Un número complejo es definido como la combinación de un número real y un número imaginario. Los números reales son los números que usamos en la vida cotidiana y con los cuales realizamos cálculos matemáticos. Los números imaginarios son números que contienen a la unidad imaginaria, la cual es definida como la raíz cuadrada de menos uno.
Las operaciones básicas que podemos realizar con los números complejos y que veremos aquí son:
- Suma o adición de números complejos
- Resta o sustracción de números complejos
- Multiplicación de números complejos
- División de números complejos
Adición de números complejos
Sabemos que un número complejo tiene la forma $latex z=a+bi$, en donde a y b son números reales.
Consideremos dos números complejos $latex z_{1}=a_{1}+b_{1}i$ y $latex z_{2}=a_{2}+b_{2}i$. Entonces, la suma de estos números complejos es definida como:
$latex z_{1}+z_{2}=(a_{1}+a_{2})+(b_{1}+b_{2})i$
Entonces, la parte real del número complejo resultante es igual a la suma de las partes reales de cada número complejo y la parte imaginaria del número complejo resultante es igual a la suma de las partes imaginarias de cada número complejo.
Si es que tenemos sumas de más de dos números complejos, la misma idea es aplicada. La parte real del resultado es igual a la suma de todas las partes reales de cada número y la parte imaginaria es igual a la suma de todas las partes imaginarias de cada número.
EJEMPLOS
- Tenemos los números $latex z_{1}=16-28i$ y $latex z_{2}=9+12i$. Encuentra su suma.
Sabemos que el número complejo resultante tiene la forma $latex z=a+bi$, en donde a es la suma de las partes reales de los números y b es la suma de las partes imaginarias de los números:
$latex a=16+9=25$
$latex b=-28+12=-16$
⇒ $latex z=25-16i$
- Tenemos los números $latex z_{1}=a+5i$, $latex z_{2}=5+bi$ y $latex z_{3}=10+8i$. Encuentra el valor de a y b si es que $latex z_{3}=z_{1}+z_{2}$.
Sabemos que la parte real del número resultante es la suma de las partes reales de los números $latex z_{1}$ y $latex z_{2}$ y la parte imaginaria es la suma de las partes imaginarias de los números $latex z_{1}$ y $latex z_{2}$. Entonces, tenemos:
$latex 10=a+5$
⇒ $latex a=5$
$latex 8=5+b$
⇒ $latex b=3$
Resuelve el siguiente ejercicio:
Sustracción de números complejos
La sustracción de números complejos es muy similar a la suma de números complejos en que restamos las partes reales de los números y las partes imaginarias separadamente. Considerando los números complejos $latex z_{1}=a_{1}+b_{1}i$ y $latex z_{2}=a_{2}+b_{2}i$.
Entonces, la diferencia $latex z_{1}-z_{2}$ es definida como:
$latex z_{1}-z_{2}=(a_{1}-a_{2})+(b_{1}-b_{2})i$
EJEMPLOS
- Si es que tenemos $latex z_{1}=12-7i$ y $latex z_{2}=7+5i$, resuelve la sustracción $latex z_{1}-z_{2}$.
Sabemos que tenemos que restar las partes real e imaginaria separadamente y que el número resultante tiene la forma $latex z=a+bi$. Entonces, tenemos:
$latex a=12-7=5$
$latex b=-7-5=-12$
⇒ $latex z=5-12i$
- Tenemos los números $latex z_{1}=a+7i$, $latex z_{2}=2+bi$ y $latex z_{3}=5+4i$. Encuentra los valores de a y b si es que $latex z_{3}=z_{1}-z_{2}$.
Tenemos que restar las partes real e imaginaria separadamente, entonces, tenemos:
$latex 5=a-2$
⇒ $latex a=7$
$latex 4=7-b$
⇒ $latex b=3$
Resuelve el siguiente ejercicio:
Multiplicación de números complejos
Conocemos la expansión $latex (a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$. De igual forma, si es que tenemos los números complejos $latex z_{1}=a_{1}+b_{1}i$ y $latex z_{2}=a_{2}+b_{2}i$, su producto es igual a:
$latex z_{1}z_{2}=(a_{1}+b_{1}i)(a_{2}+b_{2}i)$
$latex =a_{1}a_{2}+a_{1}b_{2}i+b_{1}a_{2}i+b_{1}b_{2}{{i}^2}$
Sabemos que $latex {{i}^2}=-1$, por lo tanto, tenemos:
$latex z_{1}z_{2}=(a_{1}a_{2}-b_{1}b_{2})+(a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1})i$
EJEMPLOS
- Multiplica a los números $latex z_{1}=3+5i$ y $latex z_{2}=2+4i$.
Usamos el proceso mostrado:
$latex z_{1}z_{2}=(3+5i)(2+4i)$
$$=(3)(2)+(5i)(2)+(3)(4i)+(5i)(4i)$$
$latex =6+10i+12i+20{{i}^2}$
$latex =6+22i-20$
$latex =-14+22i$
- Multiplica a los números $latex z_{1}=4-2i$ y $latex z_{2}=-3+3i$.
Usamos el proceso mostrado:
$latex z_{1}z_{2}=(4-2i)(-3+3i)$
$$=(4)(-3)+(-2i)(-3)+(4)(3i)+(-2i)(3i)$$
$latex =-12+6i+12i-6{{i}^2}$
$latex =-12+18i+6$
$latex =-6+18i$
Resuelve el siguiente ejercicio:
División de números complejos
Para dividir números complejos, tenemos que multiplicar tanto al numerador como al denominador por el conjugado del número complejo en el denominador. Para encontrar el conjugado, simplemente cambiamos el signo que está entre los dos términos del denominador.
Luego, distribuimos la multiplicación y simplificamos. Específicamente, tenemos que recordar que $latex {{i}^2}=-1$. Finalmente, escribimos a la respuesta en la forma $latex a+bi$.
EJEMPLOS
- Resuelve la división $latex \frac{4+5i}{2-3i}$.
Tenemos que multiplicar tanto al denominador como al numerador por el conjugado del denominador el cual es igual a $latex 2+3i$:
$$\frac{4+5i}{2-3i}=\frac{4+5i}{2-3i} \times \frac{2+3i}{2+3i}$$
$$=\frac{8+12i+10i+15{{i}^2}}{4-6i+6i-9{{i}^2}}$$
$$=\frac{8+22i-15}{4+9}$$
$$=\frac{-7+22i}{13}$$
Ya obtuvimos la respuesta, pero tenemos que escribirla en la forma $latex a+bi$:
$$=\frac{-7}{13}+\frac{22}{13}i$$
- Resuelve la división $latex \frac{6-3i}{4+2i}$.
Multiplicamos tanto al denominador como al numerador por el conjugado del denominador el cual es igual a $latex 4-2i$:
$$\frac{6-3i}{4+2i}=\frac{6-3i}{4+2i} \times \frac{4-2i}{4-2i}$$
$$=\frac{24-12i-12i+6{{i}^2}}{16+8i-8i-4{{i}^2}}$$
$$=\frac{24-24i-6}{16+4}$$
$$=\frac{18-24i}{20}$$
Ya obtuvimos la respuesta, pero tenemos que escribirla en la forma $latex a+bi$:
$$=\frac{18}{20}-\frac{24}{20}i$$
$$=\frac{9}{10}-\frac{6}{5}i$$
Resuelve el siguiente ejercicio:
Véase también
¿Interesado en aprender más sobre operaciones con números complejos? Mira estas páginas:
Jefferson Huera Guzmán
Jefferson es el autor principal y administrador de Neurochispas.com. Los contenidos interactivos de Matemáticas y Física que he creado han ayudado a muchos estudiantes.
