Los ejercicios de multiplicación de números complejos pueden ser resueltos usando el método de distribución de la multiplicación, similar al usado para multiplicar a dos binomios. La diferencia es que, cuando tenemos a la unidad unitaria elevada al cuadrado, i², tenemos que recordar que esto es igual a -1.

A continuación aprenderemos a multiplicar números complejos. Miraremos varios ejercicios resueltos para entender cómo usar el método de multiplicación mencionado.

ÁLGEBRA
multiplicación de números complejos

Relevante para

Aprender a multiplicar números complejos con ejercicios.

Ver ejercicios

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multiplicación de números complejos

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¿Cómo resolver multiplicaciones de números complejos?

Las multiplicaciones de números complejos son resueltas empleando un método muy similar a cuando multiplicamos dos binomios. La única diferencia es la introducción de la unidad imaginaria:

  \sqrt{-1}=i

Algo importante que debemos tener en cuenta es que, cuando elevamos al cuadrado a la unidad imaginaria, tenemos:

{{(\sqrt{-1})}^2}={{(i)}^2}

-1={{i}^2}

Por ejemplo, si es que tenemos la multiplicación de los números complejos z_{1}=a+bi y z_{2}=c+di, podemos obtener su producto de la siguiente manera:

z_{1}z_{2}=(a+bi)(c+di)

=ac+adi+cbi+bd{{i}^2}

=ac+(ad+cb)i+bd(-1)

=ac+(ad+cb)i-bd


Ejercicios de multiplicación de números complejos resueltos

El proceso de resolución mencionado arriba es usado para resolver los siguientes ejercicios de multiplicación de números complejos. Es recomendable que intentes resolver los ejercicios tú mismo antes de mirar la solución.

EJERCICIO 1

Encuentra el producto de los números complejos (4+2i)(2+3i).

Esto es similar a multiplicar dos binomios. Expandimos la multiplicación y luego combinamos términos semejantes:

(4+2i)(2+3i)

=(4)(2)+(4)(3i)+(2i)(2)+(2i)(3i)

=8+12i+4i+6{{i}^2}

=8+16i+6{{i}^2}

Ahora, tenemos que reemplazar a {{i}^2} por -1 y combinar términos semejantes nuevamente:

=8+16i+6(-1)

=8+16i-6

=2+16i

EJERCICIO 2

¿Cuál es el producto de (4-5i)(2-7i)?

Tenemos que expandir la multiplicación y luego combinar términos semejantes:

(4-5i)(2-7i)

=(4)(2)+(4)(-7i)+(-5i)(2)+(-5i)(-7i)

=8-28i-10i+35{{i}^2}

=8-38i+35{{i}^2}

Reconocemos que {{i}^2} es igual a -1 y combinamos términos semejantes nuevamente:

=8-38i+35(-1)

=8-38i-35

=-27-38i

EJERCICIO 3

Si es que tenemos z_{1}=6-5i y z_{2}=-4+7i, ¿cuál es el resultado de z_{1}z_{2}?

Formamos la multiplicación, la expandimos y luego combinamos términos semejantes:

(6-5i)(-4+7i)

=(6)(-4)+(6)(7i)+(-5i)(-4)+(-5i)(7i)

=-24+42i+20i-35{{i}^2}

=-24+62i-35{{i}^2}

Reconocemos que {{i}^2} es igual a -1 y combinamos términos semejantes nuevamente:

=-24+62i-35(-1)

=-24+62i+35

=11+62i

EJERCICIO 4

Encuentra el producto del siguiente número complejo y su conjugado: 4-3i.

El conjugado de un número complejo es encontrado al cambiar el signo del componente imaginario. En este caso, el conjugado de 4-3i es 4+3i. Ahora, podemos multiplicarlos para obtener el producto:

(4-3i)(4+3i)

=(4)(4)+(4)(3i)+(-3i)(4)+(-3i)(3i)

=16+12i-12i-9{{i}^2}

=16-9{{i}^2}

Reemplazando a {{i}^2} por -1 y combinando términos semejantes, tenemos:

=16-9(-1)

=16+9

=25

EJERCICIO 5

Multiplica al número -1-i por sí mismo.

Multiplicando al número por sí mismo, tenemos:

(-1-i)(-1-i)

=(-1)(-1)+(-1)(-i)+(-i)(-1)+(-i)(-i)

=1+i+i+{{i}^2}

=1+2i+{{i}^2}

Reemplazando a {{i}^2} por -1 y combinando términos semejantes, tenemos:

=1+2i+(-1)

=2i

EJERCICIO 6

Resuelve la multiplicación (3i-5{{i}^2})(5i+4{{i}^2}).

En este caso, tenemos una expresión con {{i}^2}, por lo que podemos empezar simplificando al reemplazar a {{i}^2} con -1. Entonces, tenemos:

(3i-5{{i}^2})(5i+4{{i}^2})

=(3i-5(-1))(5i+4(-1))

=(3i+5)(5i-4)

=(3i)(5i)+(3i)(-4)+(5)(5i)+(5)(-4)

=15{{i}^2}-12i+25i-20

=15{{i}^2}+13i-20

Nuevamente, reemplazamos a {{i}^2} con -1 y combinamos términos semejantes:

=15(-1)+13i-20

=-15+13i-20

=-35+13i

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Ejercicios de multiplicación de números complejos para resolver

Pon en práctica tu conocimiento sobre la multiplicación de números complejos y resuelve los siguientes ejercicios. Selecciona una respuesta y verifícala para comprobar que seleccionaste la correcta. Si necesitas ayuda, puedes mirar los ejercicios resueltos de arriba.

Multiplica y simplifica (6+8i)(4+2i).

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Multiplica y simplifica (4-3i)(2+5i).

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Multiplica y simplifica (7+2i)(7+2i).

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Multiplica y simplifica (6+8i)(6-8i).

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Véase también

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