172$

El área del pentágono es igual a 172 cm².

EJERCICIO 3

Determina el perímetro de un pentágono regular que tiene lados con una longitud de 11 m.

Usamos la longitud $latex a=11$ en la fórmula del perímetro y tenemos:

$latex p=5a$

$latex p=5(11)$

$latex p=55$

El perímetro del pentágono es igual a 55 m.

EJERCICIO 4

¿Cuál es el área de un pentágono regular que tiene lados con una longitud de 8 cm y una apotema con una longitud de 5.51 cm?

Tenemos las siguientes longitudes:

  • Lados, $latex l=8$ cm
  • Apotema, $latex a=5.51$ cm

Al aplicar la fórmula del área con estas longitudes, tenemos:

$latex A= \frac{5}{2}la$

$latex A= \frac{5}{2}(8)(5.51)$

$latex A=110.2$

El área del pentágono es igual a 110.2 cm².

EJERCICIO 5

¿Cuál es el perímetro de un pentágono regular que tiene lados con una longitud de 15 m?

Usamos la fórmula del perímetro con la longitud $latex a=15$. Entonces, tenemos:

$latex p=5a$

$latex p=5(15)$

$latex p=75$

El perímetro del pentágono es igual a 75 m.

EJERCICIO 6

Encuentra la apotema de un pentágono regular que tiene un área de 84.3 m² y la longitud de sus lados es 7 m.

Tenemos lo siguiente:

  • Área, $latex A=84.3$ m²
  • Lados, $latex l=7$ m

En este caso, conocemos el área del pentágono y queremos encontrar la apotema. Entonces, usamos la información dada en la fórmula del área y resolvemos para a:

$latex A= \frac{5}{2}la$

$latex 84.3= \frac{5}{2}(7)a$

$latex 168.6=(5)(7)a$

$latex 168.6=35a$

$latex a=4.82$

La longitud de la apotema es 4.82 m.

EJERCICIO 7

Si es que el perímetro de un pentágono regular es igual a 20 cm, ¿cuál es la longitud de uno de sus lados?

Aquí, conocemos el perímetro del pentágono y tenemos que encontrar la longitud de uno de los lados. Entonces, usamos la fórmula del perímetro y resolvemos para a:

$latex p=5a$

$latex 20=5a$

$latex a=4$

La longitud de un lado del pentágono es 4 cm.

EJERCICIO 8

Encuentra el área de un pentágono regular que tiene lados de longitud 5 mm.

En este caso, solo conocemos la longitud de los lados del pentágono y no su apotema. Entonces, podemos usar la segunda fórmula del área de un pentágono:

$latex A= \frac{1}{4}\sqrt{5(5+2\sqrt{5}){{l}^2}}$

$latex A= \frac{1}{4}\sqrt{5(5+2\sqrt{5}){{(5)}^2}}$

$latex A=43.01$

El área del pentágono es igual a 43.01 mm².

EJERCICIO 9

Si es que el perímetro de un pentágono regular es igual a 105 cm, encuentra la longitud de uno de sus lados.

Vamos a usar la fórmula del perímetro y resolver para a. Entonces, usando el valor $latex p=105$, tenemos:

$latex p=5a$

$latex 105=5a$

$latex a=21$

La longitud de uno de los lados es 21 cm.

EJERCICIO 10

Calcula el área de un pentágono regular que tiene lados con una longitud de 20 mm.

Usando la segunda fórmula del área con la longitud $latex l=20$:

$latex A= \frac{1}{4}\sqrt{5(5+2\sqrt{5}){{l}^2}}$

$latex A= \frac{1}{4}\sqrt{5(5+2\sqrt{5}){{(20)}^2}}$

$latex A=688.19$

El área del pentágono es igual a 688.19 mm².


Perímetro y área de un pentágono – Ejercicios resueltos

Resuelve los siguientes ejercicios aplicando todo lo aprendido sobre el perímetro y el área de pentágonos. Puedes usar los ejercicios resueltos de arriba como guía.

¿Cuál es el perímetro de un pentágono regular que tiene lados con una longitud de 9 m?

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Encuentra el área de un pentágono que tiene lados con una longitud de 6 m y una apotema de 4.13 m.

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Encuentra el perímetro de un pentágono regular que tiene lados con una longitud de 14 mm.

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Encuentra el área de un pentágono que tiene lados con una longitud de 11 mm y una apotema de 7.57 mm.

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Encuentra la longitud de los lados de un pentágono regular que tiene un perímetro de 35 cm.

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Encuentra el área de un pentágono regular que tiene lados con una longitud de 4 m.

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